Zadání 4. série 31. ročníku
Termín odeslání: 8. února 2016
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Erik obíhal úřady příliš dlouho. Setmělo se a kráčel matně osvětlenou ulicí. Díky tomu celému cirkusu se cítil, jako by měl místo mozku tuhou vatu. Už ani nepřemýšlel nad záhadou a jednoduše doufal, že se vyřeší sama. Těšil se domů, kde na něj jistě čeká žena s teplou polévkou.
V kapse nahmatal korálkový náhrdelník, jenž koupil ráno cestou do práce. Unaveně se pousmál. Jak šel, narazil na rozkopanou ulici. Pobíhal tam nějaký mladík se zvláštním zařízením v ruce.
Úloha č. 1
V ulici dlouhé 100 stop položili dělníci do země 27 stejných kabelů. Zapomněli si je ale označit, a tak teď nevědí, které konce patří k sobě. Nejmladší z nich dostal za úkol to pomocí zkoušečky a propojovacích svorek zjistit. Na jedné straně může pospojovat různé kabely do skupin, potom přejít na druhou stranu a tam zkoušečkou zjistit, které konce kabelů jsou vodivě spojené. Jakou nejmenší vzdálenost mladík ujde, než zjistí a označí, který konec patří ke kterému, a jak to udělá?
Ulicí nešlo projít, Erik ji musel obejít. Zabočil tedy do neosvětlené vedlejší uličky a doufal, že nezabloudí. Nestihl udělat ani dvacet kroků, když ho cosi udeřilo do hlavy. Zajiskřilo se mu před očima a sesunul se k zemi. Leže na chladivé dlažbě viděl vedle sebe dvě postavy. Neviděl jim ale do obličejů. Postavy si povídaly:
„Praštils ho pořádně, je mimo?“ ptal se jeden.
„Jasně, ten se jen tak neprobere,“ chlubil se druhý.
„Tak ho vemem k šéfovi.“
Hrubé ruce Erika zvedly a táhly na konec ulice, kde na ně čekala černá drožka. Přehodili jej přes dvě sedačky a sedli si proti němu. Detektiv se snažil nehýbat, aby nezjistili, že vůbec není v bezvědomí.
V kapse se usilovně snažil nahmatat zařízení, které používali policisté k signalizaci, že jsou v nebezpečí. Byla to malá dřevěná kulička, která po stisknutí vyslala signál. Ten signál dovedli zachytit jiní strážníci a mohli pak přijít pomoci na místo, odkud signál přicházel. Zařízení však vyslalo signál jenom jednou, tím pádem v pohybující se drožce nemělo příliš uplatnění. Naštěstí dostal Erik nápad. Když viděl, že ho chlapi nehlídají, zmáčkl dřevěnou kuličku a roztrhnul náhrdelník, jenž měl pro svou ženu. Upustil jeden korálek pod sedadlo na zem. Jeho únosci si toho naneštěstí všimli a poručili kočímu, aby jezdil s drožkou dokola.
Úloha č. 2
Drožka jezdila po kruhu o poloměru 18 stop. Erik každou sekundu upustil korálek. Čtvrtý korálek byl vzdálen od prvního 1 stopu (měřeno po oblouku kruhu), a když ho Erik upustil, drožka do té doby obkroužila jeden celý kruh a zmíněnou část. Jak dlouho musela drožka jezdit, aby na kruhu nebyl žádný úsek dlouhý jednu stopu bez korálku?
Když mu došly korálky, jeden z únosců se na něj zlověstně usmál.
„Tak ty sis myslel, že nás převezeš?“
Erik polknul naprázdno. Viděl, že nemá smysl dál předstírat bezvědomí, a sedl si. „Kam mě to vezete?“ zeptal se.
„Vždyť uvidíš,“ řekl ten proti němu a zachechtal se jako hyena.
„Anebo ani ne,“ dodal ten druhý a natáhl mu na hlavu černý pytel.
Dena zatím čekala, až se Peter vrátí. Bylo to už dlouho, co ho poslala, aby ze skladu získal tepelné štíty. Pochybovala, že by na ně měl postačující povolení. Když ale viděla, s jakou jistotou vyrazil, uvěřila, že se bez štítů nevrátí. Během čekání už stihla přečíst vše, co chtěla, a tak se znuděně procházela po chodbě. Narazila na nový vynález, který tady posledně nestál. Vypadal jako velká krabice, ze které si studenti mohli koupit koblihy. Teď byl ale asi porouchaný, protože se před ním skupinka mladíků o něčem vášnivě dohadovala.
Úloha č. 3
Studenti přišli společně k automatu a zaplatili. Prvnímu z automatu vypadla jen jedna kobliha, druhému vypadly dvě, třetímu tři, a tak dále. První studenti byli trochu smutní, že se jim dostalo jen po jedné či dvou koblihách, a tak se s ostatními dohodli, že když všichni platili stejně, tak si úlovek taky rozdělí rovnoměrně. Po přerozdělení zůstalo každému studentovi 5 koblih. Kolik tam bylo studentů?
Jak je Dena pozorovala, překvapilo ji poklepání na rameno. Když se otočila, uviděla Petera s divokým úsměvem a krabicí v ruce.
„Tak, našel jsem je,“ prohlásil.
„Tak našel…“ nevěřícně se na něj zadívala. „Ale co, hlavně, že jsou tady,“ prohodila, když krabici převzala. „Ještě ale potřebujeme ten zdroj. Neuměl bys sehnat i ten?“
Peter zakroutil hlavou: „To by mě už doopravdy vyhodili.“
„No co,“ napadlo ji, „můžu to zkusit i s obyčejnou svíčkou.“
Poděkovala Peterovi, posbírala si věci a vyrazila domů. Měla ale neodbytný pocit, že na něco zapomněla. Řekla si však, že to zřejmě nebylo nic důležitého. Když přišla domů, sebrala ze všudypřítomného nepořádku potřebné nářadí a pustila se do práce. Jako zdroj si vybrala tu hezkou svíčku, kterou dostala jako dárek od mámy.
Úloha č. 4
Svíčka je desetistěn. Horní a dolní podstavu tvoří dva rovnoběžné čtverce. Jsou vzájemně otočené o 45° a jejich středy leží nad sebou. Zbylé stěny tvoří rovnostranné trojúhelníky spojující vždy stranu jednoho čtverce a nejbližší vrchol druhého. Určete objem svíčky, má-li všechny hrany o délce a.
Viděla, že všechno funguje tak, jak má. Zasnila se a vymýšlela, co všechno by takhle mohla zkonstruovat. Často měla problém, že její zdroj energie nebyl dost silný, a proto se musela uchýlit k úsporným opatřením. Neměla totiž dost peněz na to, aby si koupila takové štíty, jaké by chtěla. I hermetické svíčky si musela vytvářet sama. Ty, které si mohla dovolit, měly příliš malou koncentraci flogistonu.
Úloha č. 5
Obyčejná svíčka, kterou si může Dena koupit v obchodě, obsahuje 21\,\% flogistonu. Má 25 gramů a stojí 16 pencí. Dena potřebuje svíčky s obsahem flogistonu 81\,\%. Vyrábí je komplikovaným procesem z obyčejných svíček ve vlastnoručně vyrobeném vaporizéru vosku beze ztráty flogistonu. Kolik stojí kvalitnější svíčky s 81\,\% flogistonu a s hmotností \def\g{\,{\rm g}}50 \g, když se Deně tento postup vyplatí?
S tímto novým rozestavěním štítů by ovšem mohla výrazně ušetřit a kupovat si lepší zdroje. Tak by byla schopna vytvořit to, o čem už dlouho snila: přístroj na překlad jazyků. Měla všechno do detailů promyšlené. Věděla přesně, kde spoutat jaké excitace a které „runy“ použít. Dokonce měla vybranou i barvu. Zatímco létala hlavou v oblacích, venku se setmělo. Zvedla se, že si uvaří čaj, když se najednou ozval hlasitý zvuk z dřevěné kuličky, která ležela vedle stolu. „Erik!“ vykřikla.
Detektiv zaregistroval, že drožka zastavila. Podle toho, jak dlouho cesta trvala, usoudil, že jsou daleko za městem. Chtěl si stoupnout, ale hrubé ruce ho přitlačily na sedadlo. S pytlem na hlavě neviděl ani na špičku nosu. Dobře ovšem slyšel, jak se únosci s kočím hádají. Požadovali po něm, aby pokračoval v cestě. On to odmítal a odvolával se na milník, u něhož stáli. Tvrdil, že musí počkat u milníku, na kterém je speciální číslo.
Úloha č. 6
Kočí říkal, že to číslo má lichý ciferný součet a je dělitelné 101. Jaké je nejmenší takové číslo?
Chlapi se nějak nemohli shodnout, jestli jsou u správného milníku. Když jeden z nich nahlas přečetl číslo, Erik s potěšením zjistil, že jsou na špatném místě. Doufal, že tam zůstanou stát dost dlouho na to, aby ho kolegové dokázali vypátrat. Věděl zároveň, že tato naděje je mizivá. Chlapi se mezitím přestali dohadovat. Rozhodli se, že pro jistotu půjdou dál pěšky. Erik netušil proč, ale nestěžoval si. Doufal, že se mu naskytne příležitost k útěku.
Vytáhli ho ze dveří a hodili na zem. Cítil, jak jeho tělo protestuje proti tomu, aby si stoupnul. Postavili ho na nohy a úderem mezi lopatky mu naznačili, ať kráčí. Opravdu se snažil, aby klopýtnul na každém kameni a aby strčil do každého, kdo byl náhodou poblíž. Netrvalo to dlouho a procházeli přes nějaké pole. Když mu přikázali, aby překročil nízký plůtek, úmyslně se do něj zachytil a natáhl se – jak široký, tak dlouhý – na jednoho z únosců. Ten hrubě zaklel a strhnul mu z hlavy pytel. Erik se konečně mohl rozhlédnout, po jakém poli to zrovna jdou.
Úloha č. 7
Pole bylo ohrazené dřevěným plotem, který držely železné sloupky. Vzdálenosti mezi sloupky byly stejné. Byl tam takový počet sloupků, že by ohradily jedno velké čtvercové pole, nebo dvě menší sousedící čtvercová pole (plot je ohraničuje společně, na jejich hranici není), nebo tři stejná, opět sousedící čtvercová pole. Kolik sloupků tam nejméně mohlo být?
Erik neváhal a vzal nohy na ramena. Slyšel, jak za ním utíkají, ale po chvíli jim přesto utekl. Byl šťasten, že je nenapadlo svázat mu ruce. Když se zastavil v lesíku, z kapsy vyndal svoji signalizační kuličku a začal s ní třepat ostošest. Tak se nabíjela na další signál. Schoval se do křoví a opět stisknul kuličku, která vyslala svůj neslyšitelný signál. V té vzdálenosti od města potrvá dlouho, než mu přijde někdo na pomoc, tudíž usoudil, že udělá lépe, když zůstane v úkrytu. Jak čekal, zaslechl únosce, kteří se jej marně snažili najít. Běhali kolem a hledali ho, ale v noci v lese to byl téměř nadlidský úkol. Už si myslel, že vyvázne bez úhony, když mu někdo najednou poklepal na rameno. Polekaně se otočil a spatřil před sebou mladého gentlemana v kabátě a klobouku, jak mu podává ruku.
„Dobrý večer, pane Coltaine. Očekával jsem, že přijdete,“ řekl Erik s rozzářeným úsměvem.
