Zadání 6. série 33. ročníku

Termín odeslání: 21. května 2018

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.

„Nemáme třešně!.“ přerušil ho pisklavým hláskem jeden z trpaslíků. Všichni jsme se po něm zmateně podívali.

„Vždycky, když nám chce Sněhurka něco důležitého říct, přinese nám třešně,“ podpořil ho další trpaslík. Dlouho nikdo nevěděl, co na to říct.

„Vážně to bez nich nepůjde?“ zeptal se nakonec duch.

„Ne!.“ odporoval důrazně trpaslík se vtipně zkrouceným obličejíkem. Zase zavládlo ticho. Následně jsme všichni vyprskli smíchy. I Dracula. Jen trpaslíci se pořád tvářili smrtelně vážně.

„Na zahradě pár stromů je,“ řekla jsem.

„Dojdu něco natrhat,“ nabídla se bílá paní.

„To bys byla hodná,“ usmál se trpaslík a atmosféra se zázračně uvolnila. Ani jsem si pořádně nevšimla, jak se dostali na zem, nicméně dva z trpaslíků něco malovali do prachu. Nepochybovala jsem, že nějakou hru, a měla jsem pravdu.

Úloha č. 1

Stydlín a Prófa hrají následující napínavou hru. Na začátku mají napsáno n sudých a k lichých (celých) čísel. Hra spočívá v tom, že ten, kdo je na tahu, vybere číslo, odečte jej ode všech ostatních a smaže ho. Začíná Prófa. Střídají se v tazích a pokračují až do doby, kdy je na zemi právě jedno číslo. Pokud je toto číslo sudé, vyhrává Prófa, pokud liché, tak Stydlín. Rozhodněte, kdo má v závislosti na n a k vyhrávající strategii.

„Začíná mi připadat, že vaše zásoba úloh a hříček je snad nekonečná,“ pochváila jsem ducha.

„Taky jsem měl 300 let na jejich sesbírání,“ připomněl.

„Nechtěl byste sepsat knihu?“ napadlo mě.

„Výborný nápad,“ uznal, „ale už jsem vás v něm předběhl. Na té sbírce zrovna sedíte.“

„Je v té krabici?“

„Ne,“ opravil mě pan Kardl, který otevřel bednu pod sebou. „Hádám, že je ve všech těch krabicích tady.“ Jako na povel se všichni zvedli a otevřeli svoji. Opravdu. Všechny byly plné papírů. Jeden z nich jsem vytáhla.

Úloha č. 2

V pravoúhlém trojúhelníku s pravým úhlem ve vrcholu C spustíme výšku z vrcholu C na stranu AB a její patu označíme D. Nechť S_{1} je střed kružnice vepsané trojúhelníku ADC a S_{2} je střed kružnice vepsané DBC. Dokažte, že přímka AS_{1} je kolmá na CS_{2}.

„Ale no tak!.“ napomenul nás duch. „Máme přeci oslavu. Ukliďte to, za chvíli snad bílá paní donese třešně a budeme moct pokračovat.“ Poslechli jsme. Jen co trpaslíci douklidili poslední listy (pochopitelně krabici rozházeli nejvíc ze všech), ve dveřích se objevila bílá paní s košíkem třešní. Samozřejmě ani ona je nemohla natrhat neoriginálně.

Úloha č. 3

Bílá paní natrhala košík třešní spojených do dvojic, trojic a čtveřic. Třešne mohou být rozděleny mezi 6, 12 nebo 14 lidí tak, aby všichni dostali stejně a žádnou skupinku třešní nebylo třeba roztrhnout. Kolik mohlo být v košíku třešní, pokud víme, že se do košíku nevejde více jak 150 třešní? Pokud víme, že v košíku byly čtyři čtveřice, kolik mohlo být v košíku dvojic a trojic?

„Tak tedy,“ postavil se znovu duch, „jak někteří z vás už možná uhádli, událost, která si zaslouží takové oslavy, je, konečně, moje úmrtí!.“

Všichni začali hlasitě tleskat. Všichni kromě mě a pana Kardla. Nějak jsme zkrátka nechtěli pochopit, o čem je řeč.

„Za osvobození od tohohle domu, který nade vše miluji, vděčím jeho nové majitelce,“ pokynul mým směrem, „která dokázala, že ráda zachová jeho matematického ducha a postará se o mé poznámky. Díky tomu mohu v klidu odejít.“

Tentokrát se k potlesku přidal i pan Kardl. Pak už jen všichni gratulovali. Duchovi i mně. Všimla jsem si, že bílá paní dokonce uronila pár slz.

„Gratuluju. Máš štěstí, jeden známý taky čeká na matematika a už je mu 720 let,“ chválil ducha Dracula.

Úloha č. 4

Kolika způsoby jde napsat číslo 720 jako součin přirozených čísel větších než jedna tak, aby součet těchto čísel byl alespoň 30 a bylo jich alespoň 5? Na pořadí čísel v zápisu záleží.

„Tak vyřiď, že držím palce,“ popřál mu duch.

„Mohl jste mi říct trochu dříve, o co jde, nemyslíte?“ zeptala jsem se, když jsem mu podávala ruku já.

„To by neplatilo. Potřeboval jsem, abyste počítala, aniž byste si myslela, že musíte,“ vysvětloval.

„Dobrá, odpouštím vám,“ řekla jsem.

„Ještě aby ne,“ pousmál se. „Když dostanete všechny moje zápisky.“

„Ano, za to moc děkuju. Kolik těch příkladů vlastně je?“

„Tak to netuším. Hodně. Můžete si je spočítat, až budete mít dost volného času,“ ozval se pan Kardl.

„Co tím myslíte?“ zeptala jsem se, protože jsem si všimla, že v ruce drží nějaký papír.

„Našel jsem takovou úlohu,“ potvrdil mé tušení.

Úloha č. 5

Mějme součet n po sobě jdoucích čísel (např. stránek v tomto letáku, ale může být i lichý součet). Je toto číslo vždy dělitelné n?

„Každopádně si myslím, že tolik času mít nebudu,“ podotkla jsem „leda by ze mě byl taky duch.“

„To si nepřejte. Po sto letech to přestane být zábava,“ stěžoval si duch.

„Pořádají duchové hodně večírků?“ napadlo mě.

„Ani si neumíte představit, kolik,“ odpověděl. „A mnohem větší než tahle oslavička. Občas je docela problém s pozvánkami. Strašidla jsou věčně rozhádaná a musíte to vymyslet tak, aby tam nebyla žádná, která se nechtějí ani vidět. Jeden můj pra–pra–pra–prapředek vyprávěl, kolik práce mu dalo dostat na stejný večírek Romea a Julii. Podařilo se mu to až na několikátý pokus. Ostatně, všechny ty varianty jsem taky sepsal. Někde tu budou.“ Chvíli se hrabal v bednách a podal mi další papír. Pan Kardl se mi díval přes rameno a spolu jsme četli:

Úloha č. 6

Koná se večírek a je jasné, že pokud půjdou na večírek Romeo i Julie, tak se dají dohromady. Nicméně, jak už to tak bývá, lidé chodí na večírek pouze, pokud jdou jejich kamarádi, nebo nejdou jejich nepřátelé. Situace je následující:

Pokud nepůjde Benvolio, půjde Veronika.
Pokud půjde Merkucio, nepůjde Eskalus.
Eskalus půjde, pouze pokud půjde Tybalt.
Když půjde Veronika, nepůjde Merkucio.
Když nepůjde Tybalt, půjde paní Kapuletová.
Pokud půjde Paris, nepůjde Adalbertina.
Když půjde paní Kapuletová, půjde s kamarádkou Adalbertinou.
Pokud nepůjde Romeův nepřítel Paris, ale půjde synovec Benvolio, tak Romeo půjde.
Pokud půjde paní Kapuletová, tak půjde určitě i Julie.

Dorazí nakonec Romeo s Julií na večírek, pokud víme, že Merkucio na oslavu dorazil?

„Slzičky na rozloučenou!.“ vyrušilo nás zvolání bílé paní. Naklonil se ke mně Dracula a vysvětloval, že až cukroví sníme, definitivně tím náš duch zemře. Je to něco jako smluvené znamení pro duši, že už může navěky opustit svět lidí. Úplně jsem nepochopila, jestli je tedy tvar zákusku podstatný. Šlo v podstatě o čokoládové kornoutky. A moc hezky nazdobené.

Úloha č. 7

Máme šest stejných útvarů podobných tvaru kapky. Každý je tvořen kuželem a polokoulí. Kužel má kruhovou podstavu s průměrem a. Polokoule je nad podstavou kužele. Kapky položíme na stůl tak, že leží vedle sebe a jejich vrcholy se dotýkají v jednom bodě. Při pohledu shora tvoří šestiúhelník s polokružnicemi nad stranami. Zjistěte objem jedné kapky.

Poslední sousto zbývalo bílé paní. Trošku jsem ji podezírala, že se schválně loudala. Když dojedla, upřímně, čekala jsem něco efektnějšího, než že se přízrak prostě vypaří a ostatní hosté odejdou stejně nečekaně, jako se objevili.

Záhy jsme s pane Kardlem osaměli mezi bednami plnými úloh.

„Jdeme na ně?“ zeptal se.

„Ano,“ řekla jsem. „Máme na to celý víkend a za měsíc celé letní prázdniny…“