Zadání 5. série 32. ročníku

Termín odeslání: 13. března 2017

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.


S panem Whitakerem jsme si po počáteční formální konverzaci výborně padli do noty. Vypravoval nám svoje zážitky z cest a my kontrovali různými příhodami z našich zaměstnání, takže jsme od něj nakonec odcházeli až pozdě večer. Nebylo proto nic divného, že se nám ráno ani jednomu nechtělo vstávat už před šestou, ale bylo to potřeba, jelikož jsme chtěli dorazit do nemocnice co nejdřív, abychom zastihli všechny lékaře na hlášení a mohli si poslechnout, jak referují o jednotlivých pacientech.

Cestou přes Chadwick Market na nás kdosi začal volat: „Pánové, pánové! Ano, přesně vy dva! Pojďte blíž, vy vypadáte jako solidní muži, vám určitě chodí štěstí naproti, pojďte se o tom ke mně přesvědčit! “

David se ohlédl jako první a viděl, jak u zdi jednoho domu postává drobný muž v kabátu a před sebou má stolek a jakési tabulky. Věděl dobře, že pouliční hazard je zakázaný, ale byl velmi zvědavý, jaký trik používá tento muž, aby oklamal naivní kolemjdoucí.


Úloha č. 1

Na stole ležely čtyři tabulky a, b, c, d a na každé z nich bylo křídou napsané nějaké číslo, vedle nich měl pak napsaný seznam 14 instrukcí, které postupně procházel a podle nich čísla na tabulkách přepisoval.

1. vpiš a d   5. sniž b 9. zvyš c 13. když d 5
2. zvyš c 6. když b 5 10. sniž b 14. vpiš c d
3. sniž d 7. vpiš a d 11. když b 2
4. když d 2 8. vpiš a b 12. sniž d

Instrukce vpiš x y znamená, že na tabulku y vepíše číslo, které je na tabulce x; sniž x a zvyš x jsou velmi podobné instrukce, které znamenají, že se číslo na tabulce x o jedna sníží (může i do záporných čísel), respektive zvýší. Nakonec nejzajímavější je určitě pokyn když x n, který se vyhodnocuje následovně: Pokud na tabulce x je napsaná 0, pokračuje se na další instrukci, ale pokud tam je jakékoli nenulové číslo, skočí se o n instrukcí v seznamu zpět a odtud se pak pokračuje dál. (Kupříkladu 4. instrukce je když d 2, takže pokud bude na tabulce d ve chvíli, kdy muž k této instrukci dojde, napsané třeba číslo 7, skočí se na 2. instrukci a odtud se bude pokračovat na 3. atd.) Instrukce se provádějí postupně od první dál s výjimkou skoků daných instrukcí když, dokud se neprovede i poslední instrukce.

Nejprve muž napsal 1 na tabulku a, 2 na b a na cd napsal 0 a předvedl oběma mužům, jak po provedení všech instrukcí zůstane na tabulce d číslo 3. A poté přiměl Davida, aby vsadil deset pencí s tím, že když na tabulku a napíše nějaké číslo a na konci bude na tabulce d číslo 0, dostane deset liber. Na tabulku b napsal číslo 1\,026, na c 337 a na d napsal 0. Když mu pak David podal tabulku a se svým tipem, začal postupně procházet všechny instrukce, rychle nad nimi kroužil prstem, vypadalo to, že počítá v hlavě, protože čísla ani na tabulky nezapisoval, až nakonec zakroutil hlavou a na tabulku d vypsal číslo 6\,137\,394. Jaké kladné číslo na začátku David napsal na tabulku a?


„To je podvod! To číslo jste si určitě vymyslel, vždyť jste ani nepsal mezivýpočty na tabulky,“ začal se rozčilovat David.

„Prosím, tady to máte. Klidně si to můžete propočítat pěkně jednu instrukci po druhé a uvidíte, že to nakonec vyjde,“ odpověděl ledovým tónem drobný muž. „Já jenom chtěl šetřit váš jistě drahocenný čas.“

A měl pravdu, už takhle jsme se pěkně zdrželi. Chlácholil jsem Davida tím, že to přece bylo jenom deset pencí, ale bylo mi jasné, že jemu vůbec o peníze nejde. Naštěstí jsme museli pořádně přidat do kroku, a tak už neměl čas brblat, jak ho ten muž podvedl a že beztak ani nula vyjít nikdy nemohla.

V nemocnici jsme se potřebovali dostat do čtvrtého patra, ale když jsem viděl, že u výtahu postávají nějací divní lidé a střídavě jezdí nahoru a dolů, rozhodl jsem, že radši vyběhneme po schodech. Ještě že tak, protože když jsme doběhli nahoru, zrovna se zavíraly dveře od konferenční místnosti, aby tam mohlo začít hlášení. Vešli jsme rychle dovnitř a já jen pokývnutím hlavy pozdravil svoje známé, abych dál nerušil.


Úloha č. 2

Kolem kulatého stolu uprostřed sedělo deset lékařů. Znal jsem z nich Johna Sanderse, kterému bylo 26, a dr. Browna, kterému je 33 let. Zajímalo by mě, jestli může být věk každého lékaře sedícího u stolu průměrem věku kolegy sedícího po levici a věku kolegy po pravici.


Přednosta infekčního oddělení u stolu neseděl, ale chodil po místnosti. Prý se mu tak lépe hledala slova, když promlouval mladým sekundářům do duše. Stejně tak starý profesor Irons neseděl u stolu, ale v křesle v rohu místnosti. Vedle něj bylo několik volných židlí, a tak jsme se usadili na ně.

Když přednosta skončil svoji promluvu, začali jednotliví mladší lékaři postup\minusně prezentovat své zajímavé pacienty. Když se dostalo na zprávu o třech zaměstnancích pana Whitakera, zpozorněl jsem, ale nedozvěděl jsem se nic víc, než co jsem očekával, tedy že všichni tři mají břišní tyfus a nejspíš stejný kmen, jako malý Jeremy.

Po konci hlášení jsem se konečně pozdravil s přednostou a zároveň mu přestavil i Davida. Hned na začátek jsem mu pochválil, jak má krásně zorganizované oddělení a že se mi líbí, jak mladí lékaři prezentují pěkně jeden po druhém, namísto toho, aby se po sobě ustrašeně dívali, kdo se má ujmout slova jako další.


Úloha č. 3

„Ono dá docela práci zařídit, aby se nedohadovali,“ řekl přednosta. „Vždy s týdenním předstihem mi každý z nich dá seznam, na kterém má vyjmenované kolegy, u kterých chce, aby prezentovali někdy před ním, a pak kolegy, u kterých chce, aby mluvili po něm. Samozřejmě tam nemusí uvést všech devět kolegů, pokud je mu to u některých jedno, ale klidně může, čímž si zajistí jasnou pozici. Já si pak tyhle seznamy projdu a pokusím se vytvořit takové pořadí prezentujících, aby vyhovovalo naprosto všem požadavkům. Třeba na dnešní hlášení by všem požadavkům vyhovovalo 216 různých pořadí.“

Navrhněte, jak tyto požadavky mohly vypadat.


„To vás obdivuji, že se snažíte všem svým podřízeným vyjít vstříc,“ zapojil se do debaty David, „ale nepřiděláváte si tím zbytečně práci?“

„Trochu možná, ale přispěje to chodu oddělení a dobrým vztahům. A co do zbytečné práce, podívejte se třeba na psychiatry, kolik zbytečností dělají, než třeba převezou několik pacientů výtahem.“

„Mám takový dojem, že jsme je dneska ráno viděli, ale občas mi přišlo těžké rozeznat, kdo je kdo,“ řekl jsem s úsměvem.


Úloha č. 4

Na psychiatrii mají tři problematické agresivní pacienty (A, BC). Každý z nich má v oblibě jednoho psychiatra (popořadě a, bc), kterého ochraňuje, ale na zbylé dva lékaře útočí, přičemž ani jeho lékař mu v tom nedokáže zabránit. Tím pádem jediná šance pro lékaře (např. a), jak se vyvarovat napadení pacientem (B nebo C), je mít nablízku svého pacienta (A). Pacienti navzájem na sebe neútočí, lékaři samozřejmě neútočí na nikoho.

Cestování výtahem je problém, protože do výtahu se vejdou nejvýše dva lidé, ale aby se výtah rozjel, musí v něm aspoň jeden člověk být. Navíc výtah vždy popojede jen o jedno patro a pak otevře dveře, takže může okamžitě dojít k napadení osob, které v něm cestují, ale stejně tak okamžitě může být lékař i chráněn.

Momentálně v prvním patře čtyřpatrové budovy stojí lékař a a pacient A a je u nich výtah, ve druhém patře jsou pacienti BC a ve třetím patře jsou lékaři bc. Určete nejkratší možný postup, jak se mohou všichni dostat do 4. patra, aniž by došlo k nějakému incidentu. Schody samozřejmě kvůli nemocniční vyhlášce používat nemohou.


„Ještě že my máme patřičný výcvik a můžeme s klidem vzpouzejícímu se lumpovi jednu ubalit, nechtělo by se mi totiž vymýšlet takhle složité postupy,“ uzavřel David rázně debatu na tohle téma, a tak jsme mohli zase dál pokračovat v tom, proč jsme vlastně přišli.

Od primáře jsme se dozvěděli, že Jeremymu už je mnohem lépe, takže není problém, abychom ho navštívili. V nemocnici ale ještě bude muset týden zůstat kvůli dodržení karantény. To Davida trochu zaskočilo, ale byli jsme ujištěni, že nám nic nehrozí, pokud si po návštěvě na pokoji pořádně umyjeme ruce.

Když jsme vešli do pokoje, uviděl jsem Jeremyho, ale teď už to nebyl ten bledý opocený chlapec, kterého jsem před několika dny zachraňoval. Teď seděl na posteli a usmíval se na nás, a tak jsem ho pozdravil: „Ahoj Jeremy, pamatuješ si na mě?“

„Dobrý den,“ odpověděl na pozdrav, „vy jste ten pan doktor, co se na mě byl podívat, když jsem byl doma nemocný? Maminka mi říkala, že jste mi zachránil život.“

Chtěl jsem mu odpovědět, ale David byl rychlejší: „To je určitě pravda, pan doktor Wilkins je velmi šikovný. Ale chtěli bychom se tě na něco zeptat. Několik dalších lidí totiž dostalo stejnou nemoc jako ty, a tak by nás zajímalo, kde ses mohl nakazit. Byl jsi před tím, než jsi onemocněl, třeba u někoho na návštěvě?“ Pak se otočil na mě a špitl: „Promiň, chtěl jsem to trochu urychlit.“

„Ano, asi dva dny předtím jsem byl odpoledne u Hadleyho, to je můj spolužák. Venku hodně pršelo, a tak jsme celé odpoledne vyráběli modely lodí. A pak mi ještě jeho maminka dala chleba k večeři, to jsem doma nechtěl říkat, abych nedostal vyhubováno, že je takhle vyjídám.“

David na mě vrhl významný pohled, ale já jsem byl jiného názoru: „To je pěkné, ale pokud vím, tak Hadley je dál zdravý. Navíc to bylo příliš krátce před propuknutím nemoci. Nevzpomínáš si ještě na něco, kdy jsi třeba jenom jedl někde jinde než doma?“

„To už bylo ale o víc než týden dřív, než jsem onemocněl. Když jsem šel ze školy, zahlédl jsem nějakou cizí paní, která měla na hromadě před domem různé kufry a bedny a postupně je nosila dovnitř. Šel jsem se jí proto zeptat, jestli s tím nechce pomoct, a ona byla moc ráda. Říkala mi, že se právě přistěhovala. No a pak, když to všechno bylo hotové, mi nabídla jablečný koláč ještě s čerstvou šlehačkou navrchu. Ten byl tak výborný,“ řekl Jeremy a olízl se.

„A víš, jak se ta paní jmenovala, nebo bys nám aspoň řekl, kde bydlí?“ vyrukoval hned David s otázkami.

„Jméno nevím, ale můžu vám popsat, kde je její dům. A pamatuju si i její číslo popisné, protože mi přišlo zajímavé, že bylo složené z několika po sobě jdoucích čísel.“


Úloha č. 5

Zamyslel jsem se nad takovými přirozenými čísly, která vzniknou zapsáním několika (alespoň dvou) po sobě jdoucích čísel (např. 212223). Které z nich je nejmenší takové, že je zároveň dělitelné jedenácti?


„A zase jsme o kus dál,“ pochválil jsem si na chodbě před pokojem.

„Jo, ale už je skoro poledne a zas tolik práce jsme dneska ještě neudělali,“ řekl David trochu naštvaně.

„Však se teď vydáme do Bramhamu, aspoň víme, koho se máme zkusit zeptat.“

„Jenže kdyby ses mezi tím pořád nevěnoval vymýšlení a počítání těch svých úloh, šlo by nám všechno mnohem rychleji,“ odsekl a vyrazil dlouhou chodbou.

„Ještě ruce,“ zavolal jsem na něj, ale marně.

Celou cestu do Bramhamu na mě David ani nepromluvil. Věděl jsem, že nemá smysl mu nic rozmlouvat, protože časem sám zase vychladne, a tak jsem se raději díval z okna a věnoval se tomu, co mu teď tolik vadilo: tedy vymýšlení úloh. Zrovna jsme jeli zase kolem nějakého vypuštěného rybníka a všiml jsem si, že po jeho stěnách a dně vede cestička, která je normálně zatopená vodou.


Úloha č. 6

Rybník má tvar pravidelného komolého jehlanu s čtvercovými podstavami o hranách délky 100124 yardů a jeho hloubka je 5 yardů. Z jednoho rohu na břehu vede po stěnách a dně cestička do středu jedné ze dvou nesousedících hran opět na břehu. Tato cesta je nejkratší možná. Načrtněte, jak takovou cestu najít, a spočítejte její délku.


Ani v Bramhamu na mě David nepromluvil a rovnou vyrazil ke dveřím, zatímco já jsem se ještě kochal květinovým záhonem před domem.


Úloha č. 7

Celý záhon měl totiž tvar čtverce a v něm byly vysázené macešky do tvaru obdélníku, jehož každý vrchol ležel na jiné ze stran čtverce. Jeho plocha byla čtvrtinou plochy celého čtverce. Jaký je poměr délek stran obdélníku z macešek?


David rázně zaklepal na dveře. Raději jsem rychle doběhl k němu, abych ho mohl případně trochu mírnit, protože jsem viděl, že je stále v ráži.