Zadání 1. série 34. ročníku
Termín odeslání: 22. října 2018
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Uf! … po rozkopané a rozpálené dálnici jsem konečně s velkým zpožděním dorazil k hracímu sálu velkého otevřeného šachového turnaje. Opouštím žhnoucí auto, zdravím hluboce zamyšlené soupeře a na poslední chvíli stíhám registraci. Zoufale se snažím o přípravu na partii prvního kola a sháním se po nějakých podkladech.
Úloha č. 1
Podivínský rozhodčí milující statistiky mi ale hledání neusnadnil – místo databáze partií hráčů, a tedy jejich oblíbených zahájení, mi poskytl jenom obecný přehled o všech 30 hráčích turnaje. Naštěstí tři různá zahájení nehraje nikdo. Ale 20\,\% hráčů hraje orangutana a zahájení jezevec hraje o 5 hráčů víc než orangutana. Křováckou obranu hraje o 3 hráče méně než jezevce. Dva hráči hrají jezevce i orangutana. Deset hráčů nemá žádné oblíbené zahájení a své první tahy v každé partii volí úplně nahodile – obvykle podle tajemného rituálu „EN-TEN-TÝ-KY-DVA-ŠPA-LÍ-KY-…“ To bude zase příprava na partii! Kolik hráčů vlastně hraje právě dvě zahájení?
Přípravu jsem tedy zkrátil na minimum a nakonec se stejně jako obvykle obracím na turnajovou kartářku Eržiku, která mi za rozumnou odměnu naznačí podrobnosti následující partie. Mám doufat v šustrmat.
A už nastupuji k první partii. Podivínský rozhodčí s pozlacenou píšťalkou před první partií nejenže povoluje, ale přímo důrazně doporučuje používání amuletů. Podle zdravotníka turnaje, léčitele Šašišandy, totiž užívání amuletů dokonale stabilizuje mnohdy vratkou psychiku mystiků čtyřiašedesáti polí. Na stolech se tedy objevují vysoce účinné amulety – od ledvinových kamenů velmistra Lechtavého přes plyšové modely hráčů propíchané pletacími jehlicemi a gumové pavouky na baterku až po tajemné okultní symboly. Můj soupeř Robert Flek právě takový symbolický amulet sálající brutální silou nasadil proti mé plastové, krotce světélkující podkůvce narychlo zakoupené v nedalekém vietnamském obchodním domě. Převahy Robertovy nezdolně stabilizované psychiky se tedy obávám.
Vedle Bobbyho partiáře stojí jakýsi rám pravidelného čtyřstěnu. Ve vrcholech čtyřstěnu blikají zelené lampičky a každá hrana čtyřstěnu je rozdělená na přesné třetiny dvěma stejně zeleně blikajícími lampičkami. Bliká na mě tedy 16 magických světel! Do začátku kola zbývá několik minut, tak se aspoň snažím využít dovolený doping a odcházím do bufetu na hambáč.
Cestou mě nečekaně osloví anorektický velmistr Bokáč: „Bobby na tebe nasadil svůj nejsilnější mnoharovnostrannotrojúhelníkový amulet! Jeho síla je v synergii mnoha rovnostranných trojúhelníků tvořených lampičkami. ABY SES MU UBRÁNIL, MUSÍŠ AMULET SPRÁVNĚ OSLOVIT A ZAKÁZAT MU, ABY TĚ OBTĚŽOVAL. ALE MÁŠ JEN JEDEN POKUS A PRO SPRÁVNÉ OSLOVENÍ MUSÍŠ PŘESNĚ SPOČÍTAT VŠECHNY ROVNOSTRANNÉ TROJÚHELNÍKY V TOM PROSTOROVÉM ÚTVARU.“ Pak stačí zašeptat jenom třeba: „Sedmačtyřicetirovnostrannotrojúhelníkový amulete, znám tě! Zakazuji ti na mne útočit! A máš vyhráno! Zlomeného Bobbyho zničíš i šustrmatem… Jenže ty trojúhelníky zatím nikdo nespočítal.“
Zakousl jsem se do hambáče a hluboce se zamyslel… ještě před prvním tahem přestal ten krám blikat a během několika minut moje dáma nekompromisně z pole f7 rdousí krále zcela paralyzovaného, dokonce mírně slintajícího a strnule zírajícího velmistra Fleka. Kolik rovnostranných trojúhelníků jsem napočítal?
Úloha č. 2
Máme jakýsi rám pravidelného čtyřstěnu (obr. zad121) a na něm vyznačeno 16 bodů. Čtyři z těchto bodů jsou vrcholy čtyřstěnu a zbylých 12 bodů rozděluje každou stranu na tři stejné části. Kolik rovnostranných trojúhelníků tyto body tvoří?
Cenný bod z prvního kola mě potěšil, přijímám gratulace od obou dvou členů náročného turnajového publika. Ještě dlouho se procházím po turnajovém sále, kde do dřevěných figurek strnule čučí mnohé dvojice šampionů královské hry, ale už se dohrává i poslední upachtěná partie a podivínský rozhodčí oznamuje turnajovou novinku. Turnajový zdravotník léčitel Šašišanda totiž tvrdí, že v sále je příliš mnoho hráčů, takže vzduch je nejen vydýchaný, ale že prána, aroma, a tedy i pozitivní energie prostředí trpí i jednotvárnou stravou hráčů sestávající se z hrachové kaše a fazolové polévky, takže je nutné urychleně zredukovat počet hráčů vyřazovacím způsobem. Pořadatel a rozhodčí v jedné osobě tedy hned ve druhém kole nařizuje selekci hráčů podle úspěšnosti při řešení šachové úlohy.
Úloha č. 3
Mějme nekonečnou šachovnici a na některém jejím políčku jezdce. Kolika způsoby se tento jezdec může šesti skoky přesunout na políčko o 12 políček vpravo? (Pozn. při délce strany políčka 1 může jezdec v šachu skočit na každé políčko, jehož střed je od středu políčka, na němž stojí, vzdálen právě o odmocninu z pěti.)
Daří se mi překonat i toto turnajové úskalí a musím dát za pravdu Šašišandovi, protože po odchodu neúspěšných řešitelů je smrad v sále o dost menší. Možná to ale bude taky tím, že podivínský rozhodčí dovolil otevřít okna, když se nechal přesvědčit, že v takovém vedru přece nebudou ufouni drzými nálety narušovat průběh turnaje.
Turnajovému zdravotníkovi Šašišandovi díky úspěšnému zákroku stouplo sebevědomí a rozhodl se zaměřit na seniorské účastníky turnaje, jejichž psychiku považuje za zvlášť ohroženou nedostatkem pohybu při náročném šachovém turnaji. Je tedy rozhodnuto, že o zdravý pohyb stařečků nad sedmdesát let bude postaráno povinnou kondiční kratochvílí připomínající poněkud fyzicky náročnější variantu známé hry Hanojské věže.
Úloha č. 4
Před hrací místností se nachází tři krátké sloupy, které kdysi snad sloužily jako součásti atrakcí dětského hřiště. Na jeden sloup se od největší (náklaďákové) až po nejmenší (z kočárku) navleče pět pneumatik a každý dědeček musí přemístit pneumatiky na jiný stojan, přičemž jde přesouvat vždy jen jedna pneumatika a pneumatika může být položena jen na prázdný sloup nebo na větší pneumatiku navlečenou na jiném sloupu. Úkolem je tímto způsobem přesunout věž pneumatik na vedlejší sloup. Otázka je: Kolika nejméně přesuny jde přesunout věž složená ze všech pěti různě velkých pneumatik?
Někteří senioři ovládali velmi úsporný způsob zvládnutí ozdravného cvičení, a pokud v jeho průběhu nezapomněli, že jsou na šachovém turnaji, vydali se s prokrvenou myslí k dalším partiím.
Z výborné kondice taháním pneumatik rozradostněných staříků byl nadšen i pořadatel turnaje a hned navrhl vytvořit doprovodný program i pro příští ročník turnaje, a sice pro všechny hráče. A raději hned navrhl hned dvě aktivity.
Léčitel Šašišanda se zamyslel a ve chvíli pořadateli nastínil dvě bojovky. Jednu pro tříčlenná družstva a jednu pro sedmičlenná. Při každé z obou velmi adrenalinových bojovek bude třeba vyčlenit jednoho pomocného zdravotníka, aby Šašišandovi pomohl nosit morfium a nitě na zašívání tržných ran. Podivínský pořadatel s Šašišandovým návrhem okamžitě souhlasil a byl odhodlán péči o kondici hráčů napříště podřídit i počet pozvaných hráčů, kde právě tušil určitý problém. Bude totiž muset současně řešit stížnosti hráčů ubytovaných na plně obsazených pětilůžkových apartmánech, že jsou diskriminováni oproti hráčům na pokojích, kde jsou některé postele volné. Hráči je mohou využívat před partií na odreagování jako trampolínu a tím získat zásadní výhodu před nešťastníky z plně obsazených pokojů. Antidiskriminační zákon není žádná legrace, takže pořadatel musí příště plně obsadit všechny pětilůžkové pokoje, zajistit sudý počet hráčů, aby všichni pořád hráli, a současně naplnit dvě Šašišandovy bojovky. Kolik nejméně hráčů musí pro příští ročník turnaje zajistit?
Úloha č. 5
Najděte nejmenší přirozené číslo, které je dělitelné pěti, je sudé a po dělení třemi i sedmi má zbytek jedna.
Euforie z doprovodných programů však vedle radostně hýkajících šachistů dolehla velmi těžce především na jejich úspěšného autora Šašišandu. V nezvladatelném tvůrčím rozletu navrhl pořadateli hned další doprovodný program, ke kterému ho inspiroval pohled na nedokončenou třísetmetrovou asfaltovou vozovku poblíž hracího sálu. Jednalo se o rovný úsek silnice dlouhý přesně \def\m{\,{\rm m}}300\m a na obou koncích ukončený mělkým příkopem. Šašišanda se tentokrát rozhodl do euforického skotačení zapojit vedle 30 hráčů také podivínského rozhodčího, protože si povšiml, že rozhodčí začíná být příliš zádumčivý. Tento doprovodný program pojal jako jakýsi flashmob. Pořadatele však zajímalo, jak dlouho tato akce potrvá, aby ji vhodně umístil před další kolo turnaje.
Úloha č. 6
Na třísetmetrové silnici na středové čáře je rovnoměrně rozmístěno 31 účastníků. Na začátku silnice stojí jeden a každých dalších 10\m stojí další účastník. Navíc se do hry dodatečně zapojilo pět náhodných diváků, kteří si stoupli na náhodná místa na středovou čáru a hrají také.
Účastníci (všech 36) lezou po středové čáře po čtyřech rychlostí 1\m za minutu. Ve chvíli, kdy se dva účastníci setkají, se oba otočí a vydají se opačným směrem. Účastníci se otáčejí dost rychle, takže dobu otáčení zanedbejme. Pokud dojde účastník až na konec silnice, tak z ní sleze.
Jak dlouho nejdéle může trvat, než všichni lezci budou mimo silnici, když nevíme, kterým směrem každý začínal?
Moji pozornost však už delší dobu poutá zadumaný, tiše si sám sobě stále něco breptající velmistr Robert Flek. Drtivá porážka, spojená se znehodnocením okultní síly amuletu, ho velmi poznamenala, ale bojovník Flek se nevzdává a usilovně se snaží najít nový, a pokud možno ještě mocnější amulet. Ovšem amulet není tak rychle k sehnání. V blízkém vietnamském obchodním domě už nemají ani svítivé podkůvky, a dokonce i pentagramy se srpy a kladivy jsou vyprodány. Léčiteli Šašišandovi se zoufalého velmistra zželelo a poradil mu, jak si amulet, který mu vrátí psychickou rovnováhu, vyrobí sám. Dokonce amulet trochu připomínající ten dřívější mnohatrojúhelníkový.
Šlo totiž zase o trojúhelník. Poskytl Robertovi za rozumnou cenu trojúhelníkový odřezek překližky s tím, že Robert si sám pomocí těžnic, které nakreslí podle olovnice při zavěšení trojúhelníku postupně za všechny vrcholy, zjistí těžiště trojúhelníka a právě v tom těžišti na svůj jeden prst položí vodorovně trojúhelník a mírně ho roztočí. Soustředěné pozorování balancujícího otáčejícího se amuletu Robertovi rychle obnoví psychickou stabilitu.
Jenže Robertovi se vybalancovat trojúhelník nedařilo a jeho psychické zubožení se spíš stupňovalo. Jal jsem se proto ihned přerušit jeho tiché zaklínání „Krucipísekdoprkýnkasakrfakrjásenato…“ a zeptal se ho, co dělá. Vysvětlil mi, že těžnice přesně zakreslil, že mu podle nich vyšel v trojúhelníku takový maličký trojúhelníček a v tom se snaží ten amulet podepřít. Ale nedrží! Řekl jsem mu: „Roberte, ty těžnice jsi zakreslil blbě! Všechny tři těžnice se musí protnout v jediném bodě, a ne že ti utvoří nějaký trojúhelníček. Zkus to znova a přesněji“
„Proč se musí všechny těžnice protnout v jediném bodě?“ ptal se Robert.
Úloha č. 7
Zdůvodněte, proč se v trojúhelníku všechny tři těžnice vždy protínají v jednom bodě.
Vysvětlil jsem to Robertovi a ten už za chvíli skelným zrakem šachisty sledoval skvěle vybalancovaný roztočený trojúhelník. Takřka okamžitě bylo patrné, že jeho psychika sílí, protože mu přestalo cukat oko i noha, zklidnil se mu dech a slintal jen velmi slabě.
