Zadání 3. série 33. ročníku
Termín odeslání: 15. ledna 2018
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Konečně pátek! Bylo sotva pět hodin a už jsem s panem Kardlem pila v hale čaj. Vyprávěl mi, co se za poslední dny v mém domě dělo. Začínalo to pomalu znít jako hororový scénář. Okna se tu otevírala a zavírala, světla rozsvěcela a zhasínala. Přitom prý za celou dobu do domu nikdo nevstoupil ani z něj nevyšel.
Poslouchala jsem to celé jako pohádku. Jako poutavý příběh, který se mě přeci nemůže týkat. Nevnímala jsem, že se jedná o můj dům. O ten, ve kterém zrovna sedím. Několikrát jsem se přistihla, že uvažuji, jak asi tato zajímavá zápletka skončí. A co hůř, čekala jsem, až autor odtajní podstatu tajemství. Málokdy v knihách zůstává nedořešená záhada. Čtenář se bez námahy dozví to, nad čím si fantastické postavy marně lámou hlavu.
Ano. Do podobných úvah jsem se dostávala, když jsem poslouchala sousedovo neuvěřitelné vyprávění. Ani jsem si v jejich víru nevšimla, že domluvil. Musel už delší dobu mlčet a nechávat mě urovnat si myšlenky, když jsem si ticho uvědomila.
„Promiňte, zamyslela jsem se,“ omluvila jsem se rychle.
„Já vím,“ usmál se. „Je toho trošku moc, že?“ pokračoval.
„Ano,“ souhlasila jsem. Napila jsem se čaje. Dávno vystydnul.
Vykřikla jsem, když se náhle dokořán otevřely vchodové dveře. Pan Kardl je běžel zavřít a já je pak rychle zamknula na dva západy. Široko daleko nikdo nebyl. Musel se nějak poškodit zámek. Třeba jsou i ta okna jen rozbitá, zadoufala jsem.
„Nemáte tužku?“ zeptal se soused. Ohlédla jsem se, abych viděla, co dělá. Vytáhl z kapsy pomačkaný popsaný papír.
„Všechno si celou dobu zapisuju,“ řekl na vysvětlení, když viděl můj nechápavý pohled.
V kabelce jsem měla penál, ve kterém ale byly všechny tužky zlomené. Naštěstí nosím v penálu i ořezávátko.
Úloha č. 1
Ořezávátko má \def\cm{\,{\rm cm}}1{,}5\cm dlouhé ostré železo, které vede od špičky až k ústí, a to má poloměr 0{,}5\cm. V průběhu ořezávání se tvar špičky ořezávané tužky téměr nezmění (špička se neprodlužuje ani nezkracuje). Předpokládejme, že tuha i tužka jsou plastové, takže se nic neulomí a ořezáváním vytvoří spirálu. Jaká nejdelší úsečka jde narýsovat na spirálový odřezek, pokud ho uhladíme do roviny?
Koukala jsem mu přes rameno, když připisoval další položku na požehnaně dlouhý seznam. K další akci jsem se neměla. Nakonec mi pohled utkvěl na stolku, kde před chvílí stály hrnky s čajem. Už tam nebyly. Na jejich místě ležela kniha založená kusem papíru. Strčila jsem do pana Kardla, abych ho na ni upozornila.
„Ale, co to tu máme? Zdá se, že se pachatel chce nechat chytit, když si troufá i v naší přítomnosti,“ pousmál se.
„Nežertujte,“ napomenula jsem ho přiškrceným hlasem. Vůbec se mi nelíbila představa, že tu někdo je, když se navíc zdálo, že umí být neviditelný.
„Nežertuji, podívejte,“ ukazoval mi rozevřenou knížku. Nechtěla jsem to vidět. Začala jsem se bát. Raději jsem popadla ten kus papíru z knihy, na kterém jsem překvapivě rozpoznala své písmo.
Úloha č. 2
Na papíru byla soustava rovnic:
Jaké je řešení této soustavy?
Nevzpomněla jsem si, proč jsem to kdy psala a konečně se musela podívat, co se mi pan Kardl snažil ukázat. Na otevřené stránce bylo barevným zvýrazňovačem označené právě jedno slovo: knihovna.
Hned jsme tam šli. Knihovna byla dalším z mých splněných snů. Staré vyřezávané police skýtaly nepřeberné množství knih, které jsem v životě neměla šanci přečíst. Zčásti proto, že nejméně polovina z nich byla napsána latinsky.
Jak jsme měli teď vědět, kde začít s pátráním?
„Jste si jistý, že to byl vzkaz od toho … pachatele?“ zeptala jsem se nejistě.
„Na 99{,}(99^{99})^{99}\,\%!“ prohlásil rozhodně.
Úloha č. 3
Mějme číslo (99^{99})^{99}. Nahradíme-li toto číslo jeho ciferným součtem a potom tento ciferný součet zase jeho ciferným součtem a nakonec ještě jednou, jaké číslo nám vyjde? (Celkem tedy číslo třikrát nahradíme jeho ciferným součtem.) Pokud na tento výsledný ciferný součet nepřijdete, zjistěte alespoň, čím je dělitelný, a zkuste najít jeho horní odhad.
Stáli jsme nervózně uprostřed místnosti a zírali na přeplněné regály. Asi jsme čekali na další vodítko. Jak už jsem řekla, tohle bychom neměli šanci přečíst za celý život.
„Musíme hledat něco neobvyklého,“ řekl pan Kardl jen tak, aby nebylo ticho. Už jsem ho ale neposlouchala. Našla jsem totiž další vzkaz. Rozloženou mapu a opět kus papíru.
Úloha č. 4
Kapitán lodě A se chce setkat s lodí B. Zná její pozici a kurz (bod a směr). Samozřejmě zná i svou pozici. Ví taky, že jeho loď jede rychlostí 15 uzlů a loď B jede rychlostí 25 uzlů. Jak má pomocí kružítka a pravítka na mapě najít kurz, ve kterém potřebuje plout, aby se s lodí B setkal? Může nastat situace, kdy takový kurz neexistuje? Výřez mapy je dostatečně malý, abychom zobrazenou vodní plochu mohli považovat za rovinu.
Po vyřešení úlohy se pan Kardl zeptal, zda si vzpomínám na naši poslední partii šachu.
„Až moc dobře,“ souhlasila jsem.
„Nechcete si ji náhodou zopakovat?“ zeptal se.
„Co takhle něco víc náhodného?“ navrhla jsem. Moc nadšeně se na to netvářil.
„Náhodě se dá vždycky trochu pomoct,“ připomenul mi.
„Tak tedy schválně,“ udělala jsem z poznámky nabídku.
Úloha č. 5
Ořezali jsme si váleček do pravidelného desetibokého hranolu a na jeho stěny, kromě podstav, jsme rozdělili čísla od jedné do deseti. Chtěla jsem, aby byla naše nová hrací kostka co možná nejvyváženější. Rozhodla jsem se proto, že čísla rozdělím tak, aby žádná tři po sobě jdoucí neměla součet větší než 18. Jak jsem to mohla udělat?
Nějakou dobu jsme hráli a panu Kardlovi se i přes mou snahu o výrobu férové kostky nečekaně dařilo. Bude mi někdy muset prozradit, jak to dělá, umanula jsem si.
„Neznáte ještě nějakou další hru?“ zajímal se pan soused, kterého, zdá se, náhoda začínala bavit.
„Nic mě nenapadá,“ přiznala jsem.
„Mě by jedna napadla, ale museli bychom být tři,“ zalitoval.
„Jsme,“ pousmála jsem se trpce, „vy, já a náš pachatel.“
„Máte pravdu, měli bychom hledat stopy a ne hrát hry,“ uznal.
„Až na to, že by nás musel být regiment, abychom tohle všechno přečetli,“ vzdychla jsem.
Úloha č. 6
Představme si situaci, kdy správnou knihu hledá 15 dobrovolníků. Každý den zkouší své štěstí tři z nich a platí, že každá dvojice dobrovolníků se v knihovně potká právě jednou. Kolik dní bude hledání trvat?
Pustili jsme se tedy do hledání sami. Brali jsme do ruky každou knihu, pátrali po něčem neobvyklém. Pan Kardl uspěl první. Z jedné knížky na něj vypadl list papíru. Bylo na něm jen několik slov.
Vysvětlete tu hru, zahrajeme si. Pachatel.
Po chvíli zděšeného ticha pan Kardl popsal jednoduchá pravidla.
Úloha č. 7
Pachatel, pan Kardl a já budeme hrát hru o pomyslný měšec zlata. Každé kolo postupně házíme kostkou. Když někomu padne šestka, vyhrál a hra končí. Jakou má pachatel šanci na výhru hned v prvním kole, pokud hází jako poslední?
Listovali jsme knihami dál a čekali, až na nás vypadne další vzkaz. Po chvíli se poštěstilo.
V jídelně. Pachatel.
Oba jsme byli napjatí, kdo může záhadný pachatel být. Ani nás tedy nenapadlo neposlechnout. Bylo už naprosto jasné, že se tu děje něco nadpřirozeného, ať už se moje logické já vzpouzelo, jak chtělo.
