Zadání 2. série 33. ročníku

Termín odeslání: 27. listopadu 2017

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.


Když jsem dorazila do vsi, pan Kardl už na mě čekal. Do telefonu mi řekl, že v noci a dnes ráno slyšel v mém domě někoho chodit. Nepřikládal tomu význam, proč by tam taky nemohl někdo být? Když ale i během deště (ani jsem si v tom spěchu nevšimla, že pršelo) zůstávalo otevřené okno, začalo mu to být divné. Nakonec se rozhodl mi zavolat. A dobře udělal, protože tam dnes nikdo neměl co dělat.

„Dobrý den.“

„Dobrý den,“ pozdravili jsme se.

„Ještě jednou vám moc děkuji, že jste mi zavolal,“ začala jsem. Soused byl starší muž, určitě už v důchodu. Proto asi taky mohl celý den sledovat můj dům.

„Nemáte za co,“ odpověděl s úsměvem. „Jak stále říkám, sousedé si mají pomáhat.“

„Ehm… Takže… Půjdeme se podívat dovnitř?“ zeptala jsem se rozpačitě. Nemohla jsem vědět, jestli mě chce doprovázet. Na druhou stranu, tvářil se velmi účastně.

„Proto tady jsme, ne?“ povzbudil mě. S úlevou jsem ho pozvala dovnitř. Bohužel jsem ještě nestihla opravit světla, která se chovala, řekněme, divně.


Úloha č. 1

V domě je celkem 20 lamp a 20 vypínačů, které fungují podle následujících pravidel. První vypínač ani první lampa nefunguje, druhý rozsvítí každou druhou lampu, třetí každou třetí, čtvrtý každou čtvrtou, atd. Na začátku nesvítí žádná lampa. Kolik nejméně vypínačů je třeba zmáčknout, aby najednou svítily všechny lampy kromě první?


Když se mi podařilo rozsvítit, mohli jsme vidět osvětlenou velkou část domu. Dlouhou dobu jsme stáli v hale a ani jeden z nás se nemohl vynadívat. Dům byl starý a prostorný.

„Vždyť já vám ani nic nenabídla! “ vzpomněla jsem si najednou. „Dáte si něco k pití? Limonádu? Pojďte se posadit“

Dovedla jsem ho do jídelny. Ve spíži naštěstí zůstalo pár sušenek a ve skoro prázdné lednici jsem našla několik lahví limonády. Protože už bylo v tuhle roční dobu celkem teplo, vytáhla jsem i led.


Úloha č. 2

Limonádu nejradši chladím ledovým hranolem naznačeným na obrázku (obr. zad221). Hrany hranolu mají délky 9, 11, 1517 centimetrů a jeho kolmý průřez má obsah \def\cm{\,{\rm cm}}9\cm^{2}. Dokážete určit, kolik ledu si dávám do limonády?


Po vypití limonády jsem vyslovila myšlenku, kterou jsem už dlouho podvědomě odkládala. „Měli bychom zavřít to okno,“ řekla jsem. Vůbec to nevypadalo, jako by tu někdo byl. Všechny věci byly na svém místě a podlaha byla čistá. A tak jsme vylezli až na půdu, kde se otevřené okno mělo nacházet.


Úloha č. 3

Na obrázku (obr. zad231) je znázorněn pohled shora na střechu, která kryje půdu domu. Víme, že podlaha půdy je v úrovni obvodových hran střechy a že sklon střechy je ve všech místech 45\,° (tedy odchylka půdorysny a roviny dané střechou je 45\,°). Jaký je celkový objem půdy kryté touto střechou?


Důkaz něčí přítomnosti, které jsem se až doteď snažila nevěřit, jsme objevili vzápětí. Pod otevřeným střešním oknem, v kaluži dešťové vody, stála rozložená šachovnice a vedle ní ležel kousek starého papíru. Když jsme papírek otočili, zjistili jsme, že je to část stránky ze staré učebnice šachu.


Úloha č. 4

Na šachovnici stojí pouze král, a to na políčku A3. Kolika způsoby se tento král může dostat sedmi tahy na H5? (Pozn.: Král se může pohybovat všemi směry, ale vždy jen o jedno políčko.)


„Co to má, proboha, být?“ uniklo mi, když jsem se skláněla nad úlohou na papírku.

„Co kdybychom si ji zkusili vyřešit? Jen tak pro zábavu,“ zeptal se soused. Možná mě chtěl přivést na jiné myšlenky.

„A nepůjdeme s tím dolů? Tam si můžeme sednout,“ navrhla jsem. Byla to však jen záminka. Ve skutečnosti jsem na tom záhadném místě nechtěla dál zůstávat. Souhlasil. U stolu se ukázalo, že je soused bývalým šachistou, a tak jsme si po vyluštění dali ještě jednu partii. Pochopitelně ji vyhrál.

„Máte rád i jiné hry na šachovnici?“ zeptala jsem se, chtějíc si vylepšit skóre.

„Samozřejmě, moc,“ odpověděl.


Úloha č. 5

Šachovnici jsme zmenšili na rozměr 4\times4 a začali jsme hrát. V této hře se hráči střídají v tazích a v každém tahu hráč na nějaké volné políčko napíše přirozené číslo. Mým cílem bylo, aby většina sloupců a řádků měla sudý součet, zatímco cílem mého souseda bylo, aby většina sloupců a řádků měla lichý součet. Soused začínal, a když jsem dopsala svoje poslední číslo, rychle řádky a sloupce sečetl a čísla smazal. Teď tvrdí, že na konci měl pět lichých součtů (řádků a sloupců dohromady), zatímco já jsem měla sudé jen tři součty. Já ale trvám na tom, že soused podváděl. Kdo z nás má pravdu a proč?


„Dobrá, zapomeňme na to, ano?“ zasmáli jsme se oba. Chvíli bylo ticho, při kterém jsme slyšeli jen zurčení potoka ze zahrady.

„Nevěděl jsem, že tady máme potok,“ poznamenal pan Kardl.

„Ten není přírodní,“ vyprávěla jsem, ráda, že se můžu pochlubit znalostí rodinné historie. „Pradědeček si ho tu nechal vybudovat uměle. Čerpadlo se dá napojit na studnu.“

„Takové plýtvání, když je vody málo,“ přerušil mě soused.

„Jak to myslíte?“ nechápala jsem.

Pan Kardl mi začal vyprávět o hořkosladkém osudu lázní, kam dříve rád jezdíval.


Úloha č. 6

V termálních lázních Velké Losiny vyvěrala teplá voda postupně na více místech. Před pár lety ale aktivita většiny pramenů ustala a lázním zůstal jediný aktivní pramen (P) a spousta potrubí, na které je napojen. Jediné místo, kterým může voda z potrubí odtékat, je léčebný altán (A). Čísla u jednotlivých trubek na obrázku (obr. zad261) udávají, kolik litrů vody za sekundu může trubkou maximálně protéct. Kontrolor kvality vody Víťa si všiml, že za posledního půl roku se vydatnost aktivního pramene stále zvyšuje. Začíná se proto bát, aby lázeňské potrubí někde neprasklo. Kolik nejvíce litrů teplé vody za sekundu zvládne potrubní síť dovézt od pramene (P) do altánu (A)?


„A jak to všechno víte?“ divila jsem se.

„Ále,“ smál se, „Víťa je můj vnuk.“

Ještě chvíli jsme si povídali, než jsem se podívala na hodinky.

„Páni, to už je pozdě,“ řekla jsem. „Budu vám muset utéct, abych se ještě trochu vyspala,“ omluvila jsem se.

„Doprovodím vás,“ nabídl.

„Jestli chcete…“ nechala jsem rozhodnutí na něm.

„Co kdybyste mi cestou ukázala tu vaši říčku?“ zeptal se.

„Určitě,“ souhlasila jsem. „Není to vůbec daleko.“


Úloha č. 7

Vzájemná pozice domu, auta a potoka je znázorněna na obrázku (obr. zad271). Najděte takovou nejkratší cestu od domu k autu, která zároveň vede alespoň v jednom místě těsně kolem potoka.


U auta jsme se rozloučili a já se vydala zpět k sestře vstříc dalším školním dnům. O víkendu se sem vrátím a záhadu vyřeším, slíbila jsem si. Pan Kardl mi zatím domek pohlídá.