Vzorová řešení a komentáře k 2. sérii

Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.

Zadání naleznete zde.

Úloha č. 1

Celý postup budeme ilustrovat na přiloženém obrázku (obr. vz211).

Narýsujme si nejprve trojúhelník ABC. Dále víme, že prut se bude nacházet jen ve spodní části trojúhelníku. Narýsujme tedy střední příčku trojúhelníku ABC rovnoběžnou se stranou AB. Její krajní body označíme jako S_{AC} a S_{BC}. Celkem tedy víme, že prut se může nacházet jen v lichoběžníku ABS_{BC}S_{AC}. Jak v něm může být umístěn? Je třeba rozebrat krajní možnosti. Prut mohl být natažen rovnoběžně s dolní podstavou v takové výšce, aby zde šířka trojúhelníku byla právě \def\cm{\,{\rm cm}}9\cm. Dalšími krajními možnostmi jsou situace, kdy prut vychází z bodu A nebo B.

Pokud tedy zkonstruujeme kružnici k_{1} se středem v bodu A o poloměru 9\cm, nalezneme nejvyšší bod (označme X_{1}), kam až může prut směřovat. Podobně můžeme zkonstruovat kružnici k_{2} se středem v bodu B a následně průsečík X_{2}. Polohu prutu by pak označovaly úsečky AX_{1} a BX_{2}. Jak z bodu A, tak z bodu B může být prut položen i pod menším úhlem. Vidíme tedy, že abychom pokryli všechny tři mezní situace, musíme výkop volit jako úsečku SS_{AB}, kde S je průsečík úseček AX_{1} a BX_{2} a S_{AB} je střed strany AB.

Komentář: Řešení se dělila do tří skupin – na ta správná, na zbytečně dlouhé výkopy a na nedostatečné výkopy. Druhá skupina si buď uvědomila, kde může prut ležet, ale nevybrala správně nejkratší možný výkop, nebo vybrala velmi dlouhý výkop, u kterého bylo naprosto zřejmé, že musí prut pokrýt (např. těžnici trojúhelníku). Třetí skupina pak často brala v úvahu jen situaci, při které je prut položen rovnoběžně se stranou AB. Mírně lépe jsem obvykle hodnotil řešení, která měla jistotu nalezení prutu, ale nejednalo se o nejkratší možný výkop.

Úloha č. 2

Kolik procent původního prostoru plicního sklípku nyní zabírá vzduch, spočítáme ze vzorce \frac{V - (p_{k} \cdot V_{k} + p_{b} \cdot V_{b})}{V} \cdot 100 .

Objem sklípku spočítáme jako V = a^{3} = 100^{3} = 1\, 000\, 000.

Objem krvinky zjistíme jako V_{k} = 4/3 \cdot \pi \cdot r_{k}^{3} , kde r_{k}=5 je poloměr krvinky.

Počet krvinek máme p_{k} = 1 000 ze zadání.

Objem bakterie V_{b} = 4/3 \cdot \pi \cdot r_{b}^{3} , kde r_{b} je poloměr bakterie, který musíme spočítat.

Počet bakterií je p_{b} = 9^{3} = 729 , protože mezi 10 krvinkami je 9 bakterií, a to platí v každém rozměru, proto 9^{3} .

Chybí nám spočítat poloměr bakterie. Vezmeme krychličku složenou z osmi krvinek a jedné bakterie uprostřed. Provedeme řez, který prochází stěnovou úhlo\minuspří\minusčkou horní a dolní podstavy, poté vzniklou polovinu krychle otočíme o 45\deg a dostaneme takovýhle pohled jako na obr. vz221.

Vezmeme si obdélník, jehož rohy jsou ve středech krvinek, jeho kratší strana je b=10 a jeho delší strana je a= 10 \cdot \sqrt{2}, protože se jedná o úhlopříčku čtverce se stranou 10.

Nyní podle Pythagorovy věty spočítáme u, což je délka tělesové úhlopříčky krychle:

Poloměr bakterie získáme tak, že od u odečteme dvakrát poloměr koule a vydělíme dvěma:

Nyní vše dosadíme do původní rovnice a dostaneme:

Komentář: Jedna z častých chyb byl počet krvinek. Mnoho lidí uvádělo 125, protože 1000/8 = 125, ale mezi každých osm spolu sousedících krvinek je vmáčknutá bakterie, není to samé jako bakterií je osmkrát méně, když řeknu mezi každými dvěma kluky stojí holka, tak to bude vypadat takhle: kluk, holka, kluk, holka, kluk, ... a ne: kluk, holka, kluk, kluk, holka, kluk, ...  Další častou chybou byl výpočet poloměru bakterie. Hodně řešitelů si to zjednodušilo na úlohu v rovině, za to jsm dával 2 body. Někteří používali špatnou terminologii jako například objem kruhu. Kruh je rovinný obrazec, proto nemůže mít objem, dejte si na to pozor! Zbytečně vám to kazí řešení.

Úloha č. 3

Na tuto úlohu existují dva až tři základní postupy. Tyto postupy si probereme postupně. Ve všech těchto úvahách víme, že nejkratší cesta trvá devět tahů a cesta se musí skládat z tahů na východ, nahoru a na sever, proto jiné tahy ani neuvažujeme (obr. vz231).

(1) Postupné vyplňování tabulky

Na první políčko napíšeme jedna a postupně na další píšeme součet všech čísel z políček, ze kterých tam jde jedním tahem přijít. Musíme dávat pozor, abychom v průběhu výpočtu něco nezapomněli přičíst. Takto budeme mít na každém políčku počet způsobů, jak se tam můžeme dostat, a je zřejmé, že na posledním políčku bude výsledek.

Spodní patro vyplníme jako na obr. vz232.

V dalších patrech si musíme dát pozor, abychom vždycky započítali počet možností z předchozího patra. Druhé až páté patro popisují postupně následující obrázky (obr. vz233–vz236).

Výsledek tedy je 1260.

(2) Počítání kombinačními čísly

Počítáme počet různých devític kroků, kde čtyři jsou nahoru, dva na sever a tři na východ. Počet možností, jak vybrat k věcí z n, když nezávisí na pořadí výběru, je dán tzv. kombinačním číslem

přičemž n! značí n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1. Podobně můžeme dojít k tomu, že vybrat z devíti kroků čtyři nahoru, tři na východ a dva na sever lze {9! \frac 4! \cdot 3! \cdot 2!}=1260 způsoby. Odpovídá to úvaze, že celkový počet možností, jak proházet devět věcí je 9!. Protože ale nerozeznáme pořadí 4 kroků nahoru, vydělíme počet možností 4!, ani nerozeznáme pořadí dvou na sever ani tří kroků na východ, takže ještě děleno 3! \cdot 2!.

Častěji jste ale úlohu počítali postupně tak, že jste zjistili počet možností, jak projít spodní patro, který je 10, protože z pěti kroků vybíráme dva (na sever), tedy {5 \choose 2} = {5! \over 2! \cdot (5-2)!}= 10 (nebo výčtem). A potom jste vybírali z devíti kroků pět vodorovných (nebo čtyři nahoru), tedy {9 \choose 4} = {9! \over 5! \cdot (9-5)!} = 126. Protože ve všech prvních variantách mohou být všechny druhé varianty, tyto mezivýsledky vynásobíme a vyjde nám správný výsledek 126 \cdot 10=1260.

Komentář: Téměř všichni řešitelé pochopili zadání správně, ale několik řešitelů, po spočítání spodního patra, došlo k závěru, že dál neví jak pokračovat. Potom byla skupina s částečně správnými postupy, ale i mezi těmi, kteří správný postup znali, bylo mnoho řešitelů, kteří se někde přepočítali, a proto jim vyšel špatný výsledek. Nikdo, kdo neměl správný výsledek, nedostal plný počet bodů.

Úloha č. 4

Víme, že čtvrtina pacientů dostává acylpyrin, šestina živočišné uhlí a devítina dokonce oboje. Sečteme-li počet pacientů, kteří dostávají acylpyrin, a počet pacientů, kteří dostávají živočišné uhlí, dostaneme počet pacientů, kteří dostávají acylpyrin, nebo živočišné uhlí. Ale pozor! Přihodila se nám nemilá věc. Máme pacienty, kteří dostávají oba léky, to ale znamená, že jsme je započítali dvakrát – jednou, protože dostávají acylpyrin a ještě jednou, protože dostávají živočišné uhlí – musíme je tedy jednou odečíst. Správně je tedy počet pacientů, kteří dostávají alespoň jeden z léků, roven 1/4 +1/6 - 1/9 = 11/36 ze všech a počet pacientů, kteří nedostávají ani jeden z léků je tím pádem tvoří 25/36 z celkového počtu. Všimneme si, že celkový počet pacientů musí být násobkem šestatřiceti a 25/36 z tohoto počtu musí být dělitelná deseti. Číslo 36 tuto podmínku nesplňuje, ale 72 (nejmenší větší násobek šestatřiceti) už ano. Nejmenší možný počet pacientů je tedy 72.

Komentář: Drobným chytákem této úlohy nebylo přijít na správný postup řešení, ale uvědomit si, že pacienti, kteří berou oba léky, jsou už započítaní v každé z „podskupin“ (pacientů beroucích jen acylpyrin a pacientů na živočišném uhlí). Za řešení, kde tato úvaha chyběla, jsme proto dávali nejvíce tři body. Jiné „chyby“ skoro nebyly, takže jsme byli bodově docela štědří.

Úloha č. 5

Uvedu dle mého názoru jedno z elegantnějších řešení, jak nalézt, které dva prvky jsou nakaženy.

Vzorky si rozdělím do „tabulky“ o rozměrech 3 \times 6 a otestuji tak, jak je vidět na obrázku (obr. vz251).

Z toho, jak bylo provedeno testování, se dá jednoznačně prokázat, kde se nakažené vzorky s tyfem nacházejí. „Řádkové“ testování nám nejprve určí, v které skupině se vzorek nachází. „Sloupcové“ testování poté zjistí konkrétní umístění prvku v šestici. Snadno lze ověřit, že pokud budou 2 prvky v jednom sloupci, pomocí „řádkového“ testování zjistíme, kde ve sloupci se nacházejí, a zároveň nám vyjde pozitivní pouze jeden test na sloupce. Pokud budeme mít 2 prvky v jednom řádku, vyjdou pozitivně 2 „sloupcové“ testy. Pokud budou oba prvky v rozdílných řádcích a rozdílných sloupcích, „řádkové“ a „sloupcové“ testování přesně určí, v kterém řádku a kterém sloupci se který daný nakažený prvek nachází.

Komentář: Řešení této úlohy mělo několik variant. Nejčastěji řešitelé zvolili varianty, kde se začalo rozdělením 18 vzorků na 3 skupiny po 6 vzorcích, 4 skupiny po 4 a 1 po 2 vzorcích, nebo 6 skupin po 3 vzorcích.

Nejdůležitější u takovéto úlohy je rozebrat všechny případy, které mohou nastat. Často někteří řešitelé ztráceli body na tom, že neuvedli, co má laborant provést, když nastane některý výsledek měření, a to je problém. Intuitivně je to v pořádku, u složitějších úloh se nedá tak snadno spoléhat na intuici a správný matematický důkaz proto musí rozbor všech případů obsahovat. Ještě druhá možnost by byla rozebrat pouze nejhorší případ. Pro to by bylo třeba ještě dokázat, že se skutečně o nejhorší případ jedná.

A nakonec biologická a češtinářská vložka: Tyfus je onemocnění bakteriálního, nikoli virového původu. Zároveň se skloňuje do druhého pádu jako tyfu, nikoli tyfusu. ;)

Úloha č. 6

Sestřičky byly tři, každá se z měření vracela po určitém časovém intervalu. Úkolem je zjistit, kdy se potkávaly. Abych věděl, kolikrát se potkají za směnu, tak musím zjistit, s jakými intervaly se schází a kolikrát se vejde tento interval do délky směny. Nejdříve délka směny. Vím, že sestřičky začaly směnu v 7:00 a skončily 22:00. Odečtu a dostanu 15 hodin, neboli 900 minut. Teď interval, za který se viděly všechny tři. To bude nejmenší společný násobek jejich tří intervalů. Abych ho zjistil, tak si musím jednotlivá čísla rozložit na prvočísla:

Nejmenší společný násobek bude součin prvočísel, které se v různých řádcích neopakují. Když se opakují v jednom řádku, tak je musím roznásobit všechny:

Zjistil jsem, že všechny tři sestřičky se potkaly poprvé po 420 minutách od začátku a poté zase každých dalších 420 minut. Vydělím si délku směny tímto intervalem a zaokrouhlím dolů, abych věděl, kolikrát se potkají před koncí směny:

Během směny se potkají dvakrát. Pokud by se potkaly i na začátku, tak celkový počet setkání bude tři, pokud i na konci, tak čtyři.

Komentář: Naprostá většina byla správně vypočítaná, jediná věc, co chyběla, byla diskuze, jestli se sestřičky potkají i na začátku a na konci. Někteří také neumí najít nejmenší společný násobek, což je škoda, když jinak mají celý postup správně.

Úloha č. 7

Úlohu budeme řešit sporem. To znamená, že budeme předpokládat, že existuje osmiciferné číslo (označme ho x), ze kterého nemůžeme vybrat čtyři číslice požadovaným způsobem. Pokusíme se dojít k nějakému sporu, z čehož vyvodíme, že náš předpoklad nebyl správný, a tudíž žádné takové číslo neexistuje.

Nejprve si uvědomme, co vyplývá ze samotného zadání. Druhá mocnina celého čísla zahrnuje i 0^{2}. Pokud je jedna z cifer součinu 0, je i součin 0, takže x určitě neobsahuje 0. Z obdobných důvodů nemůže obsahovat dva nebo více párů stejných číslic. Tedy zbývají pouze dvě možnosti:

(1) x obsahuje osm různých nenulových číslic,

(2) x obsahuje jednu nenulovou číslici alespoň dvakrát a zbylé jednou.

Přitom nezávisí na pořadí, v jakém jsou cifry seřazeny.

Vyřešme nyní problém pro devíticiferné číslo 123\,456\,789. Najděme všechny čtyřciferné kombinace, jejichž součin je druhou mocninou celého čísla. Jsou to:

Vzhledem k vlastnostem (1) a (2), dostaneme číslo x tak, že z čísla 123\,456\,789 vyškrtneme jednu cifru a případně ještě nahradíme některé další cifry jednou číslicí, která je různá od 0 a první vyškrtnuté cifry.

Nejprve si rozmysleme, že vyškrtnutím jedné z cifer 1,4,5,7,9 vždy splníme požadavky zadání. Nyní tuto myšlenku dokážeme. V osmiciferném čísle zbude dostatek čtveřic z C tak, že i kdybychom pak vyškrtli ještě jednu libovolnou cifru, našli bychom nějakou čtveřici z C i ve zbylém sedmiciferném čísle.

Řešíme tedy už jen vyškrtnutí cifer 2,3,6,8. Po libovolném vyškrtnutí jedné z nich z 123\,456\,789 nám zbudou v nově vzniklém osmiciferném čísle právě tři různé čtveřice z C. Označme je X. Například pro 3 je X=\lbrace1248, 1289, 2489\rbrace. Pro spor musíme tyto čtveřice eliminovat. Jediný způsob, jak toto udělat, je nahradit jednu cifru jinou tak, že v osmiciferném čísle vytvoříme pár dvou stejných cifer. Pokud nahradíme cifru společnou pro všechny tři čtveřice z X (v našem případě 2 nebo 8), vznikne pár cifer, který bude tvořit s ciframi 4 a 9 součin splňující podmínku ze zadání. V žádném případě nemají všechny tyto čtveřice společnou 4 nebo 9, takže buď budou zachovány nějaké čtveřice z X, nebo vznikne nová ve tvaru AA49. Toto platí analogicky pro číslo se třemi stejnými ciframi. Zároveň jsme tímto prozkoumali všechna osmiciferná čísla. Tím dostaneme spor s předpokladem, že lze najít takové osmiciferné číslo, pro které by zadání neplatilo, čímž je důkaz proveden.

Řešení podle Michala Beránka:

Řešme úlohu sporem, tedy hledejme číslo, které nesplňuje zadání. Hned vyloučíme cifru 0. Snadno si totiž rozmyslíme, že \sqrt{0}=0, 0 je celé číslo, a protože výsledek součinu obsahujícího 0 je vždy 0, nesmíme ji v čísle použít. Zároveň taky vyloučíme situace, ve kterých jsou dvě nebo více dvojic stejných čísel, protože \sqrt{a \cdot a \cdot b \cdot b}=a \cdot b a protože a, b jsou celá čísla, tak a \cdot b jsou také. Mezi ciframi 1 - 9 jsou 3 druhé mocniny – čtverce (1, 4, 9), 4 prvočísla (2, 3, 5, 7) a 2 další složená čísla (6=2 \cdot 3, 8=2 \cdot 2 \cdot 2). Pokud použiji alespoň dva čtverce, musím přidat šest, respektive pět dalších cifer, aby bylo číslo kompletní. Pro pět použiji cifry 5 a 7, protože nemají mezi zbylými ciframi své násobky. Stále musíme doplnit tři cifry. Cifry 2 ,3 ,6 a 8 spolu tvoří tři různé čtverce, a to sice 2 ,3 ,6, dále 8,3,6 a 2,8, z kterých ale, po vynechání libovolné cifry, vždy zbude alespoň jedna. Pokud máme jen jeden čtverec, rozmysleme si, že 2 s 8 a 3 s 6 jsou zaměnitelné, a proto přidejme BÚNO (Bez Újmy Na Obecnosti) všechny prvočíselné cifry. Zbývá nám tedy doplnit ještě tři cifry. Jejich přidáním buď vzniknou dvě dvojice druhých mocnin (2 \times 8, nebo opakující se cifra), nebo vznikne jedna ze dvou trojic 2,3,6 nebo 8,3,6 a ty s naším čtvercovým číslem opět dají číslo ze zadání. Pokud nepoužiji žádný čtverec, mám k dispozici jen šest různých cifer, takže vznikne vždycky buď jedna nezávislá dvojice a dvojice 2,8 nebo dvě nezávislé dvojice. Tím dostáváme spor a tedy zadání platí.

Komentář: Úloha byla těžká, proto se ve většině řešení objevily alespoň drobné chyby či byla řešení jen částečná. V důkazu musí být rozebrány všechny případy daného problému. Všechna tvrzení musí být podepřena logickou posloupností kroků.

Opravovali: 1. Vojtěch Kika, 2. Jiří Štrincl, 3. František Steinhauser , 4. Jan Erhart, 5. Martin Černý, 6. Lukáš Kubacki, 7. Vít Kalisz.