Zadání 3. série 32. ročníku
Termín odeslání: 2. ledna 2017
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Policejní konstábl Dawid Lewis měl ve zvyku chodit do práce už kolem šesté hodiny ráno, aby došel na stanici ještě dříve, než se začnou střídat směny a přicházet ostatní policisté do denní služby. Mohl si díky tomu v klidu promluvit s muži o tom, co se dělo v noci, a poté si v klidu začít procházet úřední dokumenty, které ještě neměl vyřízené. A zrovna dnes ráno bylo na stanici až překvapivě živo. Strážníci, kteří měli v noci službu, se teprve před půl hodinou vrátili. Byli totiž zavoláni ke kurióznímu případu, ze kterého mu teď dali přečíst právě sepsané hlášení:
Dne 7. 10. v 1:10 oznámil na stanici James Tarlton, že zaslechl podivné zvuky v lese mezi Highwoodem a Summerflow. Dle jeho slov se tudy vracel domů z Highwoodu, kde v místní hospodě zapíjel narození kamarádova syna. Krátce po půlnoci (čas nebyl schopen uvést přesně, neboť neměl hodinky) zaslechl podezřelé zvuky, které mu připomínaly řezání dříví, což mu bylo v tuto noční hodinu krajně podezřelé, a tak se rozhodl celou událost okamžitě nahlásit. Vzhledem k patrnému oslabení duševních funkcí ohlašovatele panovaly nejprve pochybnosti o věrohodnosti oznámení, nakonec se však v 1:40 vypravila dvojčlenná hlídka na popsané místo. Zde byli ve 2:50 dopadeni tři muži při nelegální těžbě dřeva. Při pokusu o zadržení se dali na útěk a vzhledem k náročným terénním podmínkám nebyli dopadeni. Na místě činu bylo zajištěno několik dřevorubeckých nástrojů, viz přiložený seznam, jeden nákladní automobil a vytěžené dřevo, které bylo řádně zdokumentováno a označeno, aby se zabránilo jeho prodeji do doby vyšetření případu.
Úloha č. 1
Před řáděním zlodějů rostlo v inkriminovaném úseku lesa 20\,\% dubů a 80\,\% buků. Zloději se vzhledem k vyšší výkupní ceně snažili kácet spíše buky, ale protože vše dělali potmě, bylo ze všech stromů, které pokáceli, 90\,\% buků, ale k tomu 10\,\% dubů. Když policisté zajišťovali oblast, zjistili, že z 50\,\% buků, které zde původně rostly, už zbyly pouze pařezy. Kolik procent z nepokácených stromů nyní tvoří buky?
„Koukám, že jste se v noci nenudili,“ řekl konstábl Lewis trochu posměšně. Vzápětí dodal: „Ta zpráva je docela dobrá, Martine, jen některé výrazy mi připadají spíše jako vzaté z vyprávění od sousedky než z úředního dokumentu, ale uvidíte, že si brzy svůj styl vytříbíte.“ Na to se mladší strážník jen pousmál. „Počkejte,“ zarazil se najednou konstábl Lewis, „píšete tady, že byl na místě zajištěn nákladní automobil?“
„Ano, zloději menší dříví ještě na místě řezali na polínka a tímto automobilem je odváželi nejspíš o několik vesnic dál, aby ho tam mohli prodat,“ podal bez zaváhání vysvětlení mladší strážník. „Byl to, pravda, trochu oříšek dát ho do pohybu, neboť je na parní pohon s kotlem právě na dřevo, ale nakonec se nám to povedlo, takže teď stojí na dvoře za stanicí, jestli jste si ho ještě nevšiml.“
Úloha č. 2
Na nákladní automobil se vejde maximálně 1\,000 polínek. Na každých 30 ujetých yardů spotřebuje automobil jedno polínko. Kolik nejvíce polínek dokážou zloději dopravit ke svému odběrateli vzdálenému 30\,000 yardů, mají-li na začátku v lese 3\,000 polínek? (Polínka lze kdekoliv po cestě složit.)
Konstábla očividně zpráva o zabaveném stroji překvapila, a tak se šel rychle podívat z okna na chodbě, co za stroj se jim to objevilo na dvoře. Teprve pak konečně zamířil ke stolu ve své pracovně, na němž ležela různá lejstra a nedokončené dokumenty. Jelikož David Lewis rád pracoval při otevřeném okně, musel si všechny papíry ukládat pod těžítko, aby se mu v průvanu nerozlétly.
Úloha č. 3
Těžítko bylo tvořeno dráty pospojovanými jako hrany pravidelného čtyřstěnu. Uvnitř tohoto čtyřstěnu byla vložená největší možná skleněná koule, která se tím pádem dotýkala všech drátů a přesahovala přes stěny tohoto čtyřstěnu. V této kouli byl zalitý druhý drátěný pravidelný čtyřstěn, jehož vrcholy se dotýkaly povrchu koule. Určete poměr délek hran většího a menšího čtyřstěnu.
Ani se však nestihl do prvního hlášení začíst, když na dveře zaťukal a okamžitě vstoupil jeden z jeho kolegů. „Pojď se, Davide, honem podívat, co právě dorazilo za telegram,“ řekl mu a hned zase ze dveří zmizel.
Když konstábl vyšel z kanceláře, rovnou mu hlouček udivených policistů podával papírek, na kterém stálo:
„83214967 Vím moc dobře o případu Edingtonových. Dostav se rychle, však ty víš, kde mě hledat!.“
Když si vzkaz přečetl, na chvíli strnul a pak prohlásil: „Vždyť je to pro mě, to je moje služební číslo.“
Úloha č. 4
Jako všechna policejní služební čísla, i toto mělo ty vlastnosti, že na lichých pozicích mělo sudé cifry a na sudých liché, a zároveň bylo dělitelné jedenácti. Jaké nejmenší přirozené číslo má tyto vlastnosti?
„Ano, vypadá to tak, také jsme si toho všimli,“ řekl Davidovi velitel, „ale zajímalo nás, jak budeš reagovat. Napadá tě, co by to mohlo znamenat?“
„Vražda v rodině Edingtonových, to už je hodně dávno,“ začal konstábl vzpomínat, „stalo se to před čtyřmi roky. Byl to nakonec docela zajímavý případ a …“ V tu chvíli se zarazil. V hlavě se mu udělalo jasno, ale pokusil se udržet tajemnou tvář. „Už asi tuším, o co jde. Opravdu bych to měl rychle vyřešit. Považuji to ale spíš za svoji soukromou záležitost, a proto bych vás chtěl požádat o pár dní volna.“
„Trochu se mi, Davide, nelíbí, abys někde pátral na vlastní pěst, ale znám tě dobře a věřím, že bys nic zbrklého neudělal,“ řekl velitel.
„Nebojte, nic špatného se nestane. A až se vrátím, všechno vám vysvětlím.“ S těmi slovy se konstábl natáhl do své pracovny pro kabát a čepici a opustil policejní stanici.
Na nádraží doběhl velmi rychle, a tak poté, co si koupil lístek do Londýna, ještě chvíli čekal, než vůbec přijel vlak. Během čekání přemítal o tom, co se asi bude odehrávat, až dorazí na místo určení. Při tom se díval na mozaiku na stěně a ta ho najednou vytrhla ze zamyšlení.
Úloha č. 5
Všiml si, že každý řádek je dlouhý 12 palců a je sestavený z obdélníků délky 1, 3 nebo 5 palců (nemusí být použity všechny a mohou se samozřejmě opakovat). A především si všiml, že každý řádek je jiný, co do pořadí použitých obdélníků. Kolik nejvíce řádků může mít taková mozaika?
Jakmile vlak přijel, nastoupil, aby si mohl co nejlépe vybrat prázdné kupé. Jedno takové skutečně našel a už se zaradoval, že bude mít klidnou a ničím nerušenou cestu. Naneštěstí však do vlaku na poslední chvíli ještě vběhli dva muži a samozřejmě se rozhodli obsadit téměř prázdné kupé, ve kterém seděl pouze David. A aby té smůly a jejich drzosti nebylo málo, jeden z mužů jej poznal a ihned začal svému druhovi hlásit, že to s nimi jede policejní konstábl ze Summerflow a že ten by určitě mohl být nestrannou a spravedlivou osobou, která je rozsoudí.
Úloha č. 6
Každý z těchto dvou mužů si totiž myslel své přirozené číslo, ale navzájem si ho nechtěli říct. Rozhodli se proto, že oba pošeptají své číslo konstáblu Lewisovi a ten jim pak, v libovolném pořadí, řekne součet těchto dvou čísel a jedno náhodné číslo. Když tak opravdu učinili, řekl jim konstábl 1\,000 a 2\,000. Na to první muž popravdě přiznal, že vážně netuší, jaké číslo si myslel jeho kamarád. Dokáže už druhý muž určit číslo toho prvního? Jak?
Celému jejich handrkování se David divil, nechápal dost dobře, o jaká čísla jde, že s nimi dělají takové složitosti. Na druhou stranu však zapudil svoji zvědavost a raději se jich na nic neptal, bál se totiž, že by se s ním o tom ještě začali bavit, a na to momentálně neměl náladu.
Konečně kolem druhé hodiny odpolední vystoupil z vlaku a lehce zavzpomínal, kterou cestou se má dát. Paměť ho však neklamala a po půlhodině chůze už stál před ordinací praktického lékaře, kterou dobře poznal podle znaku ve štítu domu.
Úloha č. 7
Ve znaku se propojeny nacházely rovnostranný trojúhelník a čtverec, oba o stejném obvodu. Jaký byl poměr jejich obsahů?
Konstábl Lewis vešel do čekárny, která zela prázdnotou, a tak po chvilce váhání zaklepal na dveře ordinace. Ozvalo se jen znuděné „dále“. Vzal proto za kliku a vstoupil dovnitř.
Zvedl jsem oči od stolu, abych se podíval na dalšího pacienta, ale s překvapením jsem zjistil, že proti mně nikdo takový nestojí. „No ne, to jsem ani nečekal, že přijedeš už tak brzy,“ uvítal jsem nadšeně svého přítele.
„Musím ti říct, Harry, že jsi dnes ráno způsobil pěkný rozruch na naší stanici tím svým telegramem,“ řekl mi s úsměvem a už mě plácal po ramenou.
„Já vím, počítal jsem s tím. Však si taky vzpomeň, jaké uvítání jsi mi před čtyřmi roky připravil ty. Musel jsem ti to oplatit aspoň trochu. Ale dost bylo toho, určitě tě zajímá, proč jsem tě žádal o pomoc,“ změnil jsem téma rozhovoru, na což David jen dychtivě přikývl.
