Vzorová řešení a komentáře k 3. sérii

Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.

Zadání naleznete zde.

Úloha č. 1

Právě je první okamžik po šesté hodině, kdy na ručičkových hodinkách budou obě ručičky na sobě. Kolik je hodin?

Řešení: Tato úloha je jedna z klasických úloh na užití rovnic. Máme dvě ručičky, z nich každá se pohybuje jinou rychlostí, a chceme zjistit, kdy se potkají (překryjí). Tyto dvě ručičky jsou hodinová a minutová. Jako první si potřebujeme určit, jakou rychlostí (v dílcích za minutu) se obě ručičky pohybují. Minutová, jak již z jejího názvu vyplývá, se pohybuje o 1 dílek za minutu. U hodinové už to tak přímé není. Hodinová ručička za hodinu musí urazit 5 dílků, její rychlost za minutu tedy získáme tak, že toto číslo vydělíme počtem minut za hodinu. Rychlost hodinové ručičky je tedy 5/60 = 1/12 dílku za minutu.

Další věc, co je potřeba vyřešit, je výchozí pozice obou ručiček, a tím i vzdálenost, jakou musí obě urazit. Chceme čas po šesté, kdy se poprvé potkají. Výchozí pozicí je tudíž šest hodin, minutová ručička je na dvanáctce a hodinová na šestce. Mají mezi sebou vzdálenost 30 dílků. Minutová ručička se pohybuje 12krát rychleji, tedy ona bude ta, co bude dohánět druhou. Pokud si vzdálenost, kterou musí urazit minutová ručička do místa srazu, označíme x, dostaneme, že hodinová ručička musí urazit x – 30 dílků. Čas na pohyb ručiček musí být stejný, díky tomu můžeme vytvořit rovnice za pomoci vzorečku t = s/v. Rychlost (v) budeme dosazovat v dílcích za minutu a dráhu (s) v dílcích:

Teď, když už máme vzdálenost, kterou ručička urazila, je snadné spočítat, kolik to zabralo času. Minutová ručička urazila 360/11 dílků a pohybuje se rychlostí 1 dílek za minutu. Bude jí to trvat 360/11 minut. To je 32 minut a 43 + 7/11 sekund. Bylo 6 hodin, 32 minut a 43 + 7/11 sekund, když se Dorotka ptala na čas technika.

Komentář: Tato úloha byla poměrně jednoduchá. Proto jsem dala větší důraz na postup. Pokud tedy nebyly dobře zdůvodněné kroky, tak jsem ubírala jeden nebo dva body. Stejně tak za nepřesné řešení.

Úloha č. 2

V rovnoběžníku ABCD se osa úhlu u vrcholu A a osa úhlu u vrcholu B protínají v bodě E. Bod E leží na straně CD. Dokažte, že úhel AEB je pravý. (Obrázek je pouze orientační.)

Řešení: Součet úhlů v rovnoběžníku je 360\deg. Dva protější úhly jsou stejně velké. Součet dvou sousedních úhlů musí dát dohromady 180\deg (protože jsou protější strany rovnoběžné). Úhel BAD označme \alpha a úhel ABC označme \beta. Úsečka AE půlí úhel \alpha a úsečka BE půlí úhel \beta.

Nyní můžeme spočítat součet velikostí dvou ze tří úhlů v trojúhelníku ABE. |\angle EAB| + |\angle EBA| = \frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2} = \alpha+\beta/2 = \frac{180\deg}{2} = 90\deg. Protože je součet úhlů v trojúhelníku 180\deg, hledaný úhel bude |\angle AEB| = 180\deg - 90\deg = 90\deg.

Komentář: Úloha byla velmi jednoduchá, téměř všichni jste ji tedy vyřešili správně. Body jsem nejčastěji strhával za nedostatečný popis postupu.

Úloha č. 3

Kolega má spoustu oblečení. Trička, kalhoty a klobouky. Od každého druhu oblečení má jeden kus červený, oranžový, zelený, modrý, fialový, žlutý, bílý a růžový. Má rád barvičky, takže nechce mít žádné dva kusy oblečení stejné barvy. Kolika způsoby se může obléct? (Od každého druhu oblečení si bere právě jeden kus.)

Řešení: Kolega má 8 barev oblečení. Dejme tomu, že si vybral červené tričko. Pro ostatní barvy to bude fungovat stejně. (Tj. bez újmy na obecnosti si může z 8 kusů triček vybrat červené.) Poté už ale nemohou být červené kalhoty, takže v každé kombinaci je jen 7 možností barvy kalhot, protože jednu barvu už „zabírá“ tričko. Když bude tričko červené a kalhoty oranžové, klobouk nemůže mít ani červenou ani oranžovou barvu, takže je jen 6 možností barvy klobouku, protože jednu barvu „zabírá“ tričko a jednu kalhoty. Pro kombinatorické úlohy existuje pravidlo součinu. S jeho využitím zjistíme, že počet všech možných způsobů, jak se mohl kolega obléct, je 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336.

Kolega má 336 způsobů, jak se obléct.

Komentář: Většina řešitelů měla příklad správně vyřešený, ať už použitím výpočtu výše, nebo s použitím vzorečku pro variace bez opakování. Někteří zapomněli na to, že se nesmí barvy opakovat, za takové řešení dostali 3 body. Často se také objevovalo řešení výčtem možností, které většinou vedlo ke špatnému výsledku, i za toto řešení jsme tedy obvykle museli strhávat body.

Úloha č. 4

V trojúhelníku ABC známe polohu následujících bodů: body dotyku kružnice vepsané a stran AB a AC, vrchol B. Zkonstruujte tento trojúhelník a zapište postup konstrukce.

Řešení: Označíme body dotyku kružnice vepsané se stranami AB a AC jako P a Q (obr. vz341). Nejdříve spojíme bod B s P, čímž dostaneme polopřímku p, na níž leží strana AB. Střed kružnice vepsané leží na ose úhlu BAC. Body P a Q jsou ve stejné vzdálenosti od A. Osa úhlu BAC bude tedy totožná s osou úsečky PQ. To znamená, že Q nesmí ležet na kolmici na p v bodě P, jinak by osa a p byly rovnoběžky. Průsečík osy PQ (nazveme ji o) s p je tedy A. Narýsujeme polopřímku AQ, kterou označíme q.

Průsečík kolmice na p z bodu P s o je střed kružnice vepsané (víme, že tečna je kolmá na spojnici středu a bodu dotyku a že o prochází středem kružnice vepsané), označíme ho S. Narýsujeme kružnici k se středem S a poloměrem SP. Pomocí Thaletovy kružnice nad BS narýsujeme druhou tečnu ke k, jejíž průsečík s q je C. (Tuto tečnu můžeme také narýsovat tak, že spojíme B a S a narýsujeme přímku, která svírá s BS stejný úhel jako ABS, protože BS je osa úhlu ABC.) Takto jsme zkonstruovali trojúhelník ABC.

Komentář: Většina odeslavších narýsovala trojúhelník správně, většina také nevysvětlila, proč A a S leží na ose PQ, za což jsem body nestrhával. Za nesprávné narýsování strany BC jsem strhával 2 body (za nepopsání Thaletovy kružnice jeden), za nesprávnou polohu středu kružnice a A také 2.

Úloha č. 5

Průzkumný robot sedí na okraji podstavy kuželu. Podstava kuželu má průměr 1 m. Vzdálenost robota od vrcholu kuželu je 3 m. Robot chce podniknout cestu kolem kuželu, aby se vrátil do původního bodu. Jakou nejkratší vzdálenost musí ulézt?

Řešení: První krok k řešení je si uvědomit, že robot nemusí obejít kužel po zemi, ale může jít také po jeho stěně. Jelikož se kužel směrem k vrcholu zužuje, taková cesta by mohla ve výsledku být kratší. Těžko ale dovedeme odhadnout, jak tato cesta po kuželu bude vypadat a sotva ji dovedeme na kužel nakreslit. Proto využijeme malý trik, který je ovšem zásadní k vyřešení úlohy -- rozvineme si plášť kuželu do roviny. Bod u podstavy, kde se nachází robot, si označíme písmenem A a vrchol kuželu písmenem V. Představíme si, že kužel je vyrobený z papíru -- odstřihneme podstavu a zbylý kornout (plášť) rozstřihneme podél přímky AV. Ač to tak na první pohled nemusí vypadat, plášť nyní můžeme rozvinout do rovné plochy bez toho, aby na něm byly jakékoliv vybouleniny nebo jiné nerovnosti.

Útvar, který takto získáme, je kruhová výseč. Středem pomyslné kružnice je bod V, obvod podstavy kuželu se nám rozvinul do úseku kružnice f a místo, kde se nachází robot, se nám na obrázku objevilo dvakrát -- poprvé tento bod necháme označený A, podruhé ho přejmenujeme na B. Cestu kolem kužele, kterou musí robot urazit, si nyní můžeme představit jako cestu z bodu A do bodu B. Jelikož jsme v rovině, řešení už bude jednoduché -- nejkratší cestou bude úsečka spojující A a B, označme si ji x. Můžeme si povšimnout, že tato cesta bude určitě kratší, než kdyby robot obešel kužel po zemi podél podstavy, protože tato cesta se nám promítla jako křivka f, která je určitě delší než x. Délku x se pokusíme spočítat z trojúhelníku ABV, u něhož ze zadání známe strany a a b, které mají délku 3 m. Dále dopočítáme úhel \alpha. Jak už jsme řekli, na obrázku je kruhová výseč -- zjistíme-li, jaký je obvod kruhu, ze kterého je výseč vystřižená (označme s), a dáme ho do poměru s délkou křivky f, dostaneme poměr plného úhlu a úhlu \alpha. Obvod kruhu získáme ze vzorce 2\cdot\pi\cdot r:

Křivka f je obvod podstavy původního kužele, jehož průměr d známe ze zadání (1 m)

Velikost úhlu \alpha tedy je

Jelikož úhel \alpha má velikost 60\deg, je trojúhelník ABV rovnostranný. Délka úsečky x je tedy 3 m.

Komentář: Alespoň dva body za úlohu dostali všichni řešitelé, kteří se pokusili navrhnout řešení lepší než pouze cestu kolem podstavy kužele. Mnozí, které nenapadl trik s rozvinutím pláště do roviny, se pokusili délku cesty vypočítat pomocí obvodu elipsy, kterou získáme protnutím kužele rovinou pod určitým úhlem. Toto řešení má mnohá úskalí, protože není zřejmé, jak přesně určit tento úhel, ani jak poté přesně spočítat obě poloosy elipsy. V každém případě poté získáme řešení lepší, než kdyby robot obcházel kužel kolem podstavy. Nejlépe se takto s úlohou popral Kuba Ammer.

Úloha č. 6

Dorotka má v misce r rajčat. Vždy, když vyřeší úlohu, sní n rajčat. Vzhledem ke složitosti problémů hned poté někdo přijde a zdvojnásobí počet rajčat v míse. Po páté úloze v misce nezbyla žádná rajčata. Jaký je poměr r:n?

Řešení: Prvním krokem je sestavení obecné rovnice pro n a r v závislosti na počtu vyřešených úloh. Nejprve vyjádříme levou stranu rovnice. Rozepíšeme si, kolik zbude Dorotce rajčat po několika prvních úlohách.

Takto by se dalo pokračovat až do pěti, ale existuje hezčí řešení.

Všimněme si, co se děje s jednotlivými proměnnými. Nechť u je počet vyřešených úloh (po každé z nich Dorotka sní rajče). Na první pohled vidíme, že koeficient u r roste s mocninou dvojky (pozn.: 2^{0}=1). Po u úlohách máme 2^{u-1}\cdot r.

S n je to o něco složitější. Nejprve si uvědomme, že po každé úloze odečteme n a pak každé odečtené n vynásobíme dvěma. Zatímco n, které jsme odečetli po první úloze, vynásobíme dvojkou celkem (u-1)-krát (počítáme od koeficientu 1=2^{0}), tak n, které jsme odečetli po druhé úloze, vynásobíme dvojkou celkem (u-2)-krát a tak dále.

Pro porozumění se koukneme na stav rajčat po třech úlohách. Přeformulujme výraz, kterým počítáme počet rajčat po 3. úloze: 4r-4n-2n-n na 4r-n\cdot(4+2+1). Podívejme se jen na koeficient u n (tedy (4+2+1)). V závorce nám vznikají pěkně popořadě mocniny dvojky: 4+2+1=2^{2}+2^{1}+2^{0}.

Nyní se přesuneme k zadaným pěti úlohám. Jako koeficient u n dostáváme 2^{4}+2^{3}+2^{2}+2^{1}+2^{0}=16+8+4+2+1=31. (Pozn.: takovémuto součtu mocnin se obecně říká součet geometrické řady a existuje pro něj hezký vzoreček). Po pěti úlohách tedy odčítáme 31\cdot n. Koeficient při r vypočítáme jako 2^{u-1}=2^{5-1}=2^{4}=16.

Levá strana rovnice po pěti úlohách je tedy 16\cdot r-31\cdot n. Ze zadání víme, že po páté úloze Dorotka všechna rajčata snědla. Pravá strana rovnice je tedy rovna nule.

Celkem dostáváme: 16\cdot r-31\cdot n=0, tedy 16\cdot r = 31 \cdot n. Poměr n:r je tím pádem 16:31. Komentář: Většina z vás řešila úlohu tabulkou, nebo střídavým odčítáním a násobením, při kterém vám vznikla spousta závorek a s tím nebezpečí, že se přepočítáte. Pro více úloh jsou tyto způsoby zdlouhavé a nepřehledné, pro pět úloh se vám nicméně většinou podařilo dobrat se správného výsledku.

Úloha č. 7

Tým má dvě zařízení. Ví, že se rozbijí hodem z n-tého patra, kde n \leq 100, ale neví, kolik je n. Mají k dispozici stopatrovou rampu. Na zařízeních jim moc nezáleží, ale vážně chtějí zjistit hodnotu n. Jaké je nejmenší k takové, že bez ohledu na n zjistí jeho velikost nejvíce na k hodů?

Řešení: První myšlenka, jak k takovéto úloze přistoupit, je, že najdeme alespoň nějaký způsob, jak n najít.

Jeden způsob je, postupně házet zařízení z prvního, druhého, ..., stého patra. Když se rozbije, zjistili jsme n. Tento způsob je ale dost pomalý. Kromě toho nevyužije, že máme dvě zařízení, ne jen jedno.

Zařízením proto budeme házet o víc než ob jedno patro. Pokud se zařízení hodem z i-tého patra nerozbije, tak víme, že n>i. Pokud se zařízení hodem z i rozbije, tak víme, že n\leq i.

V okamžiku, kdy se první zařízení rozbije, tak máme i_{1} a i_{2}, kde i_{1} je nejvyšší patro, z něhož se zařízení ještě nerozbilo, a i_{2} je patro, z něhož se zařízení už rozbilo. Pokud by se zařízení rozbilo prvním hodem, tak i_{1}=0.

Až se rozbije i druhé zařízení, tak už nebude možné o n nic zjistit. Musíme proto už skutečně házet ob jedno patro. Kdybychom nějaké vynechali, tak by zrovna ono mohlo být n. Budeme házet od (i_{1}+1)-tého patra po (i_{2}-1)-té patro. Když se zařízení rozbije hodem z nějakého patra, tak jsme zjistili n. Pokud se nerozbije, tak n=i_{2}.

Nyní musíme zjistit, jak optimálně házet prvním zařízením.

Mnoho z vás napadlo, že by se dalo házet v rovnoměrných rozestupech (tedy z desátého patra, dvacátého, třicátého, ..., stého). Lze si ale všimnout, že když se takhle první zařízení rozbije už prvním hodem, tak budeme potřebovat nejvíc devět hodů druhým zařízením. Pokud se rozbije až desátým hodem, tak hodů druhým zařízením budeme potřebovat úplně stejně. Pokud bychom tedy házeli z jedenáctého, jednadvacátého, ..., devadesátého prvního a stého patra, tak bychom v nejhorším případě potřebovali méně hodů.

Myšlenka tedy je, házet prvním zařízením tak, aby po j-tém hodu zbývalo v nejhorším případě k-j hodů. Rozestupy mezi patry, z kterých první zařízení postupně hážeme, se budou o jedna zmenšovat. Nejdřív proto hodíme zařízení z k-tého patra. Potom ho hodíme z k+(k-1)-tého patra. Potom z k+(k-1)+(k-2)-tého patra. Je tedy potřeba, aby součet čísel od 1 po k byl větší než 100. Zároveň to musí být nejmenší možné takové k.

Nejmenší takové k, že součet celých čísel od 1 po k je větší než sto, je 14. Buďto to zjistíme tak, že postupně sčítáme čísla, nebo víme, že součet čísel od 1 po k je k(k+1)/2, a zjistíme to pomocí něj (napíšeme si nerovnici, kterou musí splňovat, a tu vyřešíme).

Odpověď proto je, že nejmenší možné k je 14.

Ještě se zamyslíme nad tím, že naše k je skutečně nejmenší. Pokud by nebylo, tak by musel existovat způsob, jak n najít vždy na nejvíc 13 hodů. Potom by první hod nemohl být z vyššího než třináctého patra. Druhý by nemohl být výš než 25. patra (13+12=25) atd. Třináctý hod by proto nemohl být z vyššího než devadesátého prvního patra. Potom ale zbývá ještě dalších devět pater. Tudíž 14 je skutečně nejmenší.

Komentář: Hodně z vás nijak nepracovalo s tím, že hledáme nejmenší k. U takovéto úlohy je vždy potřeba to udělat. Vymyslet způsob, jak najít n, je jednoduché. Ta těžká část je vymyslet, jak to udělat rychle a taky dokázat, že to, co jsme našli, je skutečně nejrychlejší.

Můžeme si všimnout, že pokud zjistíme, že n>99, tak už nutně platí n=100. Jinak by totiž n neexistovalo, což ze zadání nelze. V pomalejších postupech toto pozorování zmenší k o jedna, v nejrychlejším nikoli.

Řešení se dalo sepsat samozřejmě i kratší, než je vzorové. Chtěla jsem vám ale ukázat, jaká je motivace za jednotlivými kroky.

Opravovali: 1. Eliška Vítková, 2. David Hájek, 3. Klára Hubínková a David Hájek, 4. Petr Khartskhaev, 5. Adam Dřínek, 6. Nikola Kalábová a Tomáš Flídr, 7. Magdaléna Mišinová.