Zadání 4. série 32. ročníku
Termín odeslání: 6. února 2017
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
„Víš co? Povím ti to všechno cestou. Když jsi přijel takhle brzy, mohli bychom ještě dnes stihnout zajet do Bramhamu,“ navrhl jsem Davidovi, který si ani nestihl sundat kabát. Sám jsem vyměnil bílý plášť za svetr a baloňák a společně jsme vyrazili z ordinace kam jinam, než na Chadwick Market. Venku se schylovalo k již několikáté dnešní přeháňce.
„Tak už mi konečně vysvětli, kvůli čemu jsi mě sem zavolal,“ naléhal na mě David, když jsme se usadili do drožky.
„Před pár dny jsem byl povolán ke dvěma pacientům a u obou z nich jsem měl podezření na břišní tyfus, které teď už mám i potvrzené. Je mi ale divné, že nemají vůbec nic společného, a proto bych chtěl vypátrat, jak se mohli nakazit, neboť se objevily ještě další případy, a tak se bojím, aby nám tu nepropukla epidemie,“ vyložil jsem Davidovi vše, co jsem momentálně věděl. „Pátral jsem už po kdejakých zločincích, ale ještě nikdy po něčem takhle malém,“ zažertoval konstábl.
Když jsme projížděli vesnicí, minuli jsme tři chlapce, kteří i přes špatné počasí dováděli venku a střídali se v ježdění na kole, zatímco ostatní dva vždy poskakovali okolo. Poznal jsem mezi nimi staršího bratra Jeremyho, za jehož matkou jsme nyní jeli.
Úloha č. 1
Středy předního a zadního kola bicyklu jsou od sebe vzdálené 2 yardy. Průměr obou kol je 1 yard. Rovina předního kola se oproti rovině zadního kola může vytočit nejvýše o 45°. Jaké nejmenší kružnice může bicykl předním a zadním kolem vytvořit v bahně za předpokladu, že chlapci jezdí pomalu a při jízdě do zatáčky tak zadní kolo zůstává stále kolmo k zemi?
Když nám matka mého malého pacienta otevírala dveře a zvala nás dál, nevypadala už tolik ustaraně jako před pár dny, ale teď spíše zvědavě. Čekala, že se konečně dozví, jak se věci mají, a poněkud ji překvapilo, že přicházím v doprovodu policisty, kterého jsem jí právě představil. Vysvětlil jsem jí proto, co se děje, a začal se jí ptát, zda ji nenapadá, kde by se mohl Jeremy nakazit.
„Vůbec,“ zhrozila se, „vždyť tu máme čisto, a v kuchyni obzvlášť. A jinak Jeremy chodí do zdejší školy, ale obědvá až doma. A odpoledne si chodí hrát ven s dětmi ze sousedství, nebo nám pomáhá s prací kolem domu. Myslíte si, že to mohl chytit od někoho z dětí?“
„Nejspíš ne,“ řekl jsem, „pevně doufám, že ne, jinak by hrozilo, že se během několika málo dní rozstoná podobně několik dalších, a to bych nerad zažil.“
„Samozřejmě, že teď mnohem bedlivěji sleduju i svoje ostatní děti, ale všechny jsou naprosto zdravé,“ dodala ještě Jeremyho matka, než jsme se s ní rozloučili.
„Takže, pane doktore Wilkinsi,“ zeptal se mě s úšklebkem David, když jsme vyšli ven, „jestli pak víte, kam musí naše kroky směřovat teď?“
„Asi do školy,“ vydal jsem ze sebe zaskočen jeho otázkou.
„Ale Harry, vždyť jsou čtyři hodiny, tam už dávno nikoho nezastihneme. Musíme zjistit, kde bydlí místní učitel, dost pochybuji, že by dojížděl odjinud, a zajdeme přímo za ním.“
Bylo vidět, že David má v tomhle oboru hodně zkušeností, a tak jsme už zanedlouho klepali na dveře domku hned vedle školní budovy. Přišel nám otevřít muž, který již na první pohled vypadal jako podivín. Když nás pozval dovnitř a otočil se k nám zády, vyměnili jsme si zděšené pohledy na sebe a na jeho ponožky. Měl totiž na každé noze jinou.
Úloha č. 2
Pan učitel má doma ve skříni 50 párů ponožek, každý v jiném z po sobě jdoucích odstínů šedi. Ráno vždy poslepu sáhne a vytáhne libovolné dvě z těchto ponožek a nasadí si je na nohy. Pokud se ponožky na jeho nohách liší nejvýše o jeden stupeň šedé, nikdo si toho nevšimne a pan učitel vypadá normálně, jinak ale vypadá jako podivín. Jaká je pravděpodobnost, že bude pan učitel v daný den vypadat normálně? (Musíme ještě dodat, že večer samozřejmě pan učitel ponožky, které nosil, vrátí zpátky do skříně, aby tam ráno měl opět všech 50 párů.)
„Mohu vám nabídnout čaj? Nebo snad kávu?“ snažil se nás zdvořile pohostit.
S Davidem jsme se po jeho otázce opět na sebe podívali poněkud vyděšeně, neboť už jsme si stihli prohlédnout ten nepořádek v celém pokoji. David na mě mohutně vrtěl hlavou, a tak jsem ze sebe vykoktal, že děkujeme za nabídku, ale nemáme v plánu se dlouho zdržet. Než jsem ale stihl vůbec přikročit k tomu, abych se zeptal na zdravotní stav dětí ve škole, přerušil mě učitel svým vyprávěním.
„Jak na vás vidím, asi vás zaujaly všechny ty předměty, které tady mám. Víte, už od studia na vysoké škole mám zálibu v historii a kultuře zemí dálného východu. A jeden můj dobrý přítel občas jezdí do Číny kvůli obchodu, a tak mi vždy přiveze různé suvenýry, knihy a další. Nejvíc mě fascinuje to jejich náboženství a dodržování tradic.“ Sotva se stihl nadechnout a hned přidal jednu legendu.
Úloha č. 3
„Vypráví se, že v jednom klášteře kdesi v horách si mniši už po dlouhá staletí udržují jisté tajné číslo a na znamení nekonečného růstu vesmíru každý rok v den zimního slunovratu toto číslo vynásobí 11 a jako tajné číslo si zapamatují tento součin. Jediné, co se komukoli podařilo zjistit je fakt, že v roce jedna našeho letopočtu po zimním slunovratu tajné číslo končilo dvojčíslím 11. Nyní je rok 1907. V kterém nejbližším roce mniši dosáhnou při zimním slunovratu tajného čísla, které bude končit stejným trojčíslím, jako končilo po slunovratu v roce jedna?“
„To zní zajímavě a asi vím, v kterém roce to bude,“ řekl jsem jistým hlasem, čímž jsem učitele překvapil, takže jsem se konečně mohl chopit pořádně slova. „Ale pojďme se teď bavit o tom, kvůli čemu jsme přišli. Jak jsme vám již říkali, jde o zdravotní stav jednoho vašeho žáka, přesněji řečeno by nás zajímalo, jestli nevíte o dalších, kromě Jeremyho, kteří nedávno nějak závažně onemocněli.“
Učitel se na chvíli zamyslel a pak řekl: „Je to až s podivem, vzhledem k tomu, jaké je teď počasí, ale za poslední dva týdny ve škole nechyběl nikdo kromě Jeremyho a Stuarta, který ale má prý zlomenou nohu, takže to asi není to, co by vás zrovna zajímalo.“
Než jsme se stačili zvednout a rozloučit, pověděl nám ještě učitel několik zajímavostí (a ještě mnohem více nezajímavostí) o Tibetu, Japonsku a dalších zemích a tamních zvycích. Konečně jsme stáli venku.
„Teda řeknu ti, ani bych se nedivil, kdyby to chytil od něj,“ ušklíbl se David.
„Uznávám, nepořádek tam má, ale jak jsi sám slyšel, ostatní děti jsou nejspíš zdravé, takže se asi Jeremy musel nakazit někde jinde. Měli bychom jít trochu vyzpovídat pana Whitakera, třeba tě napadne nějaká spojitost, kterou jsem přehlédl,“ dodal jsem. K sídlu Whitakerů jsme se rozhodli jít pěšky, sice nebylo přímo v Bramhamu, ale znal jsem pěknou zkratku přes kopec a kolem rybníka. Už z vrcholku jsme viděli, že je kolem rybníka rušno. „Vidíš, tak tenhle rybník na zimu vypouští a dělají při tom výlov ryb, většinu prodají, ale ty menší možná jenom přemístí do jiného rybníka,“ začal mě hned poučovat David, který sám v Summerflow byl členem rybářského spolku.
Úloha č. 4
Rybník má tvar kuželu a za normálních podmínek má uprostřed maximální hloubku 3 yardy a jeho kruhovitá hladina má průměr 500 yardů. Nyní z něj rybáři už vypustili polovinu objemu vody, jaká je teď jeho maximální hloubka uprostřed?
Jakmile jsme sešli dolů, David se dal do řeči s několika rybáři a spokojeně si vyměňovali svoje zkušenosti. A co víc, po chvíli hovoru už hned domluvil, že nás popovezou aspoň kousek k městu nákladním automobilem, který má za chvíli přijet pro nachytané ryby.
Úloha č. 5
Rybáři mají u cesty připravené ryby ve velkém množství nádob. V malých džberech mají vždy 3 ryby, ve větších džberech mají 5 ryb a v každé kádi je 16 ryb. Na korbu auta chtějí naložit přesně 100 ryb. Může se jim to povést naložením přesně 18 nádob, aniž by v některé z nich měnili počet ryb?
Nakládání netrvalo dlouho a za chvíli jsme se již vezli. Když jsem viděl, jak na hrbolaté cestě ze všech kádí a džberů cáká voda, byl jsem rád, že nakonec jedeme v kabině, a ne na korbě, jak si to původně přál David. Pak už nás čekala jen slabá čtvrthodinka chůze pěšky a stáli jsme u vily továrníka Whitakera. Ten zrovna venku opečovával svůj sportovní automobil. Ačkoli pro mě před pár dny přijel s osobním šoférem, byl sám vášnivým řidičem.
„Zdravím vás, pánové, máte štěstí, že přicházíte až teď, akorát jsem před chvilkou přijel z projížďky. Dost možná, že to byla poslední letošní s tímhle kabrioletem, přece jen v dešti ta radost ze svezení není taková,“ řekl nám pan Whitaker, továrník a radní, na uvítání. „Pojďte dál, vypadáte podobně promrzle jako já.“
Úloha č. 6
Benzín na pumpě ve vzdálenosti 2 míle od vily stojí 28 pencí, kdežto 22 mil od vily je benzínka, kde je levnější. Přitom spotřeba kabrioletu je 8 galonů na 100 mil a další náklady na opotřebení a servis vozu jsou 2 pence na míli. Kolik by musel stát benzín na vzdálenější pumpě, aby se panu Whitakerovi vyplatilo k ní dojet a přivézt si odtamtud v kanystrech 40 galonů benzínu?
Usadili jsme se u konferenčního stolku v pokoji u roztopeného krbu a náš hostitel přišel hned, co se převlékl do pohodlnějšího domácího oblečení. Hned poté mi začal děkovat za to, že jsem zachránil jeho ženě život. Na to jsem samozřejmě skromně odpověděl, že ani tak já, jako především chirurgové z nemocnice. V tu chvíli už do dveří vešla služebná s podnosem s hrnky a konvičkou. Tentokrát už jsme pohoštění samozřejmě neodmítli.
„Dáte si k čaji i něco sladkého?“ nabízel pan radní, „tady Dorothy peče výborné koláče, i když sám bych je na tu svoji cukrovku asi jíst neměl, ale to víte, pane doktore, také už jsem neodolal a uždíbl si.“
„Děkuji, vystačím si s čajem,“ odpověděl jsem zdvořile.
„A to já rád ochutnám,“ řekl David a rozesmál se.
Pan Whitaker vzal do ruky hromádku papírů s různými nákresy, aby udělal na stolku místo, a při pohledu na jeden z nich se zamyslel a vzápětí začal vyprávět: „Ano, tohle by vás možná mohlo zaujmout, tak jako mě. Mám tu v továrně jednoho inženýra, elektrotechnika, moc šikovný člověk, a jeho zájmem je sestavování obvodů, které umí vyhodnotit, které ze vstupů jsou zapnuté a které vypnuté, a podle toho zapnout či vypnout proud na výstupu. Možná bude lepší, když vám to vysvětlím přímo tady nad tím schématem.“
Úloha č. 7
Inženýr používá tři součástky. Jedna z nich, kterou označuje A, funguje jako logická konjunkce, tedy že zapne výstup pouze tehdy, když jsou zapnuté oba její vstupy. Druhá součástka, označená O, funguje v podstatě jako disjunkce, čili zapne výstup tehdy, když je zapnutý alespoň jeden z jejích dvou vstupů. Poslední základní součástka nese symbol N, na rozdíl od předchozích má jenom jeden vstup a funguje jako negace, tedy když je vstup zapnutý, vypne svůj výstup a naopak. Z těchto základních součástek si pak občas poskládá některé další, kterým pak přiřadí značku, aby nemusel ve složitějších obvodech opakovaně kreslit jejich vnitřní zapojení. A ještě bych měl doplnit, že výstup z jedné součástky lze libovolně rozvětvit (přičemž všechny větve budou mít stejnou hodnotu zapnutí/vypnutí jako větev původní), abychom ho mohli připojit do více různých součástek, ale nelze spojit výstupy ze dvou součástek přímo k sobě, aniž by se spojovali v nějaké další součástce. Když se podíváte na obrázek (obr. zad471), uvidíte na něm všechny součástky, o kterých jsem mluvil. Vstupy jsou vlevo, výstup je vpravo a podle slov inženýra bude výstup tohoto obvodu zapnutý ve chvíli, kdy bude vypnutý vstup Y, a dále ve chvíli, kdy budou zároveň zapnuté vstupy X i Z. Navrhněte takové zapojení, které má 5 vstupů a jeden výstup, který se zapne právě tehdy, když bude zapnutý sudý počet vstupů.
„Vypadá to jako pěkná hračka, ale kdo ví, jestli to kdy k něčemu bude,“ ukončil svoji promluvu továrník.
„Velmi zajímavé,“ řekl jsem s uznáním, „ale chtěli jsme se vás dnes zeptat hlavně na zdravotní stav vaší ženy a možnosti, kde by se mohla nakazit.“
„Vidíte, zdravotní stav,“ pozastavil se továrník, „to byla ta věc, kterou jsem vám chtěl oznámit. Dnes ráno mi telefonovali z nemocnice, že u nich jsou tři zaměstnanci mojí továrny s podezřením na infekci.“
