Zadání 1. série 31. ročníku

Termín odeslání: 12. října 2015

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.

---

Denu vzbudilo klepání na okno. Už potřetí tenhle týden usnula nad prací. Vstala z křesla a masírujíc si ztuhlý krk otevřela okno. Dovnitř vešlo černé opeřené stvoření, které jistým podivným způsobem připomínalo ptáka. Mělo dvě tlusté nohy, kterým chyběly prsty a klouby, křídla havrana a nehybnou úzkou hlavu, jež trčela mezi rameny, jakoby tam nepatřila. „Co zas teď chtějí?“ bručela si Dena pro sebe vytahujíc svitek papíru z tobolky na zádech černého stvoření.

Úloha č. 1

Na papíře byla posloupnost symbolů, v níž se poměrně často opakoval symbol \ast. Kromě něj se v posloupnosti vyskytovaly jen symboly #, % a O. Dena ví, že každá posloupnost symbolů mezi dvěma symboly \ast, která má délku dva až pět symbolů, představuje jeden znak zprávy. Kolik různých znaků může být tímto způsobem zakódováno, když předpokládáme, že každý znak se kóduje právě jedním způsobem?

Po chvilce dovedla zprávu rozšifrovat. Stálo v ní: „Potřebujeme tvou pomoc. Přijeď okamžitě. Erik.“

Dena unaveně vzdychla a vyhodila černého posla oknem ven. Ten mávnul křídly a odletěl pryč. Takoví poslové byli poslední dobou velice oblíbení, zejména u policie, kde pracoval i Erik. Byli to jednodušší astrální konstrukti, obyčejnými lidmi často nesprávně zvaní „démoni“. Dena rychle sbalila své nádobíčko do kufříku a vydala se na policejní stanici.

Úloha č. 2

Dena si ovšem nevšimla, že svůj kufřík zapomněla doma. Jela drožkou po rovné silnici rychlostí 30 mil za hodinu. Po 15 minutách se v jejím domě aktivovala „Pomněnka“ – okřídlený konstrukt, který za ní s kufříkem přiletěl. Když kufřík odevzdala, vrátila se zpět domů. Jakou rychlostí „Pomněnka“ letěla, když se vrátila domů 35 minut po odchodu Deny?

„Pomněnka“ byla jedním z mnoha konstruktů, které Dena vytvořila pro vlastní potřebu. Kvůli své roztržitosti by bez ní nemohla existovat. Byla jednou z nejlepších konstruktérek na celém světě, ale pokud se jednalo o život mimo knih a čísel, byla absolutně nespolehlivá.

Zanedlouho dorazila na policejní stanici. „Čarodějnice přišla!.“ ohlásil její příchod vrátný, za což ho Dena odměnila vražedným pohledem. Neměla ráda tohle pojmenování.

Erik ji očekával v místnosti pro návštěvy. Byl to vysoký, černovlasý, asi třicetiletý muž s dlouhou jizvou pod pravým okem. Neztráceli čas pozdravem a přešli k věci.

Úloha č. 3

Erik jí ukázal kus pergamenu. Z nápisu zjistila, že by na něm měl být pravidelný sedmiúhelník. Pergamen byl ovšem poškozený: zbyly na něm pouze tři vrcholy. Z těchto zbylých vrcholů žádné dva v původním sedmiúhelníku nesousedily. Dena potřebuje zjistit přesnou polohu všech vrcholů. Ve svém kufříku má kružítko a pravítko bez měřítka. Jak to má udělat?

Poté, co úspěšně doplnila chybějící vrcholy, přečetla si zbylé nápisy na pergamenu. Ty popisovaly jistý rituál. Na sedm vrcholů bylo potřeba položit sedm hermetických svíček, ty v přesných intervalech zapálit a přitom odříkávat zaklínadla. Dena nikdy nic podobného neslyšela. Seriózní hermetika totiž nikdy žádná zaklínadla nepoužívala.

„Kde jste to našli?“ zeptala se Erika, který mlčky stál a pozoroval ji.

„To je tajné. Proč to potřebuješ vědět?“ odpovídal otázkou.

Dena teatrálně vzdychla. Nikdy jí nechtěl říct ani o kousek víc, než bylo nutné. „Netuším, co to je,“ ukázala na pergamen, „mohlo by mi to pomoct.“

Erik chvíli váhal, ale nakonec jí dal za pravdu. Pokynul jí, aby ho následovala, a vedl ji do své kanceláře. Dena si cestou všimla strážníků, kteří o přestávce zabíjeli čas divnou hrou.

Úloha č. 4

Hra začínala tím, že každý ze strážníků napsal na papír nějaké číslo. Potom náhodně vybrali den v kalendáři a vynásobili vzájemně čísla sedmi následujících po sobě jdoucích dnů (ale ne číslo měsíce ani roku). Strážníci, kteří napsali na papír dělitele tohoto součinu, vyhráli. Jaké je největší číslo, které vždycky vyhraje?

„Zdá se, že opravdu nemáte co dělat,“ neodpustila si Dena ironický komentář.

„To není tak úplně pravda. Máme příkaz nevycházet.“ Dena se podivila, ale neměla dost odvahy zeptat se.

Když dorazili do Erikovy pracovny, zavřel za sebou dveře a pokynul jí, aby se posadila. „Dnes ráno došlo k vloupání u jednoho klenotníka. Kvalitní práce, neponechali nic náhodě. Uspali stráže, deaktivovali strážní démony…“

„Konstrukty,“ opravila ho Dena.

Erik se na ni zamračil a pokračoval: „… deaktivovali démony a sebrali všechny rubíny. Zvláštní je, že se nedotkli ničeho jiného. Safírů, zlata ani perel. Klenotnictví mělo i zmrazující pohár. A to je ta nejzáhadnější část,“ řekl a strhnul hadr, jenž zakrýval nádobu vznášející se nad stolem.

Úloha č. 5

Pohár měl tvar válce o průměru podstavy \def\cm{\,{\rm cm} }10 \cm a výšce 30 \cm. Původně byl plný zmrazující kapaliny. Byl ovšem nakloněn, a tak část kapaliny odtekla. Nyní byla nejmenší vzdálenost mezi hladinou a dnem jen 22 \cm. Kdyby se povedlo pohár narovnat a položit na stůl, do jaké výšky by kapalina dosahovala?

Zmrazovací pohár byl nejnovějším výdobytkem konstrukční technologie. Jeho úkolem bylo, aby se v případě hrozby krádeže převrátil a vylil na zem zmrazující kapalinu, která by zlodějovy nohy přimrazila k podlaze. Tento pohár to ovšem z nějaké příčiny neudělal a jenom se vznášel nad zemí. Dena jej uchopila a dokázala si jej přisunout k sobě, ale převrátit jej se jí nepovedlo.

„Samozřejmě, to jsme již zkoušeli,“ řekl Erik nezúčastněně. „Pokud potřebuješ, vezmu tě na místo činu.“

Dena přikývla a bez dalšího slova směřovala ven. Během cesty ke vchodu si všimla, že strážníci již skončili s hrou a teď hloubali nad nějakou křížovkou.

Úloha č. 6

Máme trojúhelníkovou síť jako na obr. z16 a v ní vepsané některé číslice. Doplňte do ostatních políček číslice od 1 do 6 tak, aby v žádném z řádků (ani těch šikmých) ani v žádném pravidelném šestiúhelníku nebyla některá z číslic dvakrát.

Jen co se usadili v drožce, začala Dena vysvětlovat inspektorovi svou teorii: „Myslím, že zloději vytvořili neviditelného konstrukta…“

„Démona,“ skočil jí do řeči.

Zamračila se na něj a pokračovala: „… konstrukta, který poháru nedovolí, aby se naklonil. Možná k tomu použili ten pergamen, co jsi mi ukazoval. Předpokládám, že jste jej našli přímo pod pohárem, že?“

Přikývl.

„Musím se tedy porozhlédnout po obchodě, oskenovat astrální signaturu, zjistit, kde penetrovali wardové bariéry…,“ pokračovala sama pro sebe. Erik nerozuměl ani slovu, tak zavřel oči a zdříml si.

Když přišli ke klenotnictví, hned si všimli velikého okna výlohy.

Úloha č. 7

Okno vypadalo jako na obr. z17. Vybarvená část byla vyplněná zlatem. Jaký obsah měla tato část, je-li strana každého ze čtyř čtverců dlouhá 1 stopu?

Hned po vstupu do obchodu Dena rozbalila svůj kufřík, vyndala kožený váček a vysypala z něj asi pět malinkých třínohých konstruktů na hledání ztracených věcí. Ti se rozeběhli po podlaze na všechny strany. Dena je nechala pracovat a už chtěla vyndat další nástroj, když najednou jeden z hledačů vydal pronikavý zvuk. Šla se podívat, co našel. Když to uviděla, zavolala na Erika. Ten vypustil pár slov, za která by se styděl i námořník, a dodal: „Co to, k čertu, je?“

Autorem příběhu je Martin Smolík.