Zadání 3. série 31. ročníku

Termín odeslání: 4. ledna 2016

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.

Ještě než trajekt zakotvil v přístavu, Erik z něj vyskočil a sprintoval k molům. Prodíral se mezi množstvím námořníků, kteří nosili všelijaké krabice, ale cítil, že už jde pozdě. U mola šest byla ukotvená jen jedna rybářská loď . Našel dva policisty ve službě. „Byly tady ty rubíny?“ vyštěkl na ně. „Proč jste je nezadrželi?“

„Neměli jsme povolení. Kapitán moc pospíchal…“ vymlouval se jeden.

„A my stejně nevěděli, jestli to jsou opravdu ty kradené…,“ podpořil ho ten druhý.

Erik viděl, že ti dva mu moc nepomohou, a vydal se hledat pracovníky, kteří tu loď nakládali.

Úloha č. 1

Nikdo přesně nevěděl, kdo měl tehdy směnu. Erik získal následující informace:

Žádným dvěma dělníkům nezačíná směna najednou.
Ben nesmí být ve službě, když je s ním Andrew, pokud s nimi neslouží i Charlie.
Danovi začala služba před Fineganem.
George šel do služby až po Andrewovi.
George může být ve službě spolu s Andrewem, jen když je s nimi i Finegan.
Charlie nepřišel do služby jako první ani jako poslední.
Dan přišel po Benovi.
Dan přijde, až když budou v práci alespoň tři další.

Nikdo jiný na molu ten den nepracoval. V jakém pořadí mohly začínat jejich směny? Jak se to změní, pokud bychom ještě věděli, že Andrew a Charlie nepřišli do práce těsně po sobě?

Erikovi chvíli trvalo, než zjistil, kdo vlastně s rubíny pracoval. Ale ani tenhle pracovník nevěděl moc. Dokázal ovšem popsat člověka, jenž mu pytel s kameny odevzdal. Zdálo se mu divné, že kameny byly v pytli a ne v zamčené truhličce, proto poté, co je naložil, upozornil hlídku. Ta ale nechtěla zasáhnout a loď odplula. Na dotaz, proč sám nic nepodniknul, odseknul: „To není moje práce“ a šel si po svém.

Detektiv dále vyzvěděl od správy přístavu jméno lodi a kapitána. Byla to rychlá kurýrní plachetnice, která za pár šilinků převeze jakoukoli zásilku. Jelikož neměl již žádnou další stopu, kterou by teď sledoval, rozhodl se vyhlásit pátrání po chlapovi, jehož popis dostal, podat oznámení o převozu kradeného zboží a sepsat protokol. Vůbec se na tu byrokracii netěšil.

Úloha č. 2

Erik musí navštívit policejní komisariát na Králově náměstí, pobřežní stráž na Westfálské ulici a svoji policejní stanici na Lundské ulici. Přitom se chce zastavit i ve své oblíbené restauraci na Rybném trhu. Bude muset cestovat koněspřežnou drahou nebo vlakem.

Z Rybného trhu se může dostat koňkou č. 14 na Královo náměstí, anebo modrým vlakem na Westfálskou.

Z Westfálské se může dostat s přestupem koňkami č. 5 a 8 na Královo náměstí nebo jet na Lundskou buď pětkou, nebo zeleným vlakem.

Z Lundské může jet na Královo náměstí buď koňkou č. 1, nebo s přestupem zeleným a šedým vlakem.

Začít může kdekoli, všechny popsané spoje jezdí obousměrně. Může Erik cestovat tak, aby použil každou z uvedených linek hromadné dopravy právě jednou?

Dokud Erik běhal po úřadech, kráčela Dena po nové dlažbě v knihovně sem a tam. Studenti hermetiky velice rádi vymýšleli komplikované způsoby, jak po dlaždicích chodit. Aby to pořád nebylo stejné, tak je často (bez dovolení) měnili.

Úloha č. 3

Studenti si tajně vytvořili stroj, který vyrábí dlaždice ve tvaru stejných konvexních čtyřúhelníků. Je možné těmito dlaždicemi pokrýt podlahu (vyjma okrajů místnosti) tak, aby v dlažbě nebyly díry, bez ohledu na to, jak tyto čtyřúhelníky vypadají?

Samozřejmě viděla množství studentů, kteří právě komplikovanými způsoby skákali po těchto dlaždicích. Chvíli na ně pobaveně koukala a pak pokračovala v hledání. Prohledala hodně polic s knihami, které by jí s rubíny ani se zmrazovacím pohárem, co měla v tašce, nepomohly.

Dostala se do oddělení, jež obsahovalo knihy, které pojednávaly o praktické konstrukci. Jestli má najít knihu, která by jí pomohla, bylo by to tady. Taková kniha by musela být nová, jelikož všechny starší knihy již znala zpaměti. Ohlédla se po žebříku, neboť police s novými knihami byly úplně nahoře a ona na ně nedosáhla.

Úloha č. 4

Žebřík se opírá o regál. Jeho délka je přirozené číslo, stejně tak výška, ve které se opírá o regál, a vzdálenost regálu od místa, kde se žebřík opírá o podlahu. Může existovat takový žebřík, který by šlo opřít dvěma různými způsoby, aby všechny vzdálenosti byly různá přirozená čísla? Pouhé prohození těchto délek nestačí.

Po chvíli úmorného hledání a přesouvání žebříku sem a tam Dena našla knihu se slibným názvem „Konstrukční materiály a metody Okkarovského konstruktů“ od Williama T. Treacha. S touhle knihou v ruce chtěla slézt ze žebříku, ale smekly se jí nohy a ona s velkým rachotem upadla na záda.

Když popadla dech, spatřila nad sebou ruku nabízející pomoc. Ohlédla se a zjistila, že ruka patří mladému blonďatému studentovi, jednomu z těch, co skákali po dlaždicích.

„Stalo se ti něco?“ vyhrknul na ni.

„Ne..., myslím...“ řekla nejistě. Chytila se nabízené ruky a stoupla si. Vtom na něm spatřila něco, co upoutalo její pozornost. „Proč máš každou ponožku jinou?“ zeptala se mladíka.

Ten se podrbal na hlavě. „Je to trochu trapný,“ řekl s výmluvným úsměvem a dal se do vysvětlování.

Úloha č. 5

Vyšlo najevo, že Peter (tak se jmenoval) nerad pere. Má 5 párů černých, 2 páry tmavošedých, 3 páry světlošedých a 5 kusů bílých (byly 3 páry, ale jednu ztratil -- podezírá spolubydlícího) ponožek. Aby si zachoval systém, chce mít na levé noze vždy tmavší ponožku než na pravé noze (nikoli stejně tmavou). Kolika způsoby si může obléct ponožky? V každém páru jsou ponožky stejné, ale páry jsou navzájem rozdílné.

Při vysvětlování se Peter podíval, jakou knihu to vlastně Dena má v ruce. Vůbec nechápal, co to je Okkarovského konstrukt a vytušil, že Dena v tom bude mnohem šikovnější než on.

„Poslyš, vypadáš hodně chytře, mohl bych tě o něco požádat?“ zeptal se. „Potřebuji pomoct s domácími úkoly,“ dodal tak rychle, že Dena nestihla odmítnout.

„Od kterého učitele?“ zeptala se ho.

„Comptona.“

Compton byl její nejméně oblíbený profesor, proto se rozhodla, že mu prozradí, jak na něj.

Úloha č. 6

Profesor Compton používal pořád tutéž sbírku úloh, v níž bylo 1 155 příkladů. Každému žákovi zadal nějakého dělitele 1 155, a on musel potom vyřešit všechny úlohy označené násobkem zadaného čísla. Každý student opíše všechny úkoly, které již byly někým vyřešené. Kolika studentům může profesor postupně zadat čísla tak, aby každý z nich musel sám vyřešit alespoň jednu úlohu?

Jakmile se Peter dozvěděl, že všechny úlohy jsou již někde vyřešené, poskočil radostí. „Tak, teď ti to musím nějak oplatit,“ mrknul na ni. „Ale nevím, jak… Pozvu tě na kafe?“ zkusil štěstí s úsměvem, který zřejmě pokládal za okouzlující.

„Ani to nezkoušej,“ varovala ho ledovým hlasem. To jí teď chybělo. Odešla od překvapeného studenta a našla si místo u stolu. Aktivovala lampu a při jejím tlumeném světle se dala do čtení.

Hned na prvních stránkách jí padl zrak na něco, co plně pohltilo její pozornost. Bylo to řešení problému, se kterým hodně dlouho zápasila. Šlo o levné uskladnění orichalciového jádra. Pokaždé, když se o to pokoušela, používala čtvercové kovové ochranné panely, které se vždycky přehřívaly, bez ohledu na to, jak je postavila. V knize byl popsán způsob, jak použít panely ve tvaru koule.

Úloha č. 7

Orichalciové jádro je zdroj energie, který vyzařuje všemi směry nebezpečné paprsky. Je proto potřeba kolem něj postavit ochranný štít z koulí tak, aby se nedotýkaly jádra, ale zároveň aby žádné paprsky nepronikly ven. Je možné postavit takový štít z osmi koulí?

V okamžiku zapomněla na to, proč sem vlastně přišla a nadšeně zavolala na Petera, který se vrátil ke skákání po dlaždicích: „Ještě pořád mi chceš pomoct?“

Zvednul hlavu a s veselým úsměvem přikývl.

„Ale jestli tě chytnou, budeš mít velký problém,“ varovala ho.

Jeho úsměv se ještě více rozzářil.