Vzorová řešení a komentáře k 3. sérii

Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.

Úloha č. 1

Označíme si x počet vykácených stromů a y původní počet stromů. Podle zadání bylo buků původně 0{,}8y. Vykácených buků je 90\,\% ze všech vykácených stromů a zároveň polovina všech původně rostoucích buků, tedy

0{,}9x = 0{,}5 \cdot 0{,}8 y = 0{,}4y,

takže platí, že

x = {4\over 9} y .

Po kácení zbylo v lese y-x stromů; buků zbylo 0{,}5 \cdot 0{,}8 y = 0{,}4y. Podíl buků na zbylých stromech je tak

{0{,}4y\over y-x} = {{4\over 10} y\over y-{4\over 9}y} = {{4\over 10}y\over {5\over 9}y} = 0{,}72.

Z nepokácených stromů tvoří buky 72\,\%.

Komentář: Vzorové řešení bylo inspirováno řešením Davida Kamenského. Celkově se sešel velký počet správných výsledků s dobrým komentářem, a tak mnoho řešitelů obdrželo 5 bodů. Několik řešitelů si špatně přečetlo nebo nepochopilo zadání a odpovídalo pak na jinou otázku. Na to si příště dávejte, prosím, pozor.

Úloha č. 2

Naším cílem je převézt co nejvíc polínek, protože čím víc polínek, tím víc peněz. Zkusme se nejprve zamyslet, kolik spotřebujeme polínek, abychom převezli co nejvíc polínek 30 yardů. Každých 30 yardů spotřebujeme jedno polínko. Naložíme tedy 1\,000 polínek a ujedeme 30 yardů. Spotřebujeme 1 polínko, složíme 998. Proč jen 998? Jedno polínko si musíme nechat na cestu zpět, abychom se mohli vrátit pro zbylých 2\,000 polínek. Opět naložíme 1\,000 polínek a ujedeme 30 yardů, složíme 998 a jedno polínko si necháme na cestu zpět pro zbylých 1\,000 polínek. Naložíme zbytek a ujedeme 30 yardů, převezeme 999 polínek. Ujeli jsme tedy 30 yardů, převezli jsme co nejvíce polínek (tj. 2\,995) a spotřebovali jsme 5 polínek.

Jak dlouho bychom takto museli jezdit a posouvat svůj lup postupně vždy o 30 yardů, abychom se museli dvakrát vracet (nebo aby se nám to vůbec vyplatilo)? Aby se nám lup vešel na nákladní automobil na dvě otočení, museli bychom spálit postupným posouváním za kupcem 1\,000 polínek. Jak daleko se dostaneme, když tímto způsobem spálíme 1\,000 polínek? Protože se musíme vracet dvakrát, spálíme na každých 30 yardů vpřed 5 polínek. Dostaneme se tedy na (1\,000:5) \cdot 30 = 6\,000 yardů. Zbývá nám ujet 24\,000 yardů a máme 2\,000 polínek.

Teď se musíme pro lup při naší kapacitě nákladního automobilu vracet už jen jednou. Na ujetí 30 yardů a převezení co nejvíce polínek spotřebujeme už jen 3 polínka. A opět se zamysleme, jak daleko se dostaneme, abychom se vraceli vždy, jen když se nám to vyplatí, abychom převezli co nejvíce polínek a abychom se už nemuseli pro lup vracet a spotřebovávat tak polínka na cestu zpět. Máme 1\,000:3 \doteq 333, takže ujedeme 333 \cdot 30 = 9\,990 yardů. Dojedeme tedy na yard číslo 6\,000+9\,990 = 15\,990; na cestu vpřed spotřebujeme 333 polínek a jednou se musíme vrátit pro lup. Celková spotřeba polínek je 333 \cdot 3 = 999, převezeme tedy 1\,001 polínko na 15\,990. yard naší cesty za kupcem.

V tuhle chvíli už se nám vyplatí naložit 1\,000 polínek a jet za kupcem přímo; jedno polínko budeme muset nechat v lese. Vracet se pro něj by se nám nevyplatilo, protože na cestu za polínkem bychom spotřebovali polínka alespoň 2 a to je zbytečná ztráta. Za kupcem ještě musíme ujet 30\,000 - 15\,990 = 14\,010 yardů. Každých 30 yardů znamená jedno spotřebované polínko, celkem tedy na cestě spotřebujeme 14\,010:30 =467 polínek. Ke kupci jich dovezeme 1\,000 - 467 = 533.

Celkem se nám tedy podaří ke kupci dostat 533 polínek.

Komentář: Přišla spousta pěkných řešení, která se blížila správnému výsledku. Nejvíce dělalo problémy, že jste se snažili nikde nenechat žádné polínko a pro každé se poctivě vracet. Zloději ale moc poctiví nebývají, zajímají je jen peníze, oni klidně polínko oželí, když na něm nedokážou vydělat. ;-) Dalším kamenem úrazu bylo, že jste si zvolili jednotku, o kolik jste se posouvali vpřed, často 300 yardů a nedošlo vám, že v jednu chvíli už se vracíte pro polínka, která třeba spotřebujete na cestu zpět, nebo naopak jste nechali v lese příliš mnoho polínek. Většina z vás, co se nedostala ke správnému výsledku, ale měla alespoň pěkně popsaný postup, dostala 3 body. Za skoro správný výsledek jsem dávala 4 body.

Úloha č. 3

Nejprve vezmeme pravidelný čtyřstěn o hraně délky a a vepíšeme mu kouli, která se bude dotýkat jeho hran a bude přesahovat jeho stěny. Aby tato koule byla největší, musí procházet středy hran čtyřstěnu (obr. vz331).

Vypočítáme poloměr r této koule. Její střed bude ležet v rovině procházející vrcholy C a D a středem S_{AB} hrany spojující zbylé dva vrcholy. Povrch koule protne tuto rovinu v kružnici procházející bodem S_{AB} a také středem S_{CD} hrany CD. Střed S koule bude přesně ve středu úsečky S_{AB}S_{CD} (obr. vz332).

Známe délku a hrany čtyřstěnu. Úsečka DS_{AB} bude mít velikost výšky v rovnostranném trojúhelníku ABD o straně délky a. Tedy |DS_{AB}|=a\cdot\sqrt{3}/2. Totéž platí pro úsečku CS_{AB}. Hrana CD má délku a. Dostáváme tak rovnoramenný trojúhelník, ve kterém musíme zjistit výšku (označme její délku v). To uděláme za pomoci Pythagorovy věty v trojúhelníku S_{AB}S_{CD}C (obr. vz333):

\eqalign{ \left(a\sqrt{3}/2\right)^{2} &= \left(a/2\right)^{2}+v^{2}, \cr v=\sqrt{3a^{2}-a^{2}\over4} &= {a\sqrt{2}\over2}.\cr}

Velikost výšky je dvojnásobek poloměru koule, a proto

r=a\sqrt{2}/4.

Když už známe poloměr koule, stačí nám zjistit, jak velký může být největší čtyřstěn vepsaný této kouli. Poloměr R opsané koule je závislý na délce b hrany vepsaného čtyřstěnu:

R=b\sqrt{6}/4.

Dosadíme za R námi vypočítaný poloměr a vyjádříme délku hrany čtyřstěnu:

\eqalign{a\sqrt{2}/4&=b\sqrt{6}/4, \cr b&=a\sqrt{3}/3.\cr}

V zadání je otázka na poměr délek, tak si vyjádříme poměr:

a/b=\sqrt{3}/1.

Poměr délek je \sqrt{3}:1.

Komentář: K výsledku vedlo více cest a značná část řešení byla korektní. Bohužel se vyskytla i taková řešení, kde byl zaměněn čtyřstěn a krychle, popřípadě čtverec. Jindy zase byla koule považována za kouli vepsanou čtyřstěnu, i když v zadání bylo napsáno, že se dotýká hran, a ne stěn. Poslední problém, který se opakoval, bylo zjednodušování z 3D do 2D, což zkreslovalo, a mnoho řešitelů si pak domýšlelo chybějící fakta.

Velmi mě potěšila spousta originálních řešení, která se dobrala ke správnému výsledku.

Úloha č. 4

Nejprve si uvědomíme, že hledané číslo nemůže být jednociferné (nebude dělitelné 11) nebo dvojciferné (nesplňuje podmínku: sudá, lichá, …). Proto číslo začneme hledat mezi trojcifernými.

Jednotlivé cifry si označíme A, B, C. Aby číslo bylo dělitelné 11, musí platit:

A+C=B+11n,

kde n je nezáporné celé číslo. Protože A a C jsou jednociferná sudá čísla, jejich součet může být maximálně 16. Proto n může být 0 nebo 1.

Pokud je n=0 a A i C jsou sudá čísla, pak jejich součet je také sudý a nemůže se rovnat lichému B. Proto n=1, a tudíž dostáváme rovnici A+C=B+11. Aby hledané číslo bylo co nejmenší, musí být B=1. Tudíž dostáváme A+C=12. Této rovnici nejlépe odpovídá dvojice čísel 4, 8.

Hledané číslo je 418.

Komentář: Našli se řešitelé, kteří úlohu řešili vypsáním násobků 11 a hledáním čísla, které dané vlastnosti splňuje. Takové řešení bylo také hodnocené 5 body, i když nebylo tak pěkné. Odpovědi bez postupu bohužel nemohly být hodnoceny plným počtem bodů. Nejčastější chyby byly z nepozornosti.

Úloha č. 5

Jeden řádek mozaiky má 12 palců a můžeme ho složit jen z jednopalcových, nebo jen z třípalcových, z jednopalcových a třípalcových, z jednopalcových a pětipalcových, nebo ze všech tří obdélníků.

Je devět možných složení řádků. Začnu s 12 jednopalcovými a postupně budu odebírat po jednom (zapíšu jen možné kombinace). Pro přehlednost si označím jednopalcový obdélník A, třípalcový B a pětipalcový C.

12A
9A+1B
7A+1C
6A+2B
4A+1B+1C
3A+3B
2A+2C
1A+2B+1C
4B

Těchto devět možností můžeme rozmíchávat, protože se řádky mozaiky liší jen pořadím obdélníků. Jelikož obdélníky stejného druhu jsou zaměnitelné, jedná se o permutace s opakováním. To je takový šikovný vzorec, který říká, že když sečteme počet různých prvků (obdélníků), které použijeme (3 obdélníky A a 3 obdélníky B), a pak použijeme faktoriál (o!) tohoto součtu (o! je číslo rovné součinu všech kladných celých čísel menších nebo rovných o, tj. o!=1\cdot2\cdot3\cdot\dots\cdot o), a nakonec to vydělíme součinem počtu jednotlivých různých prvků, na které jsme také použili faktoriál (o_{A}! \cdot o_{B}! \cdot o_{C}!), tak získáme počet možných uspořádání těchto prvků:

{(o_{A}+o_{B}+o_{C})!\over(o_{A}!)\cdot(o_{B}!)\cdot(o_{C}!)},

kde o_{x} je počet obdélníků typu x.

Počet uspořádání pro jednotlivé možnosti zaneseme do tabulky:

o_{A}	o_{B}	o_{C}	o_{A}!	o_{B}!	o_{C}!	(o_{A}+o_{B}+o_{c})!	(o_{A}+o_{B}+o_{C})!\over(o_{A}!)\cdot(o_{B}!)\cdot(o_{C}!)
12	0	0	12!	1	1	12!	1
9	1	0	9!	1	1	10!	podíl 10! a 9! je 10
7	0	1	7!	1	1	8!	podíl 8! a 7! je 8
6	2	0	720	2	1	40\,320	28
4	1	1	24	1	1	720	30
3	3	0	6	6	1	720	20
2	0	2	2	1	2	24	6
1	2	1	1	2	1	24	12
0	4	0	1	24	1	24	1

Nakonec sečteme počet všech možných přehození:

1+10+8+28+30+20+6+12+1=116.

Mozaika tedy může mít nejvíce 116 řádků.

Komentář: Vzorové řešení bylo inspirováno řešením Václava Trpišovského, které se mi moc líbilo. Tento příklad se dal řešit i vypisováním všech možností. Takový přístup má své výhody i nevýhody. Výhoda třeba je, že to zvládnou skoro všichni; nevýhoda je, že můžete zapomenout na některé možnosti, je to velmi zdlouhavé a neekologické (chudáci stromy). Byla spousta řešitelů, kteří měli správný výsledek, ale někteří jen nepopsali svůj postup, za což jsem strhávala body. Také se objevilo několik málo řešitelů, kteří nepochopili zadání a místo hledání nejvíce možných kombinací i pořadí obdélníků hledali jen možnosti složení řádků.

Úloha č. 6

Druhý muž zná své číslo. Pokud by měl číslo větší než 1\,000, součet čísel by se už nemohl rovnat 1\,000, ať má první muž zvolené jakékoli přirozené číslo. V takovémto případě je schopen dopočíst, jaké číslo si zvolil první muž (jako 2\,000 - číslo druhého muže).

Pokud bude mít číslo menší než 1\,000, není schopen bez žádné další informace určit, která ze dvou hodnot, které konstábl Lewis řekl, je správná, a která náhodná: součet obou čísel může být roven jak 1\,000, tak 2\,000.

Druhý muž má ale k dispozici ještě jednu informaci, a to, že první muž nebyl schopen říct, jaké číslo má ten druhý. Z toho plyne, že první muž musel mít jistě hodnotu menší než 1\,000, neboť jak jsme vysvětlili výše, bez žádné další informace není schopen určit, jaký je součet obou čísel.

V tuto chvíli druhý muž ví, že oba mají jistě číslo menší než 1\,000, proto snadno dopočte hodnotu druhého muže (1\,000 -své číslo).

Poznámka na závěr: Druhý muž nemůže mít číslo 1\,000, protože v tu chvíli by první muž věděl, že jedinou možností pro číslo druhého muže je též 1\,000.

Komentář: V této úloze jsem bral přirozená čísla jako kladná celá čísla bez nuly, protože většina z řešitelů je chápala tímto způsobem. Zároveň bych se chtěl omluvit „papírovým“ řešitelům za červené škrtance, které se jim na úlohách zbytečně objevily; při opravování jsem se do úlohy trošičku zamotal. O:)

Úloha č. 7

Úloha je vcelku přímočará, ale budeme k jejímu řešení potřebovat znát dvě věci – jak spočítat obsahy čtverce a rovnostranného trojúhelníku a jak upravovat rovnice.

Jak spočítat obsah čtverce a rovnostranného trojúhelníku najdeme třeba v matematických tabulkách (moc šikovná knížka, kterou stojí za to prolistovat, když si nevíme rady). Když si délku strany čtverce označíme a a délku strany trojúhelníku b, zjistíme, že

\eqalign{S_{\square} &= a^{2}, \cr S_{\triangle} &= \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot b^{2}.\cr}

To už je docela dobré, jen máme každý obsah vyjádřený pomocí jiné proměnné. Abychom mohli zjištěné obsahy dát do poměru, potřebujeme ještě vyjádřit vztah mezi a a b.

K tomu nám poslouží jednoduchý fakt – víme, že jak čtverec, tak rovnostranný trojúhelník mají stejný obvod:

\eqalign{O_{\square} &= 4a, \cr O_{\triangle} &= 3b, \cr O_{\square} &= O_{\triangle}.\cr }

Odtud

\eqalign{4a &= 3b, \cr a &= 3/4b.\cr}

Nyní už prostým dosazením za a v S_{\square} dostaneme požadovaný poměr:

S_{\square} : S_{\triangle} = \left(\frac34 b\right)^{2} : \left(\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot b^{2}\right) = \left(\frac{3^{2}}{4^{2}} \cdot b^{2}\right) : \left(\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot b^{2}\right) = \frac{3^{2}}4 : \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{4} : 1 .

Výsledek bychom mohli ještě vyčíslit, ale protože v něm máme \sqrt{3}, která je iracionální, dělat to nebudeme. Jako matematici v podobných případech vždy preferujeme přesné vyjádření výsledku před zkresleným a iracionální čísla v zápisu výsledku (jako např. \sqrt{3} nebo \pi) nám nevadí.

Komentář: Úlohu jsem hodnotil velmi mírně, protože úplně korektních řešení moc nepřišlo. Těch, co byla blízko, ale přišla velká spousta.

Mezi největší chyby patřilo, že jste si vybrali délky stran trojúhelníku i čtverce tak, aby vycházel stejný obvod (například \def\cm{\,{\rm cm}}4\cm a 3\cm) a vypočítali poměr obsahů jen pro tyto hodnoty. Úlohu tak řešit lze, ale je nutné v takovém případě zdůvodnit, proč poměr vyjde stejně, nezávisle na hodnotách délek stran. To už většině řešení chybělo.

Druhou velkou chybou bylo zaokrouhlování, díky kterému vám poměr vycházel i 9 : 7. Matematici výsledky nezaokrouhlují. Když jim vyjde \pi nebo \sqrt{3}, netrápí kalkulačku a dále nezkrátitelná iracionální čísla ve výsledku nechají.

Nakonec připomenu, že v Pikomatu hodnotíme postup řešení. Abychom měli co hodnotit, je nutný váš slovní komentář. Směsice hodnot a vzorečků nestačí a bude penalizována ztrátou bodů. Navíc pokud někde uděláte chybu, nemáme šanci hodnotit postup, byť by byl správně.

Opravovali: 1. Marie Vonzino, 2. Tereza Ptáčková, 3. Lukáš Kubacki, 4. Jiří Štrincl a Marie Viktorinová, 5. Veronika Vohníková, 6. Martin Černý, 7. Jiří Erhart.