Vzorová řešení a komentáře k 2. sérii
Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.
Úloha č. 1
Druhé pole zleva na spodním řádku označíme x (obr. vz211). Součet hodnot v tomto poli a v poli napravo od něj má být 11, takže v poli napravo od něj bude číslo 11-x. Do pyramidy pak doplníme čísla do ostatních polí (v každém poli má být součet čísel v polích pod ním).
Neznámá x se nakonec odečte a ve vrchním poli bude číslo 35. Kód je tedy 35.
Komentář: Většina z vás měla úlohu správně. Hodně často jste neznámé hodnoty ve spodním řádku pyramidy označovali x a y, což je samozřejmě v pořádku, ale použít x a 11-x je o trochu jednodušší. Body se strhávaly za uvedení jen několika příkladů bez důkazu, že to nikdy nemůže dopadnout jinak.
Úloha č. 2
Představme si, že máme o jeden drtič méně. Pak se drtiče umí beze zbytku uspořádat do řad po 4, 5, 6 a 7. Hledáme tedy nejmenší číslo, které je dělitelné těmito čísly a je větší než jedna, tedy nejmenší společný násobek těchto čísel. Abychom ho získali, nejprve čísla rozložíme na prvočinitele:
Poté mezi sebou vynásobíme nejmenší množinu čísel, pro kterou platí, že její součin obsahuje rozklad každého rozkládaného čísla, v našem případě tedy 2\cdot2\cdot3\cdot5\cdot7 = 420. A jelikož při rozestavení vždy jeden drtič zbýval, jejich celkový počet je 421.
Komentář: Tato úloha byla velmi jednoduchá. Nejčastější chybou bylo, že řešitel použil jiný postup než zjištění nejmenšího společného násobku, ze kterého často neplynulo, že jde opravdu o nejmenší možné číslo. Objevilo se také několik řešení obsahující dlouhý seznam násobků 4, 5, 6 a 7. V tomto případě šlo o stále docela malá čísla, takže i tímto způsobem se úloha teoreticky dala vyřešit, ale opravdu nejde o řešení, které bychom po vás chtěli.
Úloha č. 3
V této úloze je nejdřív potřeba si čtrnáctistěn představit a zjistit, z jakých jednodušších útvarů se jeho objem dá vypočítat. K tomu můžeme přistoupit dvěma způsoby. Buďto si vytvoříme model, abychom měli lepší představu, nebo si zkusíme z podmínek v zadání uvědomit, jak musí čtrnáctistěn vypadat. My teď uděláme druhý způsob (obr. vz231).
Vezměme jednu čtvercovou stěnu čtrnáctistěnu, označíme ji F. Ta každou hranou musí sousedit s jednou trojúhelníkovou stěnou. Žádné dvě z těchto trojúhelníkových stěn nesmí sousedit hranou, takže F musí každým rohem sousedit se čtvercovou stěnou. Obdobně to můžeme dokázat i pro ostatní čtvercové stěny. Stěna F a ty čtyři, s nimiž sousedí, je dohromady pět čtvercových stěn. Ta poslední proto musí být „zespoda“, rovnoběžná s F.
Předvedeme dva způsoby, jak se dá pokračovat:
První řešení
Máme šest čtvercových stěn dotýkajících se rohy. Dvě protější musí být rovnoběžné, aby to bylo pravidelné. Krychle má také šest stěn. Čtrnáctistěnu proto jde opsat krychle, která bude mít hranu stejné délky jako je úhlopříčka čtvercové stěny. Do celé krychle čtrnáctistěnu chybí 8 jehlanů. Vrcholy jednoho takového jehlanu jsou: vrchol krychle a tři středy hran krychle, které z něj vycházejí.
Označme si délku hrany krychle x. Je stejně dlouhá jako úhlopříčka čtvercové stěny čtrnáctistěnu, takže můžeme použít Pythagorovu větu, abychom ji vypočítali:
Můžeme proto vypočítat objem krychle, který je x^{3}.
Nyní vypočítáme objem jednoho jehlanu. Ten se počítá S\cdot v \over 3, kde S je obsah podstavy a v výška jehlanu. Za podstavu si vezmeme jednu ze stěn jehlanu, která leží na stěně krychle. Ta má tvar pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsny jsou polovinami hrany krychle. Její obsah proto je:
Výška jehlanu je také polovina hrany krychle, což je \sqrt{2}\over 2. Nyní můžeme vypočítat objem jehlanu:
Když nyní odečteme osmkrát objem jehlanu od objemu krychle, získáme objem čtrnáctistěnu.
Výsledek proto je 5\sqrt{2}/3\def\m{\,{\rm m}}\m^{3}, což je přibližně 2{,}357 \m^{3}.
Druhé řešení
Vezměme si dvě čtvercové stěny naproti sobě. Čtrnáctistěn si rozdělíme na kvádr, který je mezi těmito dvěma stěnami, a čtyři čtyřboké jehlany. Každý čtyřboký jehlan má dvě boční stěny rovnostranné trojúhelníky a dvě jsou poloviny čtverce.
Nejdřív spočítáme objem kvádru. Ten se počítá jako součin délek tří nerovnoběžných hran. Dvě hrany jsou strany čtvercové stěny čtrnáctistěnu, třetí je úhlopříčka takové stěny. Délku úhlopříčky vypočítáme stejně jako v prvním řešení a vyjde nám \sqrt{2}. Můžeme spočítat objem kvádru.
Nyní spočítáme objem jednoho jehlanu. Vzoreček pro výpočet jehlanu je opět S\cdot v\over 3. Podstava je tentokrát obdélník se stranami 1 a \sqrt{2}. Její obsah proto je 1\cdot \sqrt{2}=\sqrt{2}.
Musíme spočítat výšku jehlanu (obr. vz232). Označme podstavu jehlanu ABCD a vrchol jehlanu V, patu výšky jehlanu S. Protože jehlan má každé dvě protější boční stěny shodné, tak S leží uprostřed podstavy, tedy na průsečíku AC a BD. Z pravoúhlého \triangle ABC pomocí Pythagorovy věty spočítáme délku AC:
Úhlopříčky v obdélníku se půlí, takže |AS|=\sqrt{3}/2. Víme, že |AV|=1. Proto můžeme z pravoúhlého \triangle ASV vypočítat |SV|, což je hledaná výška jehlanu:
Nyní spočítáme objem jehlanu:
Zbývá sečíst objem kvádru a čtyřikrát objem jehlanu:
Výsledek nám tedy vyšel stejně, jako v prvním řešení.
Komentář: Velká část došlých řešení byla správná. Většina využívala první způsob řešení.
Prostorová představa čtrnáctistěnu občas dělala potíže, takže jste si to někdy zjednodušili nebo naopak ztížili. Dva uvedené postupy jsou na představivost asi nejméně náročné, našli se ale i tací, kteří zvolili složitější přístup a zvládli ho dotáhnout do zdárného konce.
Častým problémem bylo, že jste nepracovali s odmocninami až do konce, ale hned jste je vyčíslili. Tím pádem vám vznikla velká chyba ve výsledku. Když zaokrouhlíte tak, že máte chybu na druhém desetinném čísle, tak nemá smysl vypisovat výsledek na deset desetinných míst. Vyčíslený výsledek po vás ani nevyžadujeme, v základním tvaru s odmocninou bohatě stačí.
Úloha č. 4
Protože jsou mince rozmístěné po obvodu kruhu a na sousedních polích nejsou na začátku stejné znaky, mincí musí být sudý počet. Pokud by jich byl lichý počet, musely by vedle sebe být dvě stejné. Při každém otočení souvislého úseku mincí sjednotíme 3 různé úseky, celkový počet souvislých úseků mincí tedy snížíme o 2. Ten, po jehož tahu zbudou pouze dva úseky, vyhrál, protože v dalším tahu už musí nutně dojít k obrácení všech mincí stejným symbolem nahoru. Při každém otočení snížíme počet úseků o 2, celkový počet herních kol bude tím pádem polovina z původního počtu úseků.
Vikerský císař musí vydělit počet mincí dvěma. Pokud bude výsledek lichý, tedy bude lichý počet herních kol, poslední otočení zbude na hráče, který začíná, a vikerský císař tedy nechá začínat kitanského císaře. Pokud bude výsledek sudý, poslední otočení naopak zůstane na druhém hráči a vikerský císař bude začínat.
Komentář: Většina z vás úlohu vyřešila správně, ale častokrát váš postup zahrnoval jen výpis průběhu her při různých počtech mincí. Za toto řešení jsem dával 3 body.
Úloha č. 5
Nechť je a velikost hrany krychle (objem je tedy a^{3}) a v výška válce (objem je tedy S_{\rm podstavy} \cdot v). Aby mohly objemy být stejné, musí být třetí mocnina a dělitelná 60. Prvočíselný rozklad šedesáti je 2^{2} \cdot 3 \cdot 5. Pokud bude prvočíselný rozklad a obsahovat prvočísla 2, 3 a 5, bude a^{3} = 2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 5^{3} \cdot k^{3}, kde k je přirozené číslo (rozklad třetí mocniny se musí skládat z mocniny dělitelné třemi), což je dělitelné šedesáti. Kdyby a jedno z těchto prvočísel neobsahovalo, jeho třetí mocnina by nebyla dělitelná 60. Jelikož hledáme nejmenší možné a, musí být rovno 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30.
Komentář: Většina řešitelů, která úlohu odeslala, ji měla správně. Častou chybou bylo nezdůvodnění posledního a nejdůležitějšího kroku, tj. jak najít a. Ti, kteří to neudělali nebo udělali jen zčásti, dostali méně bodů.
Úloha č. 6
Nejprve je potřeba si uvědomit, že skupina se utrhne, když do ní spadnou alespoň dvě koule. Jednu kouli (65\def\kg{\,{\rm kg}}\kg) totiž lano ještě udrží, ale dvě (2\cdot65\kg =130\kg) už ne.
Poté můžeme postupovat dvěma způsoby:
První řešení
Očíslovat si koule a počítat pravděpodobnosti postupně:
Ať první koule spadne kamkoli, sama o sobě žádné lano nepřetrhne. Druhá koule má 14 možností dopadu (dopadne jinam než první). Aby nepřetrhla lano, musí dopadnout do jiné skupiny než první. V těchto skupinách je 10 nádob, takže šance, že druhá koule nepřetrhne žádné lano, je 10/14=5/7.
Třetí koule má 13 možností dopadu. Aby nepřetrhla žádné lano, musí dopadnout jinam než první dvě. Pokud první dvě žádnou skupinu neutrhly, jsou v jiných skupinách a třetí musí dopadnout do poslední volné skupiny, takže má 5 možností. Pravděpodobnost, že se žádné lano neutrhne třetí koulí, je tedy 5/13. Aby všechna lana zůstala, nesmí se přetrhnout po dopadu druhé ani třetí koule. Koule padají navzájem nezávisle (nijak se neovlivňují), takže celková pravděpodobnost je součinem jednotlivých pravděpodobností, tedy 5/7\cdot 5/13=25/91. Na očíslování koulí přitom nezáleží – pravděpodobnost vyjde vždy stejná.
Druhé řešení
Druhou možností je uvědomit si, že aby žádné dvě koule nespadly do stejné skupiny, musí právě jedna spadnout do každé ze tří skupin. Takový případ má pět možností pro každou skupinu nádob (koule spadne do jedné z nich), takže celkem jich je 5 \cdot 5 \cdot 5=125.
Dále je potřeba spočítat celkový počet možností dopadu tří koulí do patnácti nádob. První koule má 15 možností, druhá 14 a třetí 13. Počet rozmístění takto očíslovaných koulí do patnácti nádob je tedy 15 \cdot 14 \cdot 13=2730. Koule ale nemají pevně dané pořadí - jako první jsme mohli vybrat kteroukoli ze tří, druhou ze zbývajících dvou a třetí měla pouze jednu možnost. Z toho vyplývá, že počet možných očíslování koulí je 3 \cdot 2 \cdot 1=6. Každá možnost dopadů je proto v 2730 možnostech šestkrát, protože se pouze prohazují různé koule. Koule tedy mohly spadnout 2730/6=455 způsoby.
Pravděpodobnost výdrže všech lan je tedy 125/455=25/91.
Komentář: Došla spousta řešení využívajících různé postupy. Správná byla i některá řešení, která postupovala jinak než vzorové řešení. Kamenem úrazu bylo počítání s pravděpodobností. Je důležité si pohlídat, aby všechny možnosti, ze kterých ji počítáte, byly doopravdy stejně pravděpodobné. Dalším častým problémem bylo opomenutí vydělení všech možností šesti nebo záměna nějakého sčítání a násobení. Drobností, za kterou jsou body nestrhával, byl zápis výsledku. Ideální variantou je zlomek v základním tvaru. Není potřeba jej vyčíslovat na desetinné číslo nebo procenta. Počítání možností se dalo urychlit použitím kombinačního čísla.
Úloha č. 7
Úhlopříčka, podle které obdélník překládáme, obdélník rozděluje na dva shodné rovnoramenné trojúhelníky. Přeložením jeden z těchto trojúhelníků přes tuto úhlopříčku překlopíme a vznikne nám tak rovnoramenný lichoběžník ABCD se stranami a, b c, d, kde strana a je původní úhlopříčkou obdélníku, \triangle ABC je původní nepřeklopená část a \triangle ABD je ta část obdélníku, kterou jsme přes úhlopříčku překlopili. Ze zadání známe jeho ramena b a d o délce 100\m a úhlopříčky u a u' o délce 100\sqrt{2}\m (neplést s úhlopříčkami původního obdélníku). Z obr. vz271 vyplývá, že úhlopříčka u musí být delší stranou původního obdélníku. Trysky jsou umístěny na vrcholech C a D, naším úkolem je tedy zjistit délku kratší základny c.
K řešení lze dospět různými metodami, ovšem první krok u většiny z nich je společný – spočítat délku základny a. To provedeme pomocí Pythagorovy věty při využití \triangle ABC (alternativně při využití \triangle ABD). Úhel u vrcholu C tohoto trojúhelníku je pravý, protože před přeložením byl vrcholem původního obdélníku. Obě odvěsny známe, můžeme tedy počítat.
První řešení
Nejrychlejší způsob, jak úlohu dokončit, je si povšimnout podobnosti \triangle BCM a \triangle BCA, jako si povšiml Šimon Genčur. Oba trojúhelníky jsou pravoúhlé a sdílejí úhel u vrcholu B, což je postačující podmínkou. U podobných trojúhelníků platí, že poměry jejich kratších odvěsen a přepon jsou stejné – díky tomu spočítáme délku strany k:
Zcela určitě platí, že základna c je stejně dlouhá jako základna a mínus 2k:
Druhé řešení
Verča Menšíková přišla na druhý způsob, jak spočítat délku strany k – nejdříve si spočítala výšku pravoúhlého \triangle ABC. Eukleidova věta nám říká, že výška v u pravého úhlu je rovna součinu odvěsen ku přeponě:
Stranu k lehce dopočítáme pomocí Pythagorovy věty:
Stranu c dopočítáme stejným způsobem, jako jsme už dělali.
Třetí řešení
Poslední způsob, který si ukážeme, využila Anastasia Bredikhina. Pokusíme se spočítat délky stran r a s pravoúhlého \triangle ARD. Na první pohled se zdá, že to není možné, protože máme příliš neznámých veličin. Pokud si ale obrázek dobře prohlédneme, zjistíme, že součet stran r a s musí být roven úhlopříčce u, což vyplývá z osové symetrie lichoběžníku. Z Pythagorovy věty plyne:
Dosadíme za s:
Spočítáme stranu s:
Nyní si povšimneme podobnosti \triangle ABR a \triangle CDR. Oba jsou rovnoramenné, mají společný vrcholový úhel a jejich strany a a c jsou rovnoběžné. Proto musí platit:
Komentář: Jako u každé geometrické úlohy šlo k řešení postupovat mnoha způsoby. Nejstručnější a nejčistší z nich je přes podobnost trojúhelníků. Někteří řešitelé úlohu řešili přes počítání úhlů pomocí sinů a kosinů (či dokonce využitím sinové a kosinové věty), čímž bohužel ztratili možnost vyjádřit výsledek exaktně pomocí odmocnin.
Zajímavým postupem, který několik řešitelů využilo a který jsme ve vzorovém řešení nezmínili, je využití Ptolemaiovy věty. Rovnoramenný lichoběžník je tětivový čtyřúhelník, Ptolemaiova věta tedy lze oprávněně využít.
Pár řešitelů se u konce úlohy dopustilo chybného předpokladu, že úhlopříčky lichoběžníku jsou na sebe kolmé, a pokusilo se tedy spočítat výslednou délku (délku kratší základny) Pythagorovou větou.
Celkově můžeme tvrdit, že úloha byla obtížná, takže bodové ohodnocení tomu odpovídá.
Opravovali: 1. Alžběta Neubauerová a Helena Nováková, 2. Kateřina Nová a Jan Škopek, 3. Magdaléna Mišinová, 4. David Hájek, 5. Petr Khartskhaev, 6. Tomáš Flídr, 7. Adam Dřínek.
