Zadání 6. série 31. ročníku

Termín odeslání: 2. května 2016

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.

---

Deně trvalo hodně dlouho, než se zorientovala. Stála v kleci a před ní se procházel mladík s úlisným úsměvem. Bylo na něm vidět, že je z lepší společnosti, zejména díky tomu, že jí byl od prvního pohledu nepříjemný. Tvrdil, že o ní hodně slyšel, když studovala na Univerzitě. „Mohla jsem to tušit,“ říkala si v duchu. Skákání po dlaždicích jako vstupní heslo by nikoho jiného nenapadlo. Mladík se představil svým neskutečně dlouhým jménem, které si nemínila zapamatovat (nějaký August Murillio odněkud od D), a dotknul se klece. Ta se tiše vytratila tam, odkud přišla. Nabídl jí, aby ho následovala dolů po schodech.

Úloha č. 1

Schodiště mělo 10 schodů. August se zaujetím vysvětlil, že každý vrže jiným tónem, tudíž když po schodech člověk stoupá, zahraje melodii. Když člověk jde po schodech, může šlápnout na nejbližší schod, nebo na ten následující (a jeden překročit). Kolik melodií lze tímto způsobem zahrát?

Dena během jeho vysvětlování jen koulela očima. Když sestoupili do sklepa, srdce jí poskočilo. Byla tam totiž laboratoř. Tak velká a vybavená laboratoř, jakou neviděla ani na Univerzitě. Dena klasicky zapomněla na všechno, o čem předtím přemýšlela, a hlasitě žasnouc pobíhala od jednoho přístroje k druhému.

„Takže jste spokojena,“ odtušil August.

Dena ihned spadla ze svého obláčku dětinské radosti. „Ne. Kvůli tomu jsem nepřišla,“ odsekla vzdorovitě.

„A přitom jsem vám chtěl ukázat tolik věcí... Například tohle,“ ukázal na malou nedokončenou postavičku na jednom ze stolů. „Zajisté vás zajímá, co jsem udělal s těmi rubíny, viďte?“

Přikývla.

„Jak se ukázalo,“ pustil se do vysvětlování s těžko skrývaným tónem samolibosti, „rubíny jsou po dostatečné úpravě výborným polovodičem astrálního pole. Tudíž se s jejich pomocí dají dělat složité logické obvody nebo dokonce paměť. Dovolte mi, abych vám to předvedl. Herberte?“ oslovil figurku a dotekem ji aktivoval.

Úloha č. 2

August vyskládal před Herberta do řady 26 kartiček s písmeny abecedy. Když Herbert otočí jakoukoli z nich, spatří nenulovou číslici. Než ale otočí další kartičku, musí předchozí opět zakrýt. V řadě jsou dvě trojice sousedních kartiček, které mají stejný součet. Úkolem Herberta je tyto trojice najít. Paměť mu ještě úplně nefunguje, tudíž si může pamatovat pouze jedno číslo (s písmeny ovšem nemá problém). Tedy například: když si pamatuje číslo 17 a otočí kartičku K, na které bude třeba číslo 5, může si zapamatovat například součet (číslo 22) a to, že si tohle číslo vymyslel u kartičky K. Jakmile ji otočí zpět, zapomene čísla 17 i 5. Navrhněte, jak může Herbert postupovat, aby správně našel ony dvě trojice.

„Ještě není dokonalý, ale je na správné cestě,“ konstatoval August, sleduje malého Herberta při práci.

Dena z něj byla unešená. Nikdy se jí nepovedlo vytvořit konstrukt se složitějším myšlením. „Tohle je ale příliš malý konstrukt,“ nedalo jí zeptat se, „k čemu jste potřeboval tolik rubínů?“

„Mám v plánu něco mnohem většího,“ odpověděl August záhadně a vykročil směrem ke dveřím na opačné straně místnosti. Dena jej následovala. „Víte, má drahá, vždy mě fascinovala lidská mysl. Jak dokáže zpracovat za zlomek vteřiny i ty nejsložitější informace. A přitom je to celé jen soubor chemických reakcí v šikovně uspořádaném systému mozku. Samozřejmě, astrální pole má mnohem více možností než obyčejná chemie…“ pokračoval, ale Dena jej přestala poslouchat. Zaslechla totiž hodně známý hlas Erika.

Erik seděl na posteli v místnosti, do které ho hodili jeho dva známí únosci. Nikdo ho teď nehlídal, tudíž měl dostatek času věnovat se i těm provazům, co měl na nohou. Již je svedl povolit natolik, že se mohl celkem pohodlně pohybovat. Prošel se po místnosti, ve které se nacházel. Zpozoroval, že původně patřila nějakému zahradníkovi.

Úloha č. 3

Podél jedné zdi byly totiž v řadě rozestavěny 4 sazenice rajčat a 7 sazenic paprik. Žádná dvě rajčata nebyla vedle sebe. Kolik je možností rozestavění sazenic?

Kromě sazenic tam zaregistroval různé knihy, které mu ale nijak nepomohly. V místnosti byly jenom jedny dveře, za nimiž zajisté stála hlídka, a jediné okno se nacházelo těsně pod stropem. Podle toho usoudil, že je pořád ve sklepě. Když přišel k oknu, zjistil, že je příliš vysoko na to, aby tam vylezl. Nahlas zaklel.

Dena zůstala stát jako solný sloup. Za dveřmi, jež August otevřel, stál člověk. Téměř. To něco mělo postavu muže. Rysy v obličeji to mělo kostrbaté, jako by se nikdo nenamáhal s detaily při jeho modelování. Místo očí to mělo tmavé díry a tam, kde měla být ústa, byla jen uhlem nakreslená čára. Z ramen tomu čněly rubíny, které se zdály být jen vtisknuté do kůže. „Ejhle, umělý člověk. Sám jsem ho nedokázal udělat úplně funkčního, ale s vaší pomocí to jistě dokončím.“ Ohlédl se na místo, kde stála, ale ona tam už nebyla. Viděl jen hustý dým, jenž se zvedal z nádoby flogistonu, kterou Dena převrhla předtím, než se dala na útěk. „Ke mně! “ zakřičel na své kumpány.

Úloha č. 4

Dena převrhla nádobu s flogistonem, která měla čtvercovou podstavu o hraně \def\cm{\,{\rm cm}}10 \cm a výšku 13 \cm. Jak nádoba padala, zachytila se jedním vrcholem horní podstavy o druhou, prázdnou nádobu s rovněž čtvercovou podstavou o hraně 6 \cm a o výšce rovněž 6 \cm, a to tak, že úhlopříčka podstavy byla kolmá na hranu menší nádoby. Flogiston vytékající z větší nádoby přesně zaplnil tu menší a zbytek zůstal v nakloněné větší nádobě (tedy alespoň do okamžiku, než do ní Dena strčila ještě jednou, aby se konečně rozlil po stole). Do jaké výšky původně sahala hladina flogistonu ve větší nádobě? Tloušťky stěn nádob zanedbejte.

Dena utíkala neznámou chodbou za Erikovým hlasem. Za zády slyšela výbuch způsobený nespoutaným flogistonem. „Neměl si ho dávat do otevřené nádoby, blbec,“ pomyslela si. Na konci chodby zahlédla dveře.

„Jsem tady!.“ odpověděl jí Erik, když zavolala jeho jméno. Přede dveřmi stála židle a vedle ní ležel klíč. Strážní museli v tom zmatku utéct. Dena rychle vešla dovnitř a zamkla za sebou. „Co se stalo?“ chtěl vědět Erik. Hned si to ale rozmyslel. „Vlastně je to jedno. Pomoz mi s tou postelí, rychle.“

Úloha č. 5

V místnosti o rozměrech 220\times 520 \cm a výšce 255 \cm je v rohu vedle okna umístěna postel tak, že její čelo je rovnoběžně s delší stranou místnosti (okno je na kratší straně, dveře jsou na opačné straně). Postel je dlouhá 205 \cm, široká 168 \cm a na jedné straně má obdélníkové čelo vysoké od země 66 \cm, zatímco na druhé straně má pouze nohy vysoké 37 \cm. (Postranice žádné nemá.) Jde v této místnosti otočit postel tak, aby bylo čelo rovnoběžně s kratší stranou místnosti? Pokud ano, jak?

Těsně poté, co vylezli ven oknem, zaslechli za sebou zvuk praskajícího dřeva. Ohlédli se a spatřili Augustova umělého člověka, jak rozlámal dveře na kusy. Za ním stál mladík a křičel: „Za nimi! Musíš je chytit!.“ Černé oči se rozzářily červeně a konstrukt vyrazil směrem k oknu. Erik byl ale rychlejší a stihnul okno zavalit velkým špalkem na štípání dřeva. „Utíkej, nezadrží ho to navěky!.“ zakřičel na Denu a strhnul ji s sebou. Sprintovali, až jí došel dech. Už za sebou neviděli chalupu, ze které právě utekli. Byli zrovna uprostřed močálu, když za sebou spatřili pár červených světel. Běželo to za nimi. Erik jí přikázal, aby zůstala na místě, a vydal se směrem, odkud přišli. Nestihla ho zastavit.

Úloha č. 6

Cestou zpět si Erik všimnul, že stopy, které zanechali, časem mizí v močálu. Když utíkali směrem od chalupy, měli rychlost \def\kmh{\,{\rm km/h}}20 \kmh . Teď jde Erik zpět rychlostí 5 \kmh . Místo, kde už stopy stihly zmizet, takhle najde 1 \,{\rm km} od místa, kde se zastavili. Jak daleko by to místo našel, kdyby šel rychlostí 10 \kmh ?

Dena zůstala sama. Čekala. Na stromech už zpívali ptáci a začala jí být zima. Čekala na Erika. Nebo na pár rudých očí. Bylo jí všechno jedno. Z dálky slyšela zvuky zápasu, nebylo však možné zjistit, kdo vyhrává. Padla mlha. Uplynula celá věčnost, než zahlédla blížící se postavu.

Pochroumaný Erik se dobelhal na místo, kde nechal Denu. Táhl za nohu konstrukta, jenž je pronásledoval. Usmál se na ni a upadl obličejem na zem. „Tak, tady ho máš,“ vysoukal ze sebe. „Musíš ho nějak vypnout.“ Dena sebou cukla. „Neboj, neměl by být tak funkční.“ Prozkoumala záda umělého člověka. Viděla tam pár značek, které jí napověděly, co má udělat.

Úloha č. 7

Na zádech konstrukta byl trojúhelník o stranách 5, 7 a 8 \cm. Musela najít trojúhelník, který by měl stejný obsah, ale dvakrát větší poloměr opsané kružnice. Jedna výška měla mít 6 \cm. Jak by takový trojúhelník narýsovala?

Když Dena vypnula konstrukta, otočila se na Erika. „Jsi v pořádku?“

„Mhm,“ odpověděl jí na půl úst.

„A co ten namyšlený frajer?“

Erik unaveně zavrčel. „Dej mi pár sekund,“ řekl. Po chvíli se s bolestí zvedl a utřel si bahno z obličeje. „Pojďme na to,“ rozhodl, „tady za rohem je policejní stanice. Znám to tady. Tam jim řekneme, kde ho najdou. A pak si snad konečně dám večeři.“