Vzorová řešení a komentáře k 1. sérii

Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.

Úloha č. 1

V úloze je třeba vypočítat několik věcí. Musíme nejprve určit, kolik vody naprší do kužele. Zadruhé budeme muset určit, jaký je vztah mezi vodou napršenou do kužele a ryskou, kterou na kužel zakreslíme, abychom určili přesnou hodnotu (výška hladiny v kuželu nebude odpovídat reálné výšce hladiny, která naprší na zem). Nejprve musíme určit objem vody napršené. Plocha, na kterou dopadá voda do kužele, se rovná jeho podstavě, protože kužel je otočen podstavou vzhůru. Tu vypočteme vztahem S=\pi\cdot r^{2}. Objem vody se roven množství vody, které by napršelo do válce s podstavou daného kužele a výškou \def\mm{\,{\rm mm}}5\mm . (V=S\cdot 5\mm ) Pokud jste se dostali ve svých výpočtech až sem, získali jste 2 body.

Těď už víme, jaké množství vody do kuželu naprší, pokud naprší 5\mm srážek. Kdybychom vzaly kužel s tímto množstvím vody, snadno bychom určili, kam rysku zakreslit (hladina vody v kuželu by nám jasně určila výšku). My ale dokážeme určit výšku kuželu, pokud známe jeho objem. Využijeme vztah ze vzorce V = \pi \cdot r^{2} \cdot v\cdot 1/3. V této části vzniklo nejvíce chyb řešitelů. Většina těchto chyb spočívala v tom, že si řešitel určil poměr mezi objemem celého a menšího kužele, následně čeho tento poměr aplikoval i na výšku menšího kužele. (konkrétně poměr 3 : 1). Bohužel tato přímá úměra ne vždy platí a to i v tomto případě. Zde konkrétně má myšlenka chybu v tom, že pokud uřízneme část kužele od vrcholu, nezmění se pouze výška, ale i poloměr kuželu. Stačí nám ale provést ještě jedna, trochu odlišná úvaha. Z rozměrů kuželu na začátku jsme dostali informaci, že výška a poloměr původního kužele se rovnají (v=150 \mm , d=300\mm což znamená r=150\mm , v=r). Pomocí podobnosti můžeme určit, že i u našeho nově vzniklého, menšího kužele tento vztah bude platit. Můžeme tedy dosadit do vzorce: r = v a tak V = 1/3\cdot \pi \cdot v^{2} \cdot v=1/3\cdot \pi\cdot v^{3}. Upravováním vzorce vyjádříme v=3\sqrt{3V/\pi}. Do tohoto vzorce nyní můžeme dosadit dříve odvozený vzoreček pro objem: V=\pi\cdot r^{2}\cdot 5\mm a tak v=\root 3 \of {\frac{3\cdot \pi\cdot r^2\cdot 5}{\pi}} \mm. Výsledná výška v by měla být přibližně 69{,}62\mm , lze zaokrouhlit na \def\cm{\,{\rm cm}}7 \cm.

Úloha č. 2

Ve vzorovém řešení používáme následující značení: Černá čísla jsou ta, která jsme získali z minulého kroku, nebo ze zadání. Šedá jsou ta, která v popisovaném kroku nalézáme.

podmínka: čísla se nesmí opakovat v žádném řádku, sloupci v rámci jedné vrstvy
podmínka: čísla se nesmí opakovat ve svislém sloupci „skrz“ krychli
podmínka: když z krychle vybereme libovolný čtverec 4 \times 4 (v kterékoli rovině) a rozdělíme jej na čtyři čtverce 2\times 2, tak i tyto malé čtverce musejí obsahovat každou z číslic 1–4 právě jednou

V krocích je uvedena jedna z možných podmínek (nebo kombinace více podmínek), ze kterých jsme dané číslo získali. Je tedy možné, že popsaný krok může vycházet i z jiných podmínek.

Nyní můžeme přejít k řešení samotné úlohy: Číslo 3 v 2. vrstvě v 3. čtverci doplníme z 1. podmínky. Číslo 3 v 1. vrstvě ve 4. čtverci doplníme z 1. a 2. podmínky. Číslo 2 v 1. vrstvě ve 4. čtverci doplníme z 1. a 2. podmínky. Číslo 1 v 1. vrstvě ve čtvrtém čtverci doplníme z 1. podmínky, číslo 4 z 3. podmínky (obr. vz123).

Číslo 2 v 1. vrstvě ve 3. čtverci doplníme z 1. podmínky. Číslo 4 v 2. vrstvě ve 3. čtverci doplníme ze 3. podmínky. Číslo 2 v 2. vrstvě ve 3. čtverci doplníme ze 3. podmínky. Číslo 1 v 2. vrstvě v 1. čtverci doplníme z 1. podmínky (obr. vz124).

Číslo 4 v 1. vrstvě ve 2. čtverci doplníme z 1. podmínky. Číslo 2 v 3. vrstvě ve 4. čtverci doplníme z 2. podmínky. Číslo 4 v 3. vrstvě ve 4. čtverci doplníme z 1. podmínky. Číslo 4 v 3. vrstvě ve 4. čtverci doplníme ze 3. podmínky (obr. vz125).

Číslo 1 ve 4. vrstvě ve 4. čtverci doplníme z 2. podmínky. Číslo 1 ve 2. vrstvě ve 4. čtverci doplníme z 2. podmínky. Číslo 2 ve 2. vrstvě ve 4. čtverci doplníme z 1. podmínky. Číslo 1 ve 3. vrstvě ve 3. čtverci doplníme z 2. podmínky (obr. vz126).

Číslo 2 ve 3. vrstvě ve 3. čtverci doplníme z 1. podmínky. Číslo 3 ve 4. vrstvě ve 3. čtverci doplníme z 2. podmínky. Číslo 4 ve 4. vrstvě ve 3. čtverci doplníme z 1. podmínky. Číslo 1 ve 4. vrstvě ve 3. čtverci doplníme z 2. podmínky (obr. vz127).

Číslo 2 ve 4. vrstvě ve 3. čtverci doplníme ze 3. podmínky. Číslo 1 ve 3. vrstvě v 1. čtverci a číslo 2 ve 4. vrstvě v 2. čtverci doplníme z 1. a 2. podmínky. Číslo 1 v 1. vrstvě v 1. čtverci doplníme z 1. a 3. podmínky (obr. vz128).

Číslo 4 v 1. vrstvě v 1. čtverci doplníme z 1. a 3. podmínky. Číslo 2 v 2. vrstvě v 1. čtverci doplníme ze 3. podmínky. Číslo 4 v 2. vrstvě v 1. čtverci doplníme ze 3. podmínky. Číslo 2 v 1. vrstvě v 1. čtverci doplníme z 1. podmínky a 3. podmínky (obr. vz129).

Číslo 3 v 1. vrstvě v 1. čtverci doplníme ze 3. podmínky. Číslo 3 v 1. vrstvě ve 3. čtverci doplníme z 1. podmínky. Číslo 4 v 1. vrstvě ve 3. čtverci doplníme z 1. podmínky. Číslo 3 v 1. vrstvě ve 2. čtverci doplníme z 1. podmínky (obr. vz1210).

Číslo 1 v 1. vrstvě ve 2. čtverci doplníme z 1. podmínky. Číslo 2 v 2. vrstvě ve 2. čtverci doplníme z 1. a 3. podmínky. Číslo 3 v 2. vrstvě ve 2. čtverci doplníme z 1. podmínky. Číslo 1 v 2. vrstvě ve 2. čtverci doplníme z 1. podmínky (obr. vz1211).

Číslo 4 ve 2. vrstvě ve 2. čtverci doplníme z 1. podmínky. Číslo 4 ve 3. vrstvě ve 3. čtverci doplníme z 2. podmínky. Číslo 3 ve 3. vrstvě ve 3. čtverci doplníme z 1. podmínky. Číslo 3 ve 3. vrstvě v 1. čtverci doplníme z 1. podmínky (obr. vz1212).

Číslo 3 ve 2. vrstvě ve 4. čtverci doplníme z 1. pravidla. Číslo 4 ve 2. vrstvě ve 4. čtverci doplníme z 1. pravida. Číslo 4 ve 4. vrstvě ve 4. čtverci doplníme z 2. pravidla. Číslo 3 ve 4. vrstvě ve 4. čtverci doplníme z 2. pravidla (obr. vz1213).

Číslo 4 ve 4. vrstvě ve 2. čtverci doplníme z 1. pravidla. Číslo 4 ve 3. vrstvě v 1. čtverci doplníme z 2. pravidla. Číslo 2 ve 3. vrstvě v 1. čtverci doplníme z 2. pravidla. Číslo 3 ve 4. vrstvě v 2. čtverci doplníme z 2. pravidla (obr. vz1214).

Číslo 1 ve 3. vrstvě v 2. čtverci doplníme z 2. pravidla. Číslo 2 ve 3. vrstvě v 2. čtverci doplníme z 2. pravidla. Číslo 4 ve 3. vrstvě v 2. čtverci doplníme z 1. pravidla (obr. vz1215).

Číslo 3 ve 3. vrstvě ve 2. čtverci doplníme z 1. pravidla. Číslo 3 ve 4. vrstvě v 1. čtverci doplníme z 2. pravidla. Číslo 1 ve 4. vrstvě v 1. čtverci doplníme z 2. pravidla. Číslo 2 ve 4. vrstvě v 1. čtverci doplníme z 2. pravidla. Číslo 4 ve 4. vrstvě v 1. čtverci doplníme z 2. pravidla (obr. vz1216).

Výsledek je na obrázku vz1217.

Komentář: Největší problém dělala 3. podmínka. Hodně lidí ztratilo body na tom, že neověřili 3. podmínku, tvrdili, že má sudoku více řešení, nebo jejich řešení nesplňovalo právě jenom 3. podmínku. Problém 3. podmínky nebyl v horizontálním řezu krychlí, ale ve vertikálních řezech, které řešitelé nebrali v úvahu. Z řešení se mi moc líbilo zpracování Roberta Gemrota a Václava Trpišovkého.

Úloha č. 3

Rozdělíme si na dva podproblémy:

Problém 1: 3 lidé sekali dohromady 8 hodin. Jak dlouho by sekali 4 lidé? Tři lidé sekali \def\h{\,{\rm h}}8 \h , čtyři lidé sekali x \h .

Úvaha: Když 3 lidé z 8 \h posekají 1 trávník, tak za 1 hodinu posekají spolu 1 \over 8 trávníku. V tom připadě 1 člověk poseká za 1 \h jednu třetinu toho, co všichni 3 dohromady, čili 3\cdot 1/8\cdot 3 = 1/24 trávníku. Pokud by sekali 4 lidé, tak by každý posekal za 1 \h 1 \over 24 trávníku, čili všichni dohromady 4\cdot 1/24=1/6 trávníku. Celý 1 trávník tedy posekají za 6 hodin. Teď použijeme trojčlenku – přes nepřímou úměrnost (čím víc lidí pracuje, tím kratší dobu jim to bude trvat):

\eqalign{ 4/3 &= 8/x, \cr x &= 6 \h . }

Problém 2: Kolik jim doktor zaplatil? Každému slíbil 5 liber za každou hodinu, co by pracovali navíc. Měli pracovat 6\h , pracovali 8\h . Každý pracoval o 2 hodiny víc, takže každému zaplatil 10 liber.

Komentář: Nejhezčí řešení byla ta, která byla řešená trojčlenkou a byla dobře a hezky okomentovaná. Naopak jsem strhávala bod za to, že někdo někde nezdůvodnil důležitý krok nebo se s komentářem neobtěžoval vůbec, protože i to je důležitá část řešení.

Úloha č. 4

Vycházejme ze skutečnosti, že naše trojmístné číslo je dělitelné 11. Pokud označíme a, b, c po řadě cifru na místě stovek, desítek a jednotek, pak musí platit a+b+c=11. Teď ještě vyřešíme dělitelnost 11.

Z kritéria dělitelnosti jedenácti platí, že číslo je dělitelné 11, pokud rozdíl součtu číslic na sudém a lichém místě je dělitelný 11. Pokusíme se získat z předešlého vztahu tento rozdíl, a tak od rovnice odečteme 2b. Vyjde nám a+c-b=11-2b, kde levá strana je dělitelná 11 podle dělitelnosti, takže i pravá strana je dělitelná 11, tedy 2b=0 nebo 2b=11. Z toho vychází, že b=0 nebo b=5{,}5, což není cifra. Řešením tedy budou taková čísla tvaru 100a+c, kde a+c=11.

Řešením tedy budou čísla 209, 308, 407, 506, 605, 704, 803, 902.

Komentář: Většina z vás úlohu vyřešila správně. Nejčastější chybou bylo, že jste zapomněli odůvodnit, proč to nemohou být jiná čísla, než vámi uvedená.

Úloha č. 5

Tri sídelné mestá (Alwoodley, Bramham a Cleckheaton) budú ku cestnej sieti pripojené iba jedinou cestou. Preto nám nepomôžu s prepájaním ostatných miest. Pre začiatok na ne zabudneme.

Musíme teraz (čo najlacnejšie) prepojiť tieto mestá tak, aby sa z každého dalo dostať do každého. Je jasné, že použijeme cestu dole (s cenou 9). Ďalej sa zameriame na ľavý dolný roh:

Aby sme prepojili každé s každým, musíme postaviť aspoň 3 cesty. Postavíme preto tie 3 najlacnejšie (4, 4, 3).

Ďalej sa zameriame na ľavý horný roh:

Tuto podobne vyberieme 3 najlacnejšie cesty (2, 4, 6).

Teraz zase pridáme do mapy sídelné mestá. Každé z nich pripojíme jednou cestou (tou najlacnejšou).

Výsledné opravené cesty budú tieto:

Výsledná cena je 41.

Komentář: Mnohí z vás nepochopili zadanie. Namiesto toho, aby ste spájali všetky mestá, ste spojili iba tie tri vyznacené. V takom prípade, ak ste mali dobré riešenie (cena 15), ste mohli stále dostat nejaké body. Mnohým z vás ale tiež chýbal postup. V tom prípade ste dostali výrazne menej bodov. Postup typu „skúšal som a toto mi vyšlo“ nie je postacujúci. Pät bodov dostali tí z vás, ktorí mali správne riešenie, ukázali postup a k tomu ešte napísali nejaký argument preco je toto to najlacnejšie riešenie.

Úloha č. 6

V rovnoběžníku platí, že protilehlé strany jsou stejně dlouhé (obr. vz161). Proto |BQ| = |CD| a |CD| = |PA|, a tedy |AP| = |BQ|. Tudíž poměr úseček |AP|:|BQ| = 1:1.

Komentář: Přišlo mnoho správných odpovědí. Někteří lidé úlohu řešili narýsováním a změřením stran. Tento způsob neřeší úlohu obecně, ale pouze pro případ, který narýsujete. Také měření není 100\,\% přesné, proto jakékoli měření není plnohodnotný důkaz.

Úloha č. 7

Úlohu můžeme řešit ku příkladu tak, že najdeme nejhorší rozestavení (tj. takové, které paní W. spotřebuje za nejdelší čas) a ukážeme, že to opravdu to nejhorší rozestavení je.

Pro přehlednost si nakreslíme lahvičky do čtvercové sítě a pilulky v lahvičkách budeme zobrazovat vybarvením políček – začínáme s tím, že v každé už jedna pilulka je (jak bylo řečeno v zadání) – viz obrázek vz171.

Abychom mohli najít nejhorší rozestavení, musíme se nejdříve zamyslet, vůči čemu má být nejhorší. V našem případě je to vůči počtu dní (tj. počtu použití operací, které má paní W. k dispozici, což je buď odebrání jedné pilulky z každé lahvičky, nebo odebrání všech pilulek z jedné). Když se ale koukneme zpátky na náš obrázek, vidíme, že odebrat jednu pilulku z každé lahvičky je stejné jako odebrat jeden řádek (resp. posunout se o řádek výše) a že odebrat všechny pilulky z jedné lahvičky je stejné jako odebrat jeden sloupec (resp. posunout se o sloupec doleva). A teď, postavíme-li si pro názornost na políčko (1,1) panáčka (obrázek vz172), tak je najednou naše úloha stejná jako úloha „Na kolik nejméně kroků se může dostat panáček z políčka (1,1) na libovolné nevybarvené políčko?“

Z obrázku je jasně vidět, že zatím by to panáčkovi trvalo jenom jeden krok (posun o jedno políčko nahoru). Ale jako už od začátku jsme tu my, abychom to panáčkovi co nejvíce ztížili. To je jednoduché – stačí mu to políčko, na které se dostane jedním krokem, vybarvit (šedé políčko). Teď už mu to trvá dva kroky, ale opět stačí pouze vybarvit políčka, na která by se dostal dvěma kroky (svislé šrafování) a cesta se mu zase prodlouží. Tak můžeme pokračovat dál a dál, až na sedm kroků. Jak vidíme, po rozšíření na sedm kroků nám sice ještě zbývají 2 pilulky/políčka, ale možností, jak dojít na prázdné políčko (na obrázku vz173 označené puntíky), má panáček 7, takže ať už je umístíme kamkoliv, vždy mu určitě ještě 5 možností, jak dojít na prázdné políčko za sedm kroků, zbyde.

A protože, jak jsme už ukázali, je úloha s panáčkem stejná jako naše původní úloha s lahvičkami (počet kroků odpovídá počtu dní), tak správná odpověď na otázku „Kolik nejméně dní potřebuje paní W., aby spotřebovala všechny pilulky, pokud jsou v lahvičkách zcela náhodně?“ je 7 dní.

Ukáži tu ještě jedno správné řešení, které i když není tak hezké, jako to, které jste právě četli, tak je to poměrně užitečná metoda, kterou lze použít v mnoha situacích. Jak totiž spousta z vás zjistila, najít správný výsledek (resp. to nejhorší rozmístění, které je, jak už jsme si ukázali, třeba 7,6,5,4,3,2,1,2,2) nebylo to nejtěžší. Těžší bylo zdůvodnit, proč je to právě to nejhorší rozmístění. A v takové situaci (když si myslíte, že jste našli to pravé řešení) bývá nejlepší předpokládat, že to ještě to nejlepší řešení není, ale že existuje řešení ještě lepší a pak prostě ukázat, že takové řešení vede k nějakému sporu (nepravdivé situaci). V našem případě to znamená:

Myslím si, že správná odpověď je 7 a našel jsem k tomu i rozmístění – třeba 7,6,5,4,3,2,1,1,3.
Ukážu, že správná odpověď k mému rozmístění je opravdu 7 jak tvrdím. To je vidět poměrně snadno – abych se zbavil sloupečku se sedmičkou, potřebuju sedmkrát odebrat jednu pilulku z každého sloupečku a použití druhé metody mi tu nijak nepomůže, protože tak odebírám vždy méně pilulek – v prvním kroku max. 7 místo devíti, ve druhém max. 6 místo sedmi, ve třetím max. 5 místo šesti, atd.
Řeknu si „No dobře, tak ať tedy existuje takové rozmístění, které jde zvládnout nejrychleji za 8 kroků.“ To ale znamená, že musí být v některé z lahviček nejméně 8 pilulek, protože kdyby v každé bylo sedm a méně, tak mi stačí prostě sedmkrát odebrat jednu pilulku z každé lahvičky. Úplně stejně pak ale musí v další lahvičce být alespoň 7 pilulek (protože kdyby jich bylo šest a méně, tak můžu šestkrát odebrat jednu z každé plus jednou, když si vezmu celý sloupeček s osmi a jsme znova jenom na sedmi krocích). Stejným způsobem se dostanu k tom, že potřebuju mít v lahvičkách posloupnost pilulek 8,7,6,5,4,3,2,1, což už je ale víc pilulek než mám.

Ukázal jsem tedy, že existuje takové rozestavení, které jde spotřebovat nejrychleji za sedm dní, a že aby existovalo takové, které stihnu nejrychleji za osm, potřebuji určitě víc pilulek, než skutečně mám. Tím je dokázáno, že pro jakékoliv rozmístění to jde nejrychleji za 7 dní.

Komentář: Mnoho z vás se nechalo zmást už formulací zadání. Kamenem úrazu zde byla věta „Jaký nejmenší možný počet dní potřebuje paní W., aby spotřebovala všechny tabletky, ať už byly na začátku rozmístěny v lahvičkách jakkoliv?“ a hlavně její poslední slovo „jakkoliv“. A tak se stalo, že ve spoustě řešení bylo nalezené ono „jakékoliv řešení, pro které lze spotřebovat pilulky nejrychleji“, tj. rozmístění 24,1,1,1,1,1,1,1,1. Kdykoliv však potkáte v matematické úloze takovou formulaci (a bývá v nich často), znamená to, že je vaším úkolem najít nejmenší počet dní, za který se dá zkonzumovat libovolné/všechna/to nejhorší rozmístění (všechna tato slova zde popisují stejnou úlohu). Zkrátka, že vezmeme-li jakékoliv rozmístění, vždy půjde spotřebovat maximálně za tolik dní, kolik říkáte, ale ani o den méně.

Pro ty, kteří jsou již ve čtení matematických zadání zběhlí, nebyl většinou problém najít správný výsledek. Co problém byl (a není tomu vůbec divu, protože to byla úloha opravdu těžká), bylo ukázat, že nalezený výsledek je správný. Řešitelů, kteří zvládli i to, bylo opravdu málo (o to víc gratuluji, jste fakt dobří).

Více k častým chybám najdete i ve vzorovém řešení. Jenom ještě jedna věc, často jste psali, že to paní W. určitě nebude trvat déle než devět dní (protože si každý den může vzít celou lahvičku), což sice v řešeních typicky nehrálo žádnou důležitou roli, ale je to užitečné první pozorování, a tak jsem to hodnotil kladně, obzvlášť když se vám dál v řešení už tolik nevedlo.

Takže řešte i dál a pořádně pište postupy, ať víme, co jste jak mysleli a nemusíme to hádat, tipovat nebo věštit z křišťálové koule. (A taky ať vám můžeme dávat hodně bodů, protože dávat vám body za to, co si my domyslíme do vašich řešení, je zkrátka trapné, a proto to ani neděláme).

Přeji spousty dobrých nápadů do další série.

Opravovali: 1. Martin Černý, 2. Zuzana Procházková, Marián Poppr, 3. Kateřina Macková, Jiří Erhart, 4. Karel Vlachovský, 5. Martin Smolík, 6. Jiří Štrincl, 7. Jan Erhart.