Zadání 5. série 33. ročníku
Termín odeslání: 9. dubna 2018
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Sešlost se přesunula do obýváku. Trpaslíci se přetahovali o ovladač k televizi, Dracula o něčem debatoval s hejkalem, ostatní jen tak posedávali kolem.
„Řeknete mi už konečně, proč jste se všichni sešli v mém domě?“ zeptala jsem se snad dost nahlas, abych překřičela televizi. Očividně to stačilo. Trpaslíci vyplašeně položili ovladač. Hovor utichl. Ale nikdo se nesnažil mi odpovědět. Najednou je strašně zajímal vysílaný pořad.
Úloha č. 1
Mějme herní pole hry Ypsilon o straně 7 (jako v televizním pořadu AZ kvíz). Chceme spojit všechny tři strany sedmi políčky. Kolik je možností vybrat políčka tak, aby mezi nimi bylo alespoň jedno rohové políčko (u jednoho ze tří vrcholů)?
„Omyl,“ ozval se hlas neviditelného mluvčího, „tohle není váš dům. Tohle je můj dům.“ Otočila jsem se kolem dokola ve snaze zjistit, kdo to mluvil. Pochopitelně jsem nikoho nenašla.
Televize se sama od sebe vypnula.
„Kdo jste?“ otázala jsem se. Nebo jsem se jen zeptat chtěla?
„Bydlím tu už přes 300 let. Sedmdesát jako člověk, potom bohužel jen jako duch,“ odpovídal. Napadlo mě, jestli je to náš Pachatel.
„A co tu všichni tihle dělají? Pozval jste je vy?“
„Pozval jsem je na oslavu,“ řekl a já si ho mohla konečně pořádně prohlédnout. Zhmotnil se přímo v kuchyňských dveřích.
„O–oslavu čeho?“ vykoktala jsem.
„Uvidíte. Pojďte blíž, mám pro vás úlohu,“ řekl a podával mi podivnou krabičku. Vypadala jako miniaturní dřevěný trezor. Vzala jsem si ji. Jako první jsem si všimla zvláštního zdobení stěn krabičky.
Úloha č. 2
Mějme libovolný bod X uvnitř čtverce. Pokud bod X spojíme úsečkou se všemi vrcholy čtverce, rozdělíme čtverec na čtyři trojúhelníky. Dokažte, že těžiště takto vzniklých trojúhelníků budou vždy tvořit nový menší čtverec.
„Co s tím?“ nechápala jsem. Bylo zřejmé, že do číselníku se má zadat čtyřciferný kód.
„Uvnitř je něco, co se vám bude hodit,“ naznačoval duch.
„Mám ho otevřít? Neznám heslo,“ namítala jsem.
„Vymyslíte ho. Tady máte nápovědu.“
Úloha č. 3
Kódem je čtyřciferné číslo. Pokud napíšeme jeho cifry v opačném pořadí, vznikne nové, rozdílné číslo, které je dělitelem původního čtyřčíslí. Jaký je kód k otevření krabičky?
Periferně jsem zahlédla, jak pan Kardl vstává, aby se podíval také, ale sněžný muž mu naznačil, ať zůstane. Naštěstí jsem k vyřešení hádanky jeho pomoc nepotřebovala. Krabičku jsem otevřela sama. Její obsah mě ale poněkud zklamal. Čekala jsem něco mnohem magičtějšího než obyčejnou svíčku.
„K čemu to bude dobré?“ zvedla jsem ji.
„Uvidíte, pojďte za mnou,“ ukázal duch do kuchyně. Co proboha tam? Soused se tázavě podíval na Yettiho. Ten ho tentokrát nechal jít.
Ukázalo se, že za jednou z mnoha poliček je tajný tunel, o kterém jsem neměla ani tušení.
„Vy, váš soused, Dracula, sněžný muž a bílá paní půjdete tudy,“ oznámil duch bez ptaní, jestli s něčím takovým souhlasíme.
Úloha č. 4
Pět lidí chce projít tunelem. Tunelem musí chodit se svíčkou a smí chodit nejvíce po dvou. Mají jen jednu svíčku. Nejrychlejší projde tunelem za 10 minut, další dva za 20 minut a nejpomalejší dva za 40 minut. V jakém nejkratším čase můžou projít tunelem?
Dorazili jsme do rozlehlé podzemní místnosti. Ostatní členové naší malé společnosti už tu byli. Netuším, kudy se sem dostali, každopádně to musela být příjemnější cesta než stísněný tunel.
Uprostřed místnosti stál ohromný stůl plný nejrůznějšího jídla. Netušila jsem, že strašidla jedí to samé co my. Až na Drákulu, pochopitelně. Po stranách stály nějaké nevybalené krabice, z nichž některé měly zřejmě sloužit místo židlí.
„Posaďte se tu,“ zval nás duch. Poslechli jsme a já napjatě čekala, co bude dál.
„Doporučoval bych ovocný salát. Je tady v té míse,“ ukazoval. „Nechtěla byste si ještě započítat?“ podíval se na mě. Nečekal na odpověď a rovnou začal se zadáváním.
Úloha č. 5
Mějme krychli o délce strany 2, jejíž každý vrchol je středem koule o poloměru 1. Doprostřed mezi koule vložme pravidelný osmistěn, který se bude v těžišti každé stěny dotýkat jedné z koulí. Spočtěte délku strany tohoto osmistěnu.
„Předpokládám, že je to tvar té mísy,“ podotkla jsem.
„A zeleninový salát je v té krychli,“ ukazoval na druhou stranu prostřené tabule.
„Působivé,“ uznala jsem.
„Ano, geometrie mě vždycky velmi bavila,“ rozpovídal se.
„Byl jste matematik?“ zajímala jsem se.
„Spíš nadšenec,“ opravoval mě.
„Proto pořád ty úlohy?“ chtěla jsem se konečně něco dovědět o podivné oslavě.
„Chcete ještě úlohu?“ dělal, že špatně slyšel.
„A řeknete mi pak, o co tu jde?“ naléhala jsem.
„Možná,“ usmál se.
„To je mi odpověď,“ zlobila jsem se, ale sem s tou úlohou!
Úloha č. 6
Najděte všechna celočíselná řešení rovnice 3a^{2}+6a+2=391.
„To je snadné,“ řekla jsem po dopočítání.
„Dobře, že si to myslíte,“ pochválil mě duch.
„Tak tedy? Dočkám se konečně nějakého vysvětlení?“
„Budu vás ještě chvíli napínat,“ usoudil a vzal si chlebíček. Pokoušela jsem se znovu navázat rozhovor, ale marně.
„Víte co? Pojďme si zasportovat!.“ navrhnul po chvíli duch. Vyskočil na nohy, jestli se to tak dá u přízraku říct, a nečekaně energicky popošel ke dveřím za sebou. Kupodivu nebyly ničím zabarikádované.
Za nimi byl ještě větší prostor než v místnosti, kde jsme byli doposud, a u stěny ležela hromada plastových pistolek.
„Co to je?“ ozval se pan Kardl. Zřejmě se mu do sportu dvakrát nechtělo. Ale všichni šli, tak se připojil také.
Zkoušeli jsme při střílení různé formace, až jsme narazili na zajímavý problém.
Úloha č. 7
Máme jedenáct lidí na hřišti, kteří na sebe střílí špuntovkami. Každý střílí na toho, který je k němu druhý nejbližší. Je možné, aby deset lidí zároveň střílelo na jednoho?
Po hře, když jsme se opět usadili každý na svou krabici, se duch znovu postavil. Zacinkal na skleničku, jako by chystal proslov.
„Nyní tedy přistoupíme k tomu, proč jsme se tu sešli,“ zahájil ho.
