Zadání 5. série 31. ročníku

Termín odeslání: 7. března 2016

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.

---

Dena spěchala na místo, kam ji vedla dřevěná kulička. Byla už tma a ona utíkala pustými ulicemi. Zadýchaná zastavila na rohu dvou ulic. V duchu proklínala sebe samu, že na Erika zapomněla. Letmý pohled na kuličku ji povzbudil, že není daleko. Sebrala zbytek sil a dala se opět do běhu.

Dorazila na náměstí, které neznala. Po celém prostranství se rojili zaneprázdnění policisté. Nebyla jediná, kdo zaregistroval volání o pomoc. Policajti jako jeden muž kráčeli po dlažbě a dívali se na zem. Když i ona sklopila zrak, spatřila lesklý korálek. Aby pochopila, co se děje, oslovila nejbližšího policistu. Strážník ji poznal a věnoval jí unavený úsměv. „Taky jsi to slyšela, což?“ zeptal se. „Museli jej někam odvézt,“ pokračoval, aniž by čekal na její odpověď. „Měl chytrý nápad, házel na zem korálky, ale nejspíš si toho všimli. Jsou jen tady na náměstí. Jezdili s ním do kruhu. Nemáme se čeho chytit,“ dodal sklíčeně. Dena se znova rozhlédla po náměstí. Někteří policajti právě kreslili křídou nějakou čáru, asi dráhu, po které vezli jejich detektiva. Další z frustrace kreslili všude možně.

Úloha č. 1

Na zemi je půlkruh nad průměrem AB. Na úsečce AB zvolme bod C, bod D pak leží na kruhovém oblouku AB tak, že CD je kolmé na AB. Body C, D prochází kružnice s průměrem CD, obsah kruhu ohraničeného touto kružnicí označíme S_{1}. Dále si narýsujeme kruhové půloblouky s průměry AC a CB (orientované do oblouku AB) a jako S_{2} si označíme obsah půlkruhu s průměrem AB bez obsahu těchto dvou menších půlkruhů. Vysvětlete, proč platí S_{1}=S_{2} pro libovolnou pozici bodu C na úsečce AB.

Dena chtěla použít nějaký přístroj ze svého kufříku, ale zjistila, že jej opět zapomněla. Teď ji ovšem její oblíbená pomněnka nezachrání. Leží totiž bez zdroje energie na pracovním stole. Nezbylo jí nic jiného, než čekat na další vývoj událostí. Jak tak bezvýchodně bloumala náměstím, spatřila v jedné z vedlejších ulic nějaké papírky. Byly to malé kartičky, které vítr rozvál po zemi. Přiběhla blíž a jednu z nich zvedla ze země. Okamžitě věděla, z jaké hry pochází.

Úloha č. 2

Na každé kartičce je právě jedno čtyřmístné číslo obsahující číslice 1, 2 a 3. Na kartičkách jsou vypsaná všechna čtyřmístná čísla, každé právě jednou. Ve hře se získávají body sbíráním speciálních „bodovaných“ trojic kartiček. Konkrétně takových trojic, ve kterých mají všechna tři čísla na každém z míst buď stejnou číslici, nebo číslice navzájem různé. (Tedy např. trojice 1123, 2121, 3122 je bodovaná, ale trojice  1123, 2121, 2122 není bodovaná, protože na pozici tisíců mají dvě čísla dvojku a jedno číslo jedničku.) Kolik existuje různých bodovaných trojic?

Byla to hra, která byla velmi populární v Burgundsku. Dena ji znala díky univerzitě. Ji samotnou nikdy karty nezajímaly, ale většina jejích bývalých spolužáků hrála pokaždé, co to šlo. Přišlo jí zajímavé, že kartička, kterou zvedla, měla na sobě připsané jedno číslo a nápis: „rozsviť červenou lampu.“ Když kartičku otočila, všimla si malé mapky. Bez přemýšlení se rozeběhla směrem, kterým mapka ukazovala. Ani jeden z policistů na náměstí to nezaznamenal.

Erik cítil, že ho posadili na židli. Sundali mu pytel z hlavy. Viděl obličeje dvou známých chlapů a jednoho parádně oblečeného mladíka, který seděl v křesle proti němu. Matně si vzpomínal, jak čekal v křoví na záchranu a tenhle pán ho překvapil zezadu. Pak si pamatoval jenom ránu do hlavy.

„Promiňte, pane Coltaine, za nepříjemnosti spojené s vaším příjezdem,“ přivítal ho mladík s hranou zdvořilostí, „ale zajisté pochopíte, že máme obavy o vaši diskrétnost.“ Erik obrátil oči v sloup. Nesnášel mladé aristokraty, a už vůbec ne takové, co ho praštili do hlavy vycházkovými holemi. „Tak to vyklop, co po mně chceš,“ zavrčel na něj. Mladík se tvářil, že ho neslyšel a věnoval se kousku moučníku, co měl na stolku vedle sebe.

Úloha č. 3

Zákusek měl tvar krychle. Mladík jej ukrojil jedním řezem tak, že tento řez měl tvar pravidelného n-úhelníku. Jaké všechny n-úhelníky to mohly být? Proč ne jiné?

„Dovolte, abych se představil,“ pokračoval mladý gentleman poté, co si vychutnal svůj moučník. „Jmenuji se August Murillio z Drewmore. Nepředpokládám, že o mně slyšelo moc lidí, ale to se brzy změní. Víte, tenhle svět…“

„Kašlu ti na svět! Co po mně chceš?“ skočil mu do řeči Erik.

August se na něj vyčítavě podíval. „Víte, že je neslušné takhle hrubě přerušovat lidi, co vám přednáší svou vizi?“

Erikovi se v obličeji objevil útrpný výraz. Věděl, že tenhle chlápek jen tak mluvit nepřestane. Když se podíval na svého „hostitele“, tak viděl, že něco dál říká, ale vůbec ho neposlouchal. Sledoval radši jeho dva poskoky, kteří taky neměli v plánu vyslechnout si ten nudný monolog a raději si otevřeli dvě lahve piva a nalili si je do půllitrových sklenic.

Úloha č. 4

Jeden měl \def\l{\,{\rm l}}0{,}5 \l světlé třináctky a druhý 0{,}5 \l tmavé jedenáctky. Každý chtěl ochutnat od toho druhého. Proto druhý vzal svůj půllitr a \def\ml{\,{\rm ml}}125\ml z něj odlil do sklenice toho prvního, a ten mu vzápětí odlil 125\ml zpátky, aby měli oba stejně. Od pohledu se ale zdálo, že sklenice toho druhého obsahuje stále příliš mnoho tmavého piva. Kolik své směsi má podobným způsobem znovu přelít k prvnímu a pak zpátky, aby nakonec v jeho půllitru byla 1/4 světlého piva a 3/4 tmavého?

Erik byl moc rád, že si ho vlastně nikdo nevšímal. Věnoval se proto provazu, jenž mu svazoval ruce. Po dlouhé chvíli hraní si s uzly s potěšením ucítil, že provaz povoluje. Nedal na sobě ovšem nic znát a dál se tvářil, že Augusta poslouchá. Ten se patrně dostal ke své nejoblíbenější části. „A pak, až naše dílo bude hotové, budeme ho prezentovat na univerzitě. Ukážeme jim, že to byli oni, kdo se mýlil! Když konečně uvidí...“ Mladík sice pokračoval ve svém výkladu, ale detektiv ho znovu přestal poslouchat. Jeden ze dvou chlápků totiž při nešikovném pohybu shodil ze stolu mapu, na níž byla vyznačená pole. Erik hned věděl, která místa mapa zobrazuje.

Úloha č. 5

Mapa měla tvar čtverce, jehož jedna strana byla přesně \def\m{\,{\rm m}}1 \m. Je na ní vyznačena čtvercová síť s čtverečky o straně \def\cm{\,{\rm cm}}10 \cm. Na souřadnicích [3;8], [4;5], [5;2] jsou vyznačeny tři domy a pak další čtyři v rozích mapy. (Dům je na mapě značen jako bod.) Dále je mapa rozdělená do oblastí tak, že v každé oblasti leží jeden dům a z každého bodu dané oblasti je to nejblíže právě do domu v této oblasti. Kudy povedou hranice oblastí? Narýsujte mapu v měřítku 1:10.

Bylo to místo, které si pamatoval ze svého dětství. V domě, jenž byl na mapě, bydlel jeden z jeho příbuzných a on si často hrával v jeho okolí. „Nakonec z toho asi vyváznu,“ řekl si v duchu. „Budu muset jen počkat na správnou chvíli.“ Pokusil se uvolněnou rukou nahmatat dřevěnou kuličku. V kapse však nenahmatal nic. August náhle přerušil monolog a podíval se mu přímo do očí. „Hledáte tohle?“ zeptal se, zvedaje malý konstrukt do vzduchu. Erik hlasitě zaklel.

Dena už necítila nohy. Nepomáhalo ani to, že si zula své parádní boty a nesla je v  ruce. Již dlouho byla mimo mapku nakreslenou na kartičce. Zmožena si sedla na patník. Najednou se opět ozvala dřevěná kulička v kapse. Už potřetí během večera. Když zachytila druhý signál, byla příliš daleko, aby se mohla rychle dostat na správné místo. Teď tomu bylo jinak. S novými silami vyskočila a rozeběhla se směrem, odkud přišel signál. Boty zapomněla u patníku.

Doběhla až k malému farmářskému domečku. Sáhla po klice, ale rychle se zarazila. Něco tady nesedělo. Když se lépe podívala na kov kliky, ihned pochopila. Klika vydávala slabé, téměř nepostřehnutelné světlo. To mohlo znamenat pouze jednu věc: hermetický zámek. Jednoduché enhancování, které dovolilo vstup jen těm, co znali správné heslo. Najednou však zahlédla další kartičku zapadlou v trávě. Měla štěstí, pomyslela si, že někdo má děravé kapsy.

Úloha č. 6

Na kartičce bylo napsáno: \sqrt{republika} = eeuui. Různá písmena znamenají různé cifry. Jaké číslo představuje slovo republika?

Když řekla správné heslo, světlo z kliky pohaslo a ona ji opatrně stiskla. Potichu vstoupila dovnitř, kde spatřila další zkoušku. Podlahu v místnosti tvořily čtvercové dlaždice. Prostřední zářila červeně. Dena si na ni stoupla. Na vedlejší se pak rozsvítilo číslo 6. Postoupila dopředu a číslo se změnilo na 5. Přesně pochopila, o co jde.

Úloha č. 7

Dena stojí na červené dlaždici uprostřed místnosti pokryté 25\times 25 dlaždicemi. Může se hýbat jen o jednu dlaždici dopředu, dozadu, vlevo anebo vpravo. Kolika způsoby se může na 6 pohybů dostat na dlaždici vpravo vepředu (diagonálně sousedící dlaždici) od té červené?

Když se na dlaždici objevilo číslo 1, Dena si s hrůzou uvědomila, že je na nesprávném místě. Zatajila dech a pokusila se jedním skokem dostat na dlaždici s číslem. Povedlo se jí to, ale její radost neměla dlouhého trvání. Dlaždicový konstrukt zjistil, že podváděla. Z podlahy kolem ní vyrostla dřevěná klec. Z jedněch dveří v místnosti vyšel mladík v dobře padnoucím obleku. Podíval se na ni a překvapeně zvolal: „Madam Denisa Felisin! Jak milé překvapení, že jste se rozhodla přidat! Mám toho tolik, co bych vám ukázal!.“