Zadání 1. série 35. ročníku
Termín odeslání: 14. října 2019
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Ačkoli k výzkumu vesmíru Dorotčin tým dospěl naprosto neočekávatelně, brzy po překvapivém úspěchu jeho první mise si vydobyl své místo na slunci mezi kosmickými agenturami. Satelitů s logem projektu na orbitě přibývalo a jejich značení se komplikovalo. Aby byla zachována některá tajemství, kódová označení sedmi nejdůležitějších znalo jen několik málo lidí.
Úloha č. 1
Vědělo se však, že označení sedmi nejdůležitějších satelitů se dají zapsat jako P, PI, PIK, PIKO, PIKOM, PIKOMA a PIKOMAT, kde každé písmeno znamená jednu cifru (ne nutně každé jinou). Dorotka zjistila, že součet těchto označení je 7\,654\,321. Kolik je PIKOMAT?
Jak už to u satelitů bývá, zaznamenávají nějaké signály. Z docela pochopitelných důvodů jsou většinou směrem od Země. Právě proto vyvolalo přijetí signálu z druhé strany takové pozdvižení. Ano, občas nějaký přišel, ale to byly spíše jen náhodné odrazy nebo přirozené jevy. Žádný se ale nepodobal tomuto signálu. Aby se Dorotka mohla zúčastnit narychlo svolané porady, potřebovala vyřešit problém s napouštěním nádrží systémem tří hadic a přepadu.
Úloha č. 2
Mějme tři hadice A, B, C a přepad P. Hadice A by napustila nádrž za 12 hodin, hadice B za 6 hodin a hadice C za 9 hodin. Naopak přepad P by polovinu nádrže vypustil za 8 hodin. Přepad začne vodu rovnoměrně vypouštět v momentu, kdy nateče polovina nádrže. První začne napouštět hadice A, po dvou hodinách hadice B a po třech hodinách hadice C. Po jaké době bude nádrž plná?
Rychle dopočítala a vydala se do poradní místnosti. Všechny chodby střediska se hemžily pohybem, takže jí nějakou dobu trvalo, než se protlačila na poradu. Velká místnost už byla téměř plná a ředitel projektu se u řečnického pultíku chystal k nějakému projevu. Dorotku ale více zaujala práce techniků, kteří na stůl postupně načrtávali ochranné obaly satelitu PIKOM.
Úloha č. 3
Tělo satelitu mělo tvar rovnostranného trojúhelníku o straně délky 1. Technici mu opsali ochranný obal ve tvaru dalšího rovnostranného trojúhelníku tak, že vrcholy původního trojúhelníku ležely ve středech stran nového. To opakovali ještě osmkrát, takže měli dohromady deset trojúhelníků s těžišti ve stejném bodě. Určete součet obsahů a součet obvodů těchto trojúhelníků.
To už ale přišli i poslední opozdilci a ředitel je začal uvádět do děje: „Jsme tu všichni? Výborně. Zaznamenali jsme tento signál.“ Ukázal na plátno za ním, kde se míhala nějaká čísla. Odborníci na radiokomunikaci vytřeštili oči a vypadalo to, že omdlí. „Přesně tak. Něco takového jsme ještě nikdy nezaznamenali. Rozhodně to nepochází od žádného pozemského zdroje, ptali jsme se,“ odmlčel se ředitel, „a jistě všichni souhlasíte, že toto nemohlo vzniknout žádnou přirozenou cestou. Takové signály ale neznáme, takže nevíme, které jsou opravdu správné.“
Úloha č. 4
Máme čtyři signály, každý z nich se skládá ze čtyř čísel: první signál je 24, 36, 16 a 27, druhý 44, 42, 100 a 12, třetí 102, 27, 24 a 3, čtvrtý 21, 24, 16 a 112. Aby byl signál platný, musí být možné sčítáním a odčítáním čísel z něj (každé číslo se může odčítat i přičítat vícekrát) vytvořit jedničku. Které z těchto signálů jsou platné?
Signály, u kterých se prokázala platnost, zadala IT sekce do počítače, aby je rozšifroval. Počítač v centru agentury byl nejnovější model MFF2019, takže byl pod velmi důkladným dozorem. Dokonce se v některých částech projektu uzavíraly sázky na to, jak ona tajemná věc vlastně vypadá.
Úloha č. 5
Podle důvěryhodného zdroje má jedna stěna počítače tvar trojúhelníku, který si označíme ABC. Těžnice z vrcholu A má délku 6 cm, těžnice z vrcholu B má délku 9 cm a strana AC má délku 10 cm. Dopočítejte délky zbylých dvou stran.
Do doby, než se rozšifrují signály, byla vyhlášena pauza na občerstvení. Do sálu bylo doneseno jídlo, ale většina přítomných byla tak natěšená na zprávu, že si jej moc nevšímala. Dorotka ale využila této příležitosti, aby se seznámila s lidmi z dalších částí projektu, které jindy vídávala pouze na chodbách. Nakonec většinu pauzy strávila s pěticí zajímavých kolegů, kteří jí jako odpověď na otázku, kde bydlí, dali hádanku.
Úloha č. 6
Pět kolegů, Dita, Dan, Tea, Ken a Kim, má své domy v rozlehlé pustině. Pokud mají dva kolegové ve svém jménu společné právě jedno písmeno (ne nutně na stejné pozici), vzdálenost jejich domů vzdušnou čarou je 1 km. Pokud mají ve jménech právě dvě společná písmena, jejich vzdálenost je 2 km. Pokud nemají žádné společné písmeno ve jméně, jejich vzdálenost není přesně určena. Kdo bydlí nejdál od Dana?
Sotva ji vyluštila, sálem zašumělo a k řečnickému pultu se postavil kápo IT sekce, který nadšeně oznamoval dobré zprávy: „Ačkoli je to k nevíře, první přijatá zpráva má charakter podobný našim zprávám, takže jsme ji dokázali přeložit nejen do čísel, ale dokonce i do češtiny!.“ Zazněla vlna bouřlivého potlesku, po které potěšený informatik pokračoval:
Úloha č. 7
Tato zpráva popisuje nějakou planetární soustavu, takže všechny vzdálenosti se počítají od hvězdy. O planetách jsme zjistili, že:
- Viker je dál než Kitana;
- Kogode je blíže než Karah;
- Martone je blíže než Viker;
- Kitana je dál než Karah;
- Viker je blíže než Karah;
- Kitana je dál než Martone;
- Karah je blíže než Martone.
Bohužel je kvůli chybě přepisu právě jedna z těchto informací špatná. Která to je?
Oznámení chyby sice bouřlivý potlesk nepřineslo, ale nálada byla už tak dost dobrá. Dorotka se zrovna chtěla zvednout s tím, že ji umí opravit, ale to už doběhl překlad zbytku zprávy. Aby ji viděli všichni, monitor počítače se připojil přímo k projektoru, takže na plátně se postupně objevovala zpráva:
P
O~
M
O~
C
!
!