Zadání 4. série 34. ročníku

Termín odeslání: 18. února 2019

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.


Mágové čtyřiašedesáti polí takřka v extázi za neustálých nadšených výkřiků absolvovali další turnajové kolo sledováním Simpsonů, rozhodčí u všech partií následně vyplnil jako výsledek remízu a pochopitelně výsledky zanesl na chess-results. Všechno se zdálo v pohodě, rozrušené a rozdováděné šachisty se rozhodčímu a zdravotníkovi postupně podařilo zklidnit a uložit ke spánku, byť spotřeba barbiturátů poněkud stoupla, ale objevil se jiný problém. Velká šachová fanynka Květa Beďar jako obvykle sledovala na internetu výsledky, velmi ji rozčílil velký počet remíz, ze kterého usoudila malou bojovnost hráčů. Okamžitě to e-mailem vytkla pořadateli a žádala nápravu s výhrůžkou upuštění od svého zamýšleného sponzorství.

Bezradnému usedavě plačícímu řediteli turnaje musel tedy přispěchat na pomoc zdravotník Svámí Šašišanda a s příznačnou orientální moudrostí ředitele uklidnil: „Neřvi, efendi! To zvládneme, a ještě na tom vyděláme!.“

Následným e-mailovým vyjednáváním se mu podařilo zachovat přízeň sponzora, a dokonce z Květy vymámit zvláštní prémie pro nejbojovnější hráče v dalším kole. Květa poslala skrze PPL deset zapečetěných obálek pro deset nejbojovnějších hráčů. Prémie měla být rafinovaně odstupňovaná podle toho, v kolika tazích hráč sebere soupeři 5 figurek. A aby to nebylo jen tak, byla v každé obálce jiná stříbrná mince, takže seřazeně podle velikosti každá vážila dvakrát více než předchozí.

Šašišanda a ředitel pochopitelně vůbec nezamýšleli prémie bezúčelně rozdat šachousům, ale bylo nutné eliminovat VIP hráče Václava Krauze, který se s Beďar možná trochu znal. Bylo třeba mu dát první cenu jako tzv. držhubné. Ale jak vybrat první cenu? Naštěstí se obětavě nabídl Franta Kameník. Nabídl použít svoje dvojramenné váhy a sice za symbolický poplatek 50 korun za jedno zvážení. „Samozřejmě bez účtu!.“ dodal. Šetrný Svámí Šašišanda se musel zamyslet a najít způsob, jak s nejmenším počtem vážení držhubné najít…


Úloha č. 1

Máme 10 vzájemně různě těžkých mincí. Pokud bychom je seřadili podle hmotnosti, tak by každá vážila dvakrát více než předchozí. Máme k dispozici rovnoramenné váhy. Na nejméně kolik vážení lze vždy najít nejtěžší minci?


Bez ohledu na Květiny intervence však rozhodčí skutečně vyvinul snahu zvýšit bojovnost turnaje, protože hrozilo, že se hráčům odbývání partií remízami po zkušenostech se Simpsony zalíbí a rychlé remízy budou často padat i bez organizování pořadatelem. Poradil se se Svámím Šašišandou a když podrobným studiem pravidel zjistil, že mezinárodní šachová federace FIDE nezakazuje pořadatelům turnajů motivovat hráče k bojovnosti upíráním stravy, vyhlásil, že kdo zremizuje, nedostane večeři. A schválně nechal do hracího sálu otevřené dveře od kuchyně, odkud neodolatelně voněly připravované topinky s česnekem… Slintající šachoví mágové hráli tak bojovně, že v partii Marka Klofáče s Eduardem Marunou si dokonce až křečovitě snaživí hráči ukvapeně vybili všechny figurky, takže oběma zbyli jen opuštění králové.

Po několika desítkách výpadů opuštěným králem se hladový velmistr Maruna hořce rozplakal: „Jak takhle zablokovanou pozici nezremizovat? S tím by měl problémy i AlphaZero, zatímco já jsem jen vyhořelý veterán!.“

Rozhodčí si věděl rady i s takto svízelnou situací. „Partii rozhodne rozstřel!.“ Měl pro tento případ připravený souboj, který je navíc divácky, a tedy i sponzorsky, velmi atraktivní, protože nudné šachy připomíná jen velmi vzdáleně.


Úloha č. 2

Eduard s Markem hrají zajímavou hru. Hraje se na čtverečkovaném papíře v poli o velikosti 6\times6 (Obr. zad421). Všechny krajní strany pole jsou na začátku zvýrazněné. Hráči se střídají ve zvýrazňování stran délky 1. Každý musí navázat tam, kde skončil jeho soupeř. Ten hráč, který první skončí svůj tah v bodu, který už je součástí jiné zvýrazněné strany, prohrál. Zvýrazněním které strany musí Eduard začít, aby zvládl Marka porazit, ať bude hrát sebelépe?


Poté, co rozstřelem vítězně rozhodl partii bezzubý šišlající velmistr Klofáč, se jinak prohry chorobně nesnášející Maruna ani příliš nezlobil. Jen na adresu soupeře něco utrousil o salátu a už se oba velmistři hrnuli k topinkám. Byly opravdu velmi silně česnekové. Tak silně, že přemíra česneku vedla u některých hráčů k výraznému poklesu krevního tlaku a následně k navazujícím stavům letargie, melancholie a k depresím.

Nejvíce česnek zlomil velmistra Tomáše Roláka. Tento i jinak silně introvertní hráč se velmi rozesmutněl: „Jde to se mnou z kopce! Hraju blbě! Kdyby to mezinárodní pravidla FIDE umožňovala, tak bych si asi sám sobě bral figurky a dával si mat! A je to tím, že si neumím udělat ani jeden trojúhelníkový talisman podle receptury aktuálního mistra světa Magnuse. Kdybych měl talisman nebo více výkonných talismanů, byl bych zachráněn. A kdyby mi ty talismany podle receptu někdo nakreslil, už bych si je podle obrázku vystříhal z popundeklu…“

Roláka se zželelo exmatfyzákovi Robertu Flekovi: „Neboj, já ti to nakreslím za chvilku! Dej sem tu recepturu!.“


Úloha č. 3

Sestrojte trojúhelník ABC, víme-li, že vzdálenost jeho těžiště od středu strany a je \def\cm{\,{\rm cm}}2{,}5\cm, vzdálenost od těžiště k vrcholu C je 6\cm a úhel sevřený stranou c a těžnicí jdoucí z vrcholu A je 30°. Popište konstrukci, proveďte rozbor, narýsujte. Zjistěte, kolik neshodných trojúhelníků splňuje zadání.


Velmistr Robert Flek samozřejmě nebyl tak naivní, aby správné zobrazení talismanů podle receptury mistra světa předával ufňukanému soupeři. Šachy samozřejmě hraje každý sám za sebe a k tomu patří i tvorba podpůrných prostředků. Robert si pro sebe ze snadno získaného návodu vytvořil přesně konstruované talismany a pobaveně sledoval, jak naivní Rolák z popundeklu pracně vystřihuje úplně nahodilé trojúhelníčky.

Dobrou náladu po lehkém získání receptury na výrobu zázračných talismanů exmatfyzákovi Flekovi skoro pokazil podivínský rozhodčí, když ho oslovil s návrhem, že by mohli vyrovnat dluhy. „Táhni, ty lumpe!! Já ti nic nedlužím!.“ jemně mu zaoponoval velmistr.

„Ale dlužíš! Možná ne moc, ale já jsem ti přece usnadnil plánování partií, když jsem ti zaručil, že nikdy v turnaji nebudeš hrát dvakrát po sobě černýma. A opravdu jsem to pohlídal a při losování jsem to ošetřil. Víc jsem slíbit nemohl, ale tohle ti přece počet možností zmenšilo“

Taková demence už ale exmatfyzáka rozlítila: „No to víš, že nezvětšilo! Ale víš, kolik možností ještě zbývalo?“


Úloha č. 4

Robert hrál na šachovém turnaji devět partií. Rozhodčí mu garantoval, že nebude hrát za černé dvakrát za sebou. Roberta zajímalo, za kterou barvu figur by mohl hrát v kterém kole. Kolik je těchto možností?


V tom se k docela ostrému obchodnímu argumentování nečekaně připletl mystik a zdravotník Svámí Šašišanda: „To je fakt hodně možností! Než takové pochybné kalkulování je určitě lepší se v turnajové praxi osvědčeně spolehnout na talismany, numerologii či spiritismus. S aromaterapií si už tolik jistý nejsem: po poslední česnekové kůře bylo v ložnicích hráčů tak silné aroma, že nešla ani otevřít okna, na kterých mimochodem pochcípaly všechny mouchy… a přesto jsem nějaké výrazné zlepšení výkonnosti hráčů nepostřehl. Ale do spiritismu se nám tu několik hráčů zase natolik zažralo, že pokud ty jejich přísně vědecké seance budou trvat ještě dlouho, tak to ohrozí pokračování turnaje. Právě testují optimální seřazení týmu médií kolem kulatého stolu tak, aby dosáhli maximální spirituální indukce, která se projevuje hlasitostí funění médií. Není to žádná sranda! Je jich ideální počet – magicky dokonalé číslo 7, jsou pro přehlednost očíslovaní, různě se přehazují, a radikální okultista Lechtavý dokonce navrhuje otestovat přepólování mentálních nábojů médií tím, že si budou sedat i zády ke stolu a hlavou dolů! Teď mě napadá, že by mi mohl velmistr Robert Flek spočítat, kolikrát se ještě zpřehází, než vyzkouší všechny možnosti, a já podle toho uvážím, co s tím dělat. Zvládneš to, Roberte?“

„Jako pat!.“ uchechtl se velmistr.


Úloha č. 5

Mějme 7 vzájemně rozdílných hráčů očíslovaných od 1 do 7. Kolika způsoby je lze umístit kolem stolu? Rozlišujeme, jestli sedí ke stolu zády a nebo čelem. Například sedí-li všichni čelem ke stolu, pak 1234567 je jiné umístění než 2345671.


Exmatfyzák hbitě spočítal počet možností řazení spiritistů kolem stolu a zdravotník turnaje Svámí Šašišanda se vyděsil. „To je moc! To se tu budou motat ještě dlouho… Musíme tohle jejich experimentování utnout, jinak máme na svědomí rozhodčího, protože ten ještě nerozdýchal konflikt s Květou Beďar, a jestli Květa postřehne další problémy v turnaji, odřekne sponzorování a máme po žížalkách i po rozhodčím!.“

„Mám nápad,“ zajásal Robert Flek, „před chvílí tu byl dealer s cukrovinkami a hledal kramáře Frantu Kameníka. Gurmán Franta se šel ale zrovna před chvílí podívat do psího útulku na nové přírůstky, a tak mu tady cukrářský dealer nechal na ukázku jeden vzorek nového zboží a odcestoval! Možná bychom na ten vzorek mohli okultisty nalákat, vymanit je ze spiritistického vytržení, a tak to jejich blbnutí přerušit“

Robert opatrně rozbalil krabici a objevila se krásná marcipánová Rubikova kostka. Ta samozřejmě ihned upoutala pozornost právě se zase znova řadících spiritistů – ale pochopitelně je nezajímalo trapné skládání políček podle barev, nýbrž okamžitě začali vydloubávat jednotlivé barevné krychličky a s velmi hlasitým mlaskáním je ochutnávali. Než se Šašišanda vzpamatoval a kostku jim vyrval, několik krychliček nenávratně z kostky zmizelo v útrobách šachistů. „Vždyť takhle vzorek ani nebude držet pohromadě!.“ zabědoval zdravotník.

„Klídek! Bude! A když se na torzo podívám seshora a zleva, vidím, že snad dokonce na několik způsobů!.“ odpověděl suverénně velmistr Flek…


Úloha č. 6

Z krychle 3\times3\times3 byly odebrány některé kostičky, na zbylý útvar známe pohled shora (Obr. zad461):

a pohled zleva (Obr. zad462):

kde šedá plocha značí malou krychličku a bílá plocha prázdné místo. Kolik takových útvarů existuje, pokud víme, že útvar je souvislý?


Nahlodanou Rubikovu kostku tedy Svámí Šašišanda opatrně uložil zpátky do krabice a mlaskající spiritisty zahnal do hracího sálu, když se k němu přiřítil exaltovaný ředitel turnaje s vytřeštěným zrakem: „Dotační titul na komunitní aktivitu! V eurech! Zlatý déšť! Jsme boháči! Brusel nás má rád!.“

Když se Svámímu Šašišandovi podařilo ředitele trochu uklidnit, zjistil, že se objevila možnost získat typicky velmi tučnou dotaci na komunitní živé šachy, ale že je nutno splnit řadu podmínek. Například musí mít šachovnice rozměr \def\m{\,{\rm m}}8\times8\m a musí být zdůrazněn ekologický aspekt, takže živé šachy se musí realizovat v lese.

„To ale nejde! V tak velké šachovnici budou překážet stromy!.“ lekl se Svámí.

Do diskuze se opět zapojil velmistr Robert Flek: „Já bych o něčem věděl! Turnaje se účastní místní amatér Standa, který jinak v civilu působí jako dřevorubec, a od toho vím, že díky kůrovci v lesích stromy v poslední době zase až tolik nepřekáží. A seznámil mě dokonce se svým kolegou Tarasem, který u příležitosti preventivních těžeb vytváří v lesních porostech holiny mystických tvarů přesně podle Tibetské knihy chytrých a takto magicky, a hlavně ekologicky, bojuje proti kůrovci. Tibetskou knihu chytrých, podle které se tajemné holiny tvarují, mu poměrně levně opatřil ekologický aktivista Franta Kameník. Taras už má vytěžené základní 4 holiny, které přesně splňují tibetská pravidla: čtverec, čtvereček, obdélník a kruh. Obdélník má jednu stranu stejnou jako čtverec a druhou jako čtvereček. Divné je, že plocha čtvercové holiny + dvě plochy obdélníkové musí být stejná jako 100 \m^{2} bez plochy čtverečku. To jsem teda nepochopil proč, ale koneckonců nám jde o dotaci a u těch jsou podobné záhady normální. Taras Frantovi důvěřuje a přesně se drží dodaného návodu. A taky už si u Franty objednal posvátný ostnatý drát MADE IN CHINA, který teprve dorazí z Číny s dalším parníkem a bude ho na jednoduché obehnání posvátných čtyř pasek, které spolu nesmí sousedit, třeba přesně 100 metrů. A taky vím, že po všech hranatých holinách už Taras rozházel energeticky pronikavě sálající srnčí bobky nasbírané o půlnoci za úplňku, takže tam už nesmí lidská noha vkročit. Na kruhovou holinu mu už ale bobky nestačily, do úplňku je daleko, tak tam nás se živým šachovým vystoupením asi pustí.“

„To bude ekologický a komunitní jako blázen!.“ zajásal ředitel turnaje a jeho srdéčko vášnivého ekologa se prudce rozbušilo, „ale vejde se šachovnice 8\times8 metrů do té kruhové paseky? Spočítá to někdo?“

Exmatfyzák Robert Flek se pohrdavě usmál: „Pro astrofyzika je magickogeometrický výpočet brnkačka!.“


Úloha č. 7

Standa vytěžil čtyři pozemky, kterým říká Čtvereček, Čtverec, Obdélník a Kolečko. Jak víte, Standa má velkou fantazii, takže pozemek Kolečko má tvar kruhu, pozemky Čtverec a Čtvereček jsou čtverce a Obdélník je obdélník. Obdélník má jednu stranu jako Čtverec a druhou jako Čtvereček. Plocha Čtverce a dvě plochy Obdélníku je 100 \m^{2} bez plochy Čtverečku. Na oplocení Obdélníku, Čtverce, Čtverečku a Kolečka (pozemky spolu nesousedí, ani se nepřekrývají) je potřeba přesně 100\m pletiva. Vejde se do Kolečka Standova Šachovnička 8\times8 metrů? Odpověď zdůvodněte.


Velmistr Flek samozřejmě rozměr kruhové holiny spočítal, ale mezitím už se rozpoutala bouřlivá diskuze mezi někdy příliš hloubavými šachisty, jestli je opravdu dost komunitně ekologické demonstrovat veverkám živé šachy, nebo by třeba bylo lepší zkusit získat dotaci na ekologicky-komunitní opékání ekologických biošpekáčků z Indonésie skrze Fair Trade, či dokonce radikálnější a vědečtější komunitně ekologické aktivity jako formou petice navrhnout vládě zkusit používat pro pohon motorových vozidel místo benzínu mnohem ekologičtější a naprosto obnovitelný odvar z kontryhelu. Bez ohledu na ušlechtilé fantazírování šachových myslitelů však turnaj pokračoval do dalších kol…