Zadání 2. série 31. ročníku

Termín odeslání: 30. listopadu 2015

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.

---

Dena s Erikem stáli ve zlatnictví a nevěřícně koukali na to, co Denini malí hledači našli. Vypadalo to jako lidský prst. Poté, co se vzpamatovali z šoku, zjistili, že prst je ve skutečnosti vosková napodobenina. Erik se shýbnul a chtěl voskový předmět zvednout, ale Dena ho zadržela. „Můžou na něm být ochranné bariéry,“ vysvětlila. Z kufříku vyndala své složité přístroje na měření astrálních energií a dala se do práce.

Úloha č. 1

Dena přístroje rozmístila do vrcholů takového pravoúhlého trojúhelníku, ve kterém délky těžnic na odvěsny byly 3 a 5 palců. Sestrojte uvedený trojúhelník.

Dokud Dena klečela na zemi a nastavovala zrcadla přístrojů, přišel k Erikovi muž, jenž se představil jako majitel. Měl dlouhý prošedivělý plnovous a ztrápený výraz v obličeji. Erik vyndal svůj notes detektiva a zahájil výslech. Majitel mu řekl, že zlatnictví je největší pobočkou firmy, která působí v celé Evropě, a že to je první případ krádeže ve firmě. Postěžoval si, že škodu vyčíslili na 350 000 liber.

Mezitím Dena zjistila, že prst není nijak živý a že jej může bez obav zvednout. Když jej prozkoumala, všimla si, že je propracovaný do nejmenších detailů, dokonce, kdyby Erik chtěl, mohl by z něj sejmout otisky. Svůj objev ukázala Erikovi, který se právě skláněl nad knihou plnou čísel a nejrůznějších značek. Vedle něj stál majitel a něco mu v ní ukazoval.

Úloha č. 2

Dena nevěděla, co značky znamenají. Jeden zápis pochopila jako číslo 2^{2015} \cdot 3^{1000}. Jaké jsou poslední dvě cifry uvedeného čísla?

Erikův žalostný výraz svědčil o tom, že se v knize taky nevyznal. Podíval se na prst, co mu Dena podala. „Nevíš, k čemu by to mohlo sloužit?“ zeptal se jí.

„Je to hermetický vosk, stejný, co se používá k tvorbě konstruktů. Nikdy jej ale neopracovávají tak detailně,“ řekla. Ukazujíc na kost, co z něj vyčnívala, dodala: „Vnitřní struktura se dělá vždycky ze dřeva nebo kovu, nikdy ne ze slonoviny.“

„Myslíš, že to tady nechali schválně?“ zeptal se Erik.

„Ne, nebylo to nijak použito. Nejde mi ovšem do hlavy, proč by to potřebovali při vloupání.“

Místo toho, aby si s tím teď Dena lámala hlavu, dokončila svá měření. Nepovedlo se jí najít žádnou stopu, která by svědčila o násilném porušení bariér nebo strážních konstruktů. Jediný obranný mechanizmus, který té noci reagoval na cizí přítomnost, byl zmrazující pohár, který nechali na policejní stanici. Dena se rozhodla podrobit jej testům u sebe doma a vydala se pro něj. Zjistila, že kočí, který je vezl z policejní stanice, už odjel.

Úloha č. 3

Dena může jít na stanici pěšky rychlostí 5 mil za hodinu, anebo poslat s pomocí konstruktu zprávu, aby jí poslali drožku. Když pošle zprávu, musí jít pomaleji, aby ji pak konstrukt našel, a proto bude její rychlost 4 míle za hodinu. Než zpráva dorazí na stanici, uběhne půl hodina (nezáleží na tom, jak daleko ta stanice je). Hned poté pošlou pro Denu drožku, která pojede rychlostí 12,5 míle za hodinu. Jak daleko musí být stanice, aby se Deně vyplatilo poslat zprávu?

Erik mezitím dokončil rozhovor s majitelem zlatnictví a přemýšlel, jak postupovat dál. Neměl se čeho chytit. Lupiči po sobě nenechali téměř žádné stopy, kromě prstu a pergamenu bylo všechno na svém místě. Patrně měli všechno velmi dobře naplánované. Věděl jenom to, že byli dobrými čaroději (Dena by ho zajisté za to označení napomenula.) Vyšel ven, aby si utřídil myšlenky, a najednou k němu přiběhl policista v uniformě.

„Šéfe, někdo viděl ty šutry v docích na šestce“ zvolal, když popadl dech. „Ty rubíny, co tady v noci štípli. Molo šest,“ vysvětlil, když si všiml Erikova zmateného výrazu. Ten okamžitě pochopil a rozeběhl se směrem ke kanálu, jenž vedl do přístavu. Naskočil na plující trajekt a doufal, že tam dopluje dost rychle.

Úloha č. 4

Nad 5 mil širokým kanálem je most, po němž jede vlak rychlostí 100 mil za hodinu. Ve vzdálenosti 0,1 míle od mostu pluje po kanálu kolmo k mostu loď rychlostí 10 mil za hodinu. Vlak projede po mostě přesně ve chvíli, kdy bude loď pod ním. Mohla by tato situace nastat, i pokud by loď plula pod jiným úhlem? (Předpokládejte, že vlak i loď mají velikost bodu.)

Zatímco Erik plul do přístavu, Dena přijela na stanici. I ona cestou přemýšlela o lupičích. Byli to rozhodně špičkoví hermetikové (Erik by řekl čarodějové) a věděli, pro co přijeli. Nedokázala pochopit, proč vybrali právě rubíny. V obchodě byla spousta dražších kamenů a kovů, takže zajisté nešli po penězích. Ten voskový prst jí ale říkal, že to nebudou obyčejní zloději a že ty rubíny určitě potřebují kvůli nějakému nelegálnímu konstrukčnímu projektu. Šla přímo do Erikovy pracovny a nikdo ji cestou nerušil, i přes to, že neměla oficiální doprovod. Osazenstvo totiž pořád hrálo podivné hry, tentokráte lámali čokoládu.

Úloha č. 5

Tabulka čokolády má tvar čtverce 10 \times 10. Dva policisté se střídají v tazích. V jednom tahu hráč určí čtvereček a ulomí všechny čtverečky napravo a dolů od něj. Prohrává ten, kdo odebere poslední čtvereček. Má některý z hráčů výherní strategii? Jakou? (Výherní strategie je postup hráče, který mu vždy zajistí výhru.)

Dena sebrala pohár, který ještě pořád levitoval nad stolem, zabalila jej do hadru a vyrazila směrem k hermetické univerzitě. Neměla ráda tu školu, podle ní se tam až příliš soustředili na formální vzdělání a testy místo toho, aby dělali skutečnou práci. Navíc neměla v lásce většinu svých spolužáků, kteří jí připadali jako nafoukaní hlupáci, co mají více peněz nežli rozumu.

Škola měla ovšem velikou knihovnu, kde si Dena chtěla vyhledat informace o rubínech v hermetice. Nemyslela si, že by jí to pomohlo chytit lupiče, ale to ji teď nezajímalo. Chtěla především zjistit, jak dovedli tak lehounce vniknout do jedné z nejlépe zabezpečených budov na světě, nebo alespoň proč potřebovali právě ty drahé kameny. Při vstupu na akademickou půdu si vzpomněla na jeden z hloupých rituálů, které dělala jako prvačka.

Úloha č. 6

Před hlavní budovou bylo malé náměstíčko vydlážděné ve tvaru mřížky 20 \times 20. Student, jenž šel na první přednášku, musel projít po té mřížce tak, že začal v pravém dolním rohu a musel se dostat do levého horního. Mohl se při tom pohybovat jenom doleva nebo nahoru a směl dělat kroky o délce 2 nebo 3 dlaždice. Na začátku si mohl zvolit jednu z těchto délek kroku, ale pak už je vždy musel střídat. Kolika způsoby se dalo tímto způsobem projít náměstím?

Kdysi, když tu studovala, přicházela celá škola, aby se podívala na prváky, jak skáčou přes náměstí. Občas se to totiž někomu nepovedlo a celý dav se mu pak smál. Někdy po něm házeli tužky nebo jiné školní potřeby, jako se to přihodilo i jí. Povzdechla si a šla dál. Procházejíc náměstím schválně stoupala na každou čáru mezi dlaždicemi. Vkročila do největší budovy. Uvnitř byla neuvěřitelně krásná. Vstupní místnost se schodištěm byla tak vysoká, že člověk pořádně nedohlédl na strop. Uprostřed stála veliká fontána obklopená pohyblivými sochami, které gesty vítaly každého návštěvníka. Na zdech visely obrazy všech velikých hermetiků a královské rodiny. Dena výzdobu viděla už nejméně stokrát, a tak se vydala rovnou do knihovny.

Úloha č. 7

Na fontáně byla plastika loga univerzity. Bylo složené ze dvou krychlí. Jedna z nich měla v sobě takový otvor, že skrz něj bylo možno prostrčit druhou krychli. Mohly být obě krychle stejně velké?