Zadání 2. série 32. ročníku
Termín odeslání: 28. listopadu 2016
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Když jsem vystupoval z automobilu před rodinným sídlem Whitakerů, byla skoro tma. Pršet sice už přestalo, ale oblohu stále zahalovala těžká mračna, která příchod soumraku ještě umocňovala. Velký cihlový dům působil poněkud ponuře a ještě tíživěji snad vypadala okolní zahrada obehnaná zdí. Část zahrady za domem byla nyní rozkopaná.
„Víte,“ začal vysvětlovat radní Whitaker, „dlouhá léta se traduje, že zde někde můj pradědeček ukryl část svého jmění v podobě zlatého prutu. Rozhodl jsem se to nyní ověřit. Ne snad proto, že bych měl peněz málo, to je vám asi jasné, ale čistě z dobrého rozmaru, abych pro jednou tuto historku potvrdil, nebo vyvrátil.“
Úloha č. 1
Část zahrady, kam měl pradědeček prut dlouhý 9 yardů zakopat pod zem ve vodorovné poloze, má tvar rovnostranného trojúhelníku o straně 10 yardů. Víme také, že celý prut je blíž ke straně trojúhelníku naléhající na stěnu domu než k nejodlehlejšímu vrcholu. Narýsujte nejkratší možnou úsečku, ve které nám stačí kopat, abychom na prut určitě narazili.
Ještě jsme ani nestihli dojít ke dveřím domu, když se otevřely a vyběhla z nich služebná volajíc: „Pane doktore, pojďte honem nahoru, paní je opravdu zle.“ Přidal jsem proto do kroku sleduje služebnou a následován těsně za zády panem Whitakerem. Vyšli jsme takto až do druhého patra, kde na konci chodby služebná otevřela dveře do potemnělého pokoje a rozsvítila.
Jakmile jsem vešel dovnitř, bylo mi jasné, že je situace opravdu vážná. Paní Whitakerová ležela skrčená v posteli, a teprve když jsem ji hlasitě oslovil, jen pootevřela oči a cosi zamumlala. V obličeji byla bledá a celá opocená, z jejího čela sálalo teplo, ale ruce naopak měla úplně ledové. Jako první jsem samozřejmě pomýšlel na zápal plic, a proto jsem vytáhl z brašny fonendoskop, abych zjistil, zda uslyším trubicovité dýchání. Při zápalu plic jsou totiž plíce plné pneumokoků a bílých krvinek, a tak se jimi snadno přenáší zvuk z dýchacích cest.
Úloha č. 2
Představme si, že plicní sklípek je krychle velikosti 100 \times 100 \times 100, ve které je 1000 bílých krvinek ve tvaru koule o průměru 10 vyskládaných tak, že jejich středy leží v krychlové síti. A mezi každých osm spolu sousedících krvinek je vmáčknutá bakterie ve tvaru menší koule, která se všech těchto krvinek dotýká. Spočítejte, kolik procent původního prostoru plicního sklípku nyní zabírá vzduch.
Paní Whitakerová však dýchala jen velmi povrchně, a tak jsem neslyšel téměř nic, jen srdce, které tlouklo jako o život. Pak jsem postoupil na vyšetření břicha. Jakmile jsem na něj sáhl, zjistil jsem, že je tvrdé jako kámen, a navíc při doteku pacientka zasténala bolestí. „Je to opravdu vážné,“ řekl jsem, „sám jí tu nedokážu pomoct, nejspíš má silný zánět žlučníku, takže musí být okamžitě operována.“
Ani ne za pět minut už jsme tedy seděli opět v automobilu a mířili k nemocnici, odkud jsem se sotva před pár hodinami vrátil. Když jsme nemocnou vykládali na lehátko, byla už téměř v bezvědomí, a proto jsme museli spěchat co nejrychleji na chirurgický sál.
Úloha č. 3
Místní nemocnice je opravdu veliká. Má 5 pater, která všechna vypadají úplně stejně – jako obdélníková síť 3 \times 4 chodeb, přičemž přecházet mezi patry se dá v každém uzlovém bodě této sítě. Kolik je možností, jak nejkratší cestou přejít z jihozápadního rohu v 1. patře na chirurgický sál, který je v severovýchodním rohu 5. patra?
Radní Whitaker zůstal čekat na chodbě, zaskočen tím, jaký spád nabraly události. Já jsem se rozhodl mezitím využít toho, že jsem opět v nemocnici, a zajít se podívat na infekční oddělení, jak se daří Jeremymu. Lékaři se mezitím vystřídali, a tak jsem teď na inspekčním pokoji narazil na starého profesora Ironse. Pamatoval jsem si ho ještě z dob, kdy jsem tady v nemocnici krátce po promoci stážoval. Vždycky s oblibou drtil mediky a mladé lékaře záludnými otázkami a tahle záliba ho neopustila, jak jsem se brzy přesvědčil.
Úloha č. 4
„Čtvrtina našich pacientů dostává acylpyrin proti horečce, šestina dostává živočišné uhlí kvůli průjmům a devítina všech pacientů potřebuje dokonce oba tyto léky. No a počet pacientů, kteří nedostávají ani jeden z těchto léků, je dělitelný deseti. Tak co, víte, kolik nejméně pacientů teď máme na oddělení?“
Naštěstí jsem se jeho otázkou nenechal zaskočit a vzápětí jsme se už dali docela přátelsky do řeči. Sdělil mi, že Jeremy pookřál, jen co mu trochu doplnili tekutiny a minerály. Jedním dechem ale dodal, že se mu nelíbí celá tato situace. Prý je to totiž už osmý pacient za poslední týden s podezřením na břišní tyfus. Trochu samolibě jsem se pousmál, že se možná opravdu můj odhad vyplnil.
„Vzorky od prvních dvou pacientů už máme dokonce potvrzené,“ začal profesor vyprávět, „i když s tím ze začátku měli v laboratoři problém. Pomíchaly se jim totiž vzorky, a tak jsme nevěděli, od koho jsou ty pozitivní.“
„To je nemilé,“ zhodnotil jsem tuto situaci, „zopakovat všechny testy muselo trvat strašně dlouho a navíc to zdvojnásobilo cenu vyšetření.“
„Mýlíte se, Johne,“ přerušil moje úvahy profesor a já na něj chvíli nechápavě zíral, „navrhl jsem jim totiž postup, díky kterému se výrazně ušetřil čas i peníze.“
Úloha č. 5
„Laboranti věděli, že ze zkoumaných 18 vzorků právě dva obsahovaly tyfovou bakterii, ale výsledky se jim přeházely. Aby nemuseli dělat osmnáct nových testů na přítomnost bakterie, poradil jsem jim, že mohou vždy smíchat kousky několika vzorků k sobě a otestovat na přítomnost bakterie tuto vzniklou směs. Dokážou tak poznat, zda v některém původním vzorku bakterie byla, nebo zda byly všechny negativní, ale už nedokážou rozlišit, zda byla v jednom, nebo ve dvou ze smíchaných vzorků. Jaký postup jsem jim poradil, aby jim stačilo provést pouze 9 testování?“
„To je úžasné, tohle by mě nenapadlo,“ složil jsem profesoru Ironsovi poklonu.
„Ten postup možná úžasný je, jsem na něj hrdý, ale rozhodně není úžasné to, co se nám tady rozbíhá. To není samo sebou, aby se po dlouhé době klidu tak náhle vyrojilo tolik případů tyfu najednou!.“
„Máte pravdu, už když jsem sem vezl Jeremyho, pomýšlel jsem na tyfus, ale zároveň tuto myšlenku zapuzoval, protože už se zde dlouho nevyskytl. Jestli chcete, rád vám pomůžu vypátrat možný zdroj nákazy,“ těmito slovy jsem se chtěl rozloučit a odejít, ale nebylo mi to tak úplně hladce umožněno, neboť se právě ve dveřích potkaly a daly do řeči tři sestřičky. Vypadalo to, jako by se už dlouhou dobu neviděly a vzápětí mi z jejich povídání došlo proč.
Úloha č. 6
Jedna sestra totiž chodila pacientům kontrolovat, zda jim kape infuze, a každých 7 minut se vracela udělat záznam. Druhá sestřička, která chodila měřit krevní tlaky a zapisovat výsledky, se vracela každých 12 minut. A ta třetí, která chodila měřit teploty, se kvůli zapisování výsledků vracela vždy po 15 minutách. Směna jim všem začala přesně v sedm hodin ráno a s jinými sestrami se vystřídají přesně v deset hodin večer. Kolikrát za směnu se takto všechny tři spolu setkají?
Když si to v rychlosti pověděly a začaly se opět rozcházet za svou prací, proklouzl jsem kolem nich s letmým úsměvem a vydal se chodbami na vrátnici nemocnice. Věděl jsem totiž, že úkol, o který jsem se přihlásil, se mi bude mnohem lépe plnit, nebudu-li na něj sám. Naškrábal jsem proto na papírek krátký vzkaz, který začínal osmiciferným služebním číslem, a předal jej vrátnému s prosbou, aby jej co nejdříve poslal jako telegram do Summerflow.
Úloha č. 7
Během psaní jsem si všiml, že z onoho osmiciferného čísla lze vybrat čtyři číslice tak, že jejich součin je druhou mocninou celého čísla. Ukažte, že takto lze čtyři číslice vybrat z každého osmiciferného čísla.
