Zadání 2. série 35. ročníku

Termín odeslání: 2. prosince 2019

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.

Došlá zpráva vyvolala pozdvižení. Jinak poklidné ústředí PIKOSAR se změnilo na bzučící mraveniště, kde každý někam pospíchal. Vedení si tajně zvalo přední světové odborníky na telekomunikaci, pouze aby potvrdili, že zpráva urazila vzdálenost zhruba dvou světelných týdnů. Veškeré pochyby o pravosti žádosti o pomoc rozptýlila zpráva, která došla o den později. Tato druhá zpráva byla zašifrována kódem. Navíc obsahovala i nápovědu označenou jako posvátný trojúhelník. Některá čísla se sice ztratila, ale kód byl jenom číslo ve vrchním čtverci.

Úloha č. 1

V každém čtverci je součet čísel ve dvou čtvercích těsně pod ním. Určete, jaké číslo je ve vrchním čtverci.

Po aplikaci kódu se zpráva změnila z nesmyslných vln na vzkaz připomínající ve spěchu psaný deník. Jméno, snad podpis v úvodu, rozluštili na ústředí jako Herebe Sari. Text pokračoval takto:

141. 5926

Jsou tady. Tak, jak říkali. Martone nemá sebemenší šanci. Dnes přiletěli. Viděl jsem je na vlastní oči. A kromě té záplavy vojáků vyjelo z lodí i mnoho Drtičů měst. Bylo jich mnohem více, než kolik má naše armáda. Nestihl jsem je spočítat, ale viděl jsem, jak se předvádí a mění formace.

Úloha č. 2

Drtiče se řadily tak, aby jich v každé řadě byl stejný počet. Když se takto rozdělily po čtyřech, pěti, šesti i sedmi, mimo tyto řady zbyl vždy právě jeden. Kolik nejméně jich bylo (Drtiče byly minimálně dva)?

141. 5926

Puká mi srdce, ale nemáme jinou možnost. Musel jsem hlasovat takto. Buď utečeme, nebo bude zničeno celé Martone, město i planeta. A jako by toho nebylo dost, nebudu pouhým svědkem a účastníkem naší výpravy do neznáma. To mé byly výpočty, jež nám pomohly postavit Urhajo. To mé byly výpočty, díky kterým teď přežijeme v nehostinném vesmíru. A mé byly myšlenky tak odvážné, že tam musíme odejít.

141. 5926

Přišli jsme o první město. Jitene, jindy tak hrdé a odvážné, se vzdalo, jen co uvidělo velikost a efektivitu bomby Vikerských Drtičů. Dozvěděl jsem se o tvaru a rozměrech té zbraně a vůbec se jim nedivím.

Úloha č. 3

Bomba má tvar čtrnáctistěnu. Všechny jeho hrany mají délku 1 m. Osm jeho stěn jsou rovnostranné trojúhelníky a šest z nich jsou čtverce. Žádné dvě stěny stejného tvaru nemají společnou hranu. Všechny stěny stejného tvaru jsou shodné. Jaký je objem tohoto čtrnáctistěnu?

141. 5926

Tato válka bude rychlá: spojila se proti nám téměř celá soustava. Věděli jsme, že půjde Kogode a Viker, ale doufali jsme, že Kitana a Karah se budou soustředit na vlastní obchodní spory. Nestalo se tak.

10. 141. 5926

Už jsou tak blízko, že naše kamery na nejbližší ochranu města Martone vidí jejich postup. Samozřejmě o těchto kamerách vědí, ale jsou tak silní a sebevědomí, že než by nás něčím mátli, ještě se předvádějí. Dokonce jsme viděli, jak s hromádkou našich nejcennějších mincí hrají hru o to, kdo z nich zaútočí na naše hlavní město.

Úloha č. 4

Na stole leží mince rozmístěné po obvodu kruhu. Všechny mince mají na jedné straně oko a na druhé hvězdu, na začátku nejsou na sousedních mincích stejné znaky. Kitanský a vikerský císař hrají hru, během které se střídají v tazích. Během svého tahu musí každý hráč otočit nějaký souvislý úsek mincí, které mají nahoře stejný znak a mince vedle tohoto intervalu (na obou stranách) jiný. Ten, po jehož tahu mají všechny mince nahoře stejný znak, prohrál. Kitanský císař nechal vikerského, aby vybral, kdo bude začínat. Co má vikerský císař zvolit, aby vyhrál bez ohledu na tahy soupeře?

11. 141. 5926

Padlo konečné rozhodnutí: opustit vše, co nám bylo drahé. Odejít, abychom si zachovali čest a životy. Odejít pro jedinou myšlenku.

14. 141. 5926

Přípravy na odlet vrcholí. Když jsem procházel kolem robota doplňujícího palivo, měl jsem slzy na krajíčku. Opět jsem si však vzpomněl na svou lásku k celým číslům.

Úloha č. 5

Robot dolévá palivo z plného zásobníku ve tvaru krychle, jejíž hrana je v centimetrech celé číslo, do válcové nádrže s obsahem podstavy 60 cm ^{2}. Dobře jsem věděl, že výška hladiny v nádrži bude v centimetrech také celé číslo. Jaká je nejmenší možná délka hrany zásobníku?

15. 141. 5926

Jako by bylo nepřízně osudu málo, obrátila se proti nám i sama příroda. Dnes odpoledne jsem se procházel městem, abych jej celé ještě jednou prošel v jeho plné kráse, když udeřilo zemětřesení. Propukla panika, město se tak intenzivně připravovalo na odlet, že před ním nikdo nevaroval. Zaplněným Martonem jsem se málem nemohl dostat domů, protože se zřítilo několik domů. Když jsem se tam konečně dobelhal, napadla mě hrozná myšlenka a uháněl jsem do laboratoře, kde jsme testovali závěsný systém. To, co jsem viděl, nakonec nebylo tak hrozné. Měli jsme štěstí, tento výzkum byl velmi důležitý.

Úloha č. 6

Na stropě bylo zavěšeno patnáct nádob ve třech skupinách po pěti tak, že každá skupina visela na jednom laně. Věděl jsem, že každé z těchto lan dokáže unést přesně 100 kg navíc. Z vyššího patra při zemětřesení spadly tři zátěžové koule o hmotnosti 65 kg tak, že všechny dopadly do náhodných nádob, ale žádné dvě do stejné. Jaká byla pravděpodobnost, že ani jedno z lan pod náporem této váhy navíc (náraz nádoby dokázaly absorbovat) nepraskne?

16. 141. 5926

Veškeré pochyby stranou, dnes letíme. Počítač je spuštěný, celé pohyblivé město, kterým Urhajo je, funguje. Naplno běží ekonomika naší umělé planety, umělá gravitace i koloběh vody. Už zbývají jenom poslední kroky: napustit do obytných modulů dýchatelnou atmosféru, nastoupit, a poté jenom zapnout trysky a nechat počítač řídit naši cestu vesmírem. Vesmírem, kde nebudeme moci konstruovat tak úžasné věci, jakými jsou naše trysky.

Úloha č. 7

Tryskový modul má tvar obdélníku o délkách stran 100 m a 100\sqrt{2} m přehnutého podle jedné úhlopříčky. V rozích původního obdélníku, které nejsou na této úhlopříčce, jsou trysky. Jak daleko od sebe jsou trysky v modulu?

17. 141. 5926

Dnešek je pro Martone, respektive Martoňany, velmi důležitý den. Poprvé jsme se vydali do vesmíru mimo naši planetární soustavu. Je taková škoda, že se toto první použití Urhaja zapíše do dějin na dlouho, pokud ne navždy, jako náš poslední kontakt s rodnou planetou. Sbohem, domove!