Vzorová řešení a komentáře k 3. sérii

Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.

Zadání naleznete zde.


Úloha č. 1

Abychom zjistili počet dělitelů, musíme si číslo 85\,085 rozdělit na prvočísla, tj. 85\,085 = 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17. Každý z dělitelů bude ve svém prvočíselném rozkladu obsahovat některá z těchto pěti čísel a žádná další. Dělitel ve svém prvočíselném rozkladu bude tedy obsahovat číslo 5, nebo ho obsahovat nebude. To samé platí pro čísla 7, 11, 1317. A máme tedy celkem 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32 možností.

Všimněme si, že jsme takto započítali i možnost, kdy jsme využili všechna prvočísla (dostaneme 85\,085), a možnost, kdy jsme nevyužili žádné prvočíslo (dostaneme číslo 1). Obě tato čísla jsou také děliteli.

Komentář: Tato úloha šla řešit mnoha způsoby: sčítáním kombinačních čísel, Gaussovou větou (v řešení výše je vidět, proč daná věta platí), nebo výpisem možností. Vypsání všech možností však nedoporučuji, je zde riziko, že nějakou možnost započítáme vícekrát, nebo že na nějakou zapomeneme. Navíc, pokud by číslo mělo více dělitelů, tak počet možností exponenciálně vzroste.

Úloha č. 2

Číslo devět má tři dělitele, a to 1,39. Aby vznikla devítka, musel buď jeden spiritista násobit devítkou a zbytek jedničkou, nebo dva spiritisté trojkou a zbytek jedničkou, tedy: 9\cdot1^{9}=9, nebo 3^{2}\cdot1^{8}=9. Kdyby jeden ze spiritistů násobil číslem 9, věděl by už od začátku, že všichni ostatní násobili číslem 1. Takže nám zbývá pouze varianta, kdy dva spiritisté násobí trojkou a zbytek jedničkou.

Nyní se zaměříme na výrok 6. spiritisty. „Ať přemýšlím, jak chci, vím jen svoje číslo.“ K 6. spiritistovi mohlo doputovat jedno ze tří čísel 1,39. Kdyby se k němu dostalo číslo 1, věděl by že všichni před ním násobili jedničkou. Kdyby se k němu dostalo číslo 9, věděl by, že všichni po něm násobili jedničkou. Kdyby se k němu dostalo číslo 3, nevěděl by, kdo z hráčů před ním násobil 3, ale kdyby on sám násobil také trojkou, věděl by, že všichni po něm násobili jedničkou. K 6. spiritistovi se tedy dostalo číslo 3 a on sám násobil jedničkou.

Třetí spiritista na to reagoval tím, že ví všechna čísla od 1. až po 6. Opět se podíváme, jaké číslo mohl 3. spiritista dostat a jakým násobit. Číslo devět dostat nemohl, protože by se pak k 6. spiritistovi nemohla dostat trojka. Kdyby se ke 3. spiritistovi dostalo číslo 3, nevěděl by jestli trojkou násobil 1., nebo 2. spiritista. Takže se k němu nemohlo dostat číslo 3. Zároveň věděl, čím násobili všichni po něm až po 6. spiritistu, ke kterému se dostala trojka. Aby věděl, čím násobili 4.5., musel on sám násobil číslem 3, jinak by opět nevěděl, který z nich násobil trojkou.

Poté se ozvali dva spiritisté najednou, že vědí všechna čísla. Zkusíme se podívat na to, čím mohl který spiritista násobit. Kdyby trojkou násobil 7. spiritista, pak by 8. určitě věděl, že to byl právě on – 6. odeslal číslo 3 a k 8. se dostalo číslo 9, tím by pak věděl, čím násobili všichni ostatní spiritisté. Trojkou tedy mohli násobit 3.7. spiritista. Kdyby trojkou násobil 8. spiritista, 7.,9. ani 10. by to nemohli vědět. Kdyby trojkou násobil 9. spirista, 7.,8. ani 10, by to nevěděli. Kdyby trojkou násobil poslední tj. 10. spiritista, 9. by to musel vědět – 9. by odeslal trojku, ale desátý by řekl číslo 9.

Existují tedy dvě různé varianty, jak mohli spiritisté násobit, a to buď 3.7. násobili 3 a zbytek 1, nebo 3.10. násobili 3 a zbytek 1.

Komentář: Nejčastější chybou bylo nenalezení druhého řešení, za to jsem strhával jeden bod. Často jste také nezdůvodnili, proč číslem 3 nemohl násobit žádný jiný spiritista. Úloha byla spíše jednodušší, takže ji měla většina řešitelů správně. Chtěl bych pochválit řešení Honzy Škopka, který obě řešení zpracoval do tabulky a v řešení od sebe jednotlivé výroky barevně odlišil.

Úloha č. 3

Úloha se dala řešit dvěma způsoby. První nevyžadoval žádnou složitější matematiku, ale nápadité pozorování. Druhý postup vyžadoval znalosti goniometrie.

Doplnění na rovnostranný trojúhelník

Pokud náš trojúhelník zobrazíme v osové souměrnosti podle strany AC, zobrazí se bod B do bodu B'. Úhel B'CB je dvojnásobek 30°. Velikost úhlu ABC je rovna 90° - 30° = 60°. Trojúhelník B'CB je proto rovnostranný (Obr. vz331). Úsečka AC spojuje vrchol se středem protější strany. Je to tedy těžnice. Bod P leží v jedné třetině těžnice. Je to tedy těžiště. Proto je přímka BP těžnice. V rovnostranném trojúhelníku je ale těžnice to stejné jako osa úhlu. Úhel ABP je tedy polovinou úhlu ABC, tedy 30°.

Řešení pomocí goniometrie

Velikost úseček AB a AP označíme c a x. Vidíme, že velikost úsečky AC je rovna 3x. Úhel ABP budu značit \alpha a vyjádřím ho pomocí funkce tangens jako \tan \alpha=x/c. Velikost úhlu ABC je rovna 90° - 30° = 60° a mohu ji pomocí funkce tangens vyjádřit jako

\tan 60°={3x\over c}=3\cdot {x\over c}.

Mohu do první rovnice dosadit {x\over c} = {\tan 60°\over 3}:

\tan \alpha={\tan 60°\over3}={\sqrt{3}\over3}.

Velikost úhlu ABP je tedy 30°.

Komentář: Nejčastější chybou byl asi předpoklad, že pokud dělí bod P úsečku AC na třetiny, bude se i úhel ABC dělit na třetiny. To není pravda. Je to mnohem složitější závislost než jenom přímá úměrnost. Tuto závislost vyjadřuje funkce tangens, a pokud si něco najdete o funkci tangens nebo se zeptáte ve škole, zjistíte, že její chování je podstatně divočejší než přímá úměrnost. Za taková řešení jsem uděloval 1 bod.

Úloha č. 4

Jedny hodiny se za hodinu zpozdí o 12 minut, druhé předběhnou o 4 minuty. Na prvních hodinách se ručičky za hodinu posunou o 48 minut a na druhých o 64 minut. Rozdíl v čase, který ukazují, se za hodinu zvětší o 12+4=16 minut.

Rozlišíme dva případy:

  • Hodiny, které se zpožďují, ukazují 12{:}40. Pak je rozdíl časů 13{:}20-12{:}40=0{:}40. Chceme-li zjistit, kdy byly hodiny seřízeny, stačí vydělit celkový rozdíl časů rozdílem časů za hodinu: 40/16=2{,}5. Před 2{,}5 hodinami byl na obou hodinách stejný čas. Zpožďující se hodiny se za tu dobu zpozdily o 12\cdot 2{,}5=30 minut, teď mají tedy ukazovat 12{:}40+0{:}30=13{:}10. Pro kontrolu můžeme to samé spočítat pro zrychlující hodiny: Celkem se předběhnou o 4\cdot 2{,}5=10 minut, teď mají tedy také ukazovat 13{:}20-0{:}10=13{:}10. A oboje hodiny byly seřízeny v 13{:}10-2{:}30=10{:}40.
  • Hodiny, které se zpožďují, ukazují 13{:}20. Druhé hodiny ukazují 12{:}40. Jelikož jdou rychleji než první hodiny, tak na nich musí být alespoň o den víc. V případě, že ukazují právě o den víc, rozdíl časů je 24{:}00+12{:}40-13{:}20=23{:}20. To si můžeme převést na minuty: 23\cdot 60+20=1\,400 minut. Stejně jako v prvním případě můžeme spočítat, kolik hodin jdou hodiny od seřízení: 1\,400/16=87{,}5. Zpožďující se hodiny se za tu dobu zpozdily o 12\cdot 87{,}5=1050 minut, to jest 17 hodin 30 minut. Teď mají ukazovat: 13{:}20+17{:}30=30{:}50 tj. následující den 6{:}50. Pro kontrolu spočteme i pro druhé hodiny: 4\cdot 87,5=350 minut to jest 5 hodin 50 minut. A teď mají ukazovat 12{:}40-5{:}50=6{:}50. A seřízeny byly v 6{:}50 - 87{:}30= -4 \cdot 24{:}00 + 16{:}20 tj. před čtyřmi dny v 16{:}20. Obdobně lze počítat pro případ, že druhé hodiny ukazují o 2,3,4... dní více.

V obou případech se po nějaké době zase sejdou oboje hodiny na stejném čase, pouze jedny budou ukazovat o několik dní víc. Označíme-li si x hledanou dobu a y počet dní, o který budou rychlejší hodiny ukazovat více, platí:

\eqalign{x\cdot 64&=x\cdot 48+y\cdot 24\cdot 60,\cr 16x&=y\cdot 1\,440,\cr x&=y\cdot 1\,440/16=90.\cr}

Tedy po 90 hodinách budou ukazovat zase oboje hodiny stejný čas. Kompletním výsledkem úlohy je tedy v prvním případě: aktuální čas 13{:}10+90k a čas seřízení 10{:}40+90k, kde k=0,1,2... Obdobně v druhém případě: aktuální čas 30{:}50+90l a čas seřízení -4 \cdot 24{:}00 + 16{:}20+90l, kde l=0,1,2...

Komentář: Téměř všichni řešitelé řešili pouze první případ. V zadání nebylo jednoznačně řečeno, které hodiny jsou které, ale i tak se to dalo pochopit. Proto jsem opravovala mírně a i toto částečné řešení jsem uznávala za 5 bodů.

Úloha č. 5

Všetky priamky rovnobežné s nejakou stenou žijú na plochách rovnobežných s tými stenami. Každá stena má takúto rovnobežnú plochu, ktorá ešte k tomu prechádza stredom štvorstenu práve jednou. Vezmime si bez ujmy na všeobecnosti, že hľadáme úsečku rovnobežnú s podstavou a „prednou“ stenou. Vezmime si trojuholník tvorený touto úsečkou a „horným“ vrcholom. Vidíme, že spojnica horného vrcholu so stredom štvorstenu je ťažnicou nášho trojuholníka. Ak si trojuholník „predĺžime“, aby sa dotýkal podstavy, dostaneme dvojicu podobných trojuholníkov. Keďže ťažisko pretína ťažnice v pomere 2:1, vieme, že menší trojuholník má strany s 2/3 dĺžkou oproti predĺženému trojuholníku. Teraz ale potrebujeme zistiť, akú dĺžku má „spodná“ hrana predĺženého trojuholníka. Všimneme si, že táto hrana prechádza ťažiskom podstavy a je rovnobežná s jednou hranou (spoločnou hranou podstavy a prednej steny). Preto je jej dĺžka 2/3 z dĺžky hrany.

Teraz chceme ale zistiť, v akej výške je úsečka od podstavy. Vezmime si teraz trojuholník ABC, kde A,B sú vrcholy štvorstenu a C je stred ich protiľahlej hrany (obr. vz351 a obr. vz352). Potom AC a BC sú ťažnice stien. AD a BF sú ťažnice štvorstenu. Cheme zistiť, ako vysoko sa pretínajú. Keďže DC je tretina BC, aj EC je tretina FC, a teda devätina AC. Teda AF je 3/4 z AE. A teda ak T je ťažisko čtyřstěnu, tak TF je 3/4 z DE.

Teda hľadaná výška je 2/3 z 3/4, teda 1/2 hrany.

Úloha č. 6

Rovnici můžeme upravit postupným vytýkáním:

\eqalign{ab + 2a + 2b &= 1,\cr a(b + 2) + 2b &= 1,\cr a(b + 2) + 2b + 4 &= 1 + 4 ,\cr a(b + 2) + 2(b + 2) &= 5,\cr (a + 2)(b + 2) &= 5.\cr}

Protože ab jsou celá čísla, tak celé jsou i oba činitele a + 2b + 2. Číslice 5 je prvočíslo, takže se na součin celých čísel dá rozložit pouze jako 5 \cdot 1 nebo (-5) \cdot (-1). Násobení je komutativní, takže všechna tato čísla mohou být hodnotou a + 2b + 2.

Pokud a + 2 = 5, platí i b + 2 = 1 a naopak, pokud b + 2 = 5, platí a + 2 = 1. Z toho dostaneme, že jedno z čísel ab je o 2 menší než 5, je tedy 3, zatímco druhé je o dva menší než 1, takže je -1. Řešením jsou obě dvojice a = 3; b = -1a = -1; b = 3.

Obdobně v druhém případě a + 2 = -5 platí, že čísla ab jsou o 2 menší než -1, respektive -5. Jedno z nich je tedy -3 a druhé -7, díky komutativně násobení jsou možná řešení a = -3; b = -7a = -7; b = -3.

Řešením rovnice jsou tedy dvojice: -1; 3, po prohození 3; -1-3; -7, prohozeně -7; -3.

Úloha č. 7

Nejprve určíme, v jakém pořadí leží body A, BR na přímce (Obr. vz371).

Pokud by bod R ležel mezi AB, tak by nemohlo platit, že |AB| je stejná jako vzdálenost R a bližšího z bodů AB. Pokud by body ležely v pořadí B, A, R nebo opačném, tak by se polopřímky, na nichž by musel ležet bod P, nikdy neprotly. Proto body musí ležet v pořadí A, B, R.

Přímý úhel má 180°, takže musí platit:

|\angle ABP|=180°-|\angle RBP|=180°-40°=140°.

Součet úhlů v trojúhelníku je 180°, takže platí:

|\angle APB|=180° -|\angle ABP|-|\angle BAP|=180° - 140° -20°=20°.

Pokud jsou dva úhly v trojúhelníku shodné, je trojúhelník rovnoramenný, takže |AB|=|BP|. Ze zadání víme, že |AB|=|BR|, takže |BP|=|AB|=|BR|.

Nyní jsou možné dva postupy.

  • Protože |BP|=|BR|, je trojúhelník BPR rovnoramenný se základnou PR, takže |\angle BPR|=|\angle BRP|. Zároveň známe velikost úhlu PBR a víme, že součet úhlů v trojúhelníku je 180°. Proto platí:
|\angle ARP|=|\angle BRP|=180° -40° /2=70°.
  • Protože |BP|=|AB|=|BR|, leží bod P na Thaletově kružnici s průměrem AR. Takže |\angle APR|=90°. Součet úhlů v trojúhelníku je 180°, takže platí:
|\angle ARP|=180° -20° -90°=70°.

Komentář: Drtivá většina řešitelů došla ke správnému výsledku. Někteří si to ale vyložili tak, že stačí situaci narýsovat. Tím sice zjistili přibližnou hodnotu výsledku, ale je to metoda velmi nepřesná, takže jsem za takové řešení udělovala velmi málo bodů.

Téměř všichni jste zapomněli rozebrat, v jakém pořadí body leží na přímce. Proto velmi chválím ty, kteří se o to alespoň pokusili.

Opravovali: 1. Jiří Štrincl, 2. David Hájek, 3. Eliška Vítková a Martin Zimen, 4. Lenka Vábková, 5. Martin Smolík, 6. Tomáš Flídr a Martin Černý, 7. Magdaléna Mišinová.