Vzorová řešení a komentáře k 4. sérii

Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.

Zadání naleznete zde.

Úloha č. 1

V ulici dlouhé 100 stop položili dělníci do země 27 stejných kabelů. Zapomněli si je ale označit, a tak teď nevědí, které konce patří k sobě. Nejmladší z nich dostal za úkol to pomocí zkoušečky a propojovacích svorek zjistit. Na jedné straně může pospojovat různé kabely do skupin, potom přejít na druhou stranu a tam zkoušečkou zjistit, které konce kabelů jsou vodivě spojené. Jakou nejmenší vzdálenost mladík ujde, než zjistí a označí, který konec patří ke kterému, a jak to udělá?

Řešení:

První způsob: Dělník spojí kabely do skupin po 2, 3, 4, 5, 6 a 7 a skupiny si označí po řadě podle toho, kolik je v ní kabelů. Pak přejde na druhou stranu ulice a zkoušečkou vyzkouší vodivost. Podle toho, které kabely vzájemně vodí, určí jednoznačně všechny skupiny a označí je. Poté utvoří nové skupiny a to například podle následujícího klíče: A\lbrace2,3,4,5,6,7\rbrace, B\lbrace2,4,5,6,7\rbrace, C\lbrace3,4,5,6,7\rbrace, D\lbrace4,5,6,7\rbrace, E\lbrace5,6,7\rbrace, F\lbrace6,7\rbrace, G\lbrace3,7\rbrace. Každý konec kabelu je tedy v nějaké skupině označené písmenem. Zároveň lze na druhé straně skupiny jednoznačně rozeznat. Tentokrát ne jenom podle počtu konců ve skupině, ale také podle prvků, které se v ní nacházejí.

Druhý způsob: Dělník spojí 26 kabelů do třinácti dvojic a jeden nechá nezapojený. Poté přejde na druhou stranu. Jeden nezapojený kabel označí a_{0}. Zkoušečkou rozezná jednotlivé dvojice. Označí dvojice libovolně a, b, \dots, n a v nich ještě označí jednotlivé kabely a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}, \dots, n_{1}, n_{2}. Nyní zapojí do dvojic nezapojený kabel s kabelem a_{1}, a_{2} s b_{1}, b_{2} s c_{1} až m_{2} s n_{1} a kabel n_{2} nechá nezapojený. Všechny kabely tak zapojil do jednoho dlouhého řetězu. Přejde silnici. Nyní nezapojený kabel (a_{0}) bude vodivě spojený s a_{1}, ten je svorkou z prvního kroku spojený s a_{2} a ten je vodivě spojený s b_{1} atd. Tak dokáže projít celou posloupnost až ke kabelu n_{2}.

Dělník tedy nachodí pouze 200 stop, než rozezná všechny kabely.

Na konec by měla patřit ještě úvaha, proč je 200 nejlepší možné řešení. Jediná informace, kterou můžeme předat na jedno přejití na druhou stranu, je to, že nějaké kabely jsou spojeny do skupiny, ale v rámci skupiny je nemůžeme rozpoznat.

Komentář: Většina řešitelů správně určila, jak kabely rozpoznat, a velká část z vás přišla i na nejlepší možné řešení. Těm ostatním jsem pak dával body podle toho, jak moc byli se svou odpovědí daleko od 200. Pokud někdo zadání pochopil tak, že kabely mohl spojovat svorkami jen na jedné straně, nebral jsem to jako chybu.

Úloha č. 2

Drožka jezdila po kruhu o poloměru 18 stop. Erik každou sekundu upustil korálek. Čtvrtý korálek byl vzdálen od prvního 1 stopu (měřeno po oblouku kruhu), a když ho Erik upustil, drožka do té doby obkroužila jeden celý kruh a zmíněnou část. Jak dlouho musela drožka jezdit, aby na kruhu nebyl žádný úsek dlouhý jednu stopu bez korálku?

Řešení: Uvědomme si nejprve, že pokud budeme korálky číslovat postupně tak, jak padají na zem, vzdálenost mezi každými dvěma korálky s po sobě jdoucími čísly je konstantní. Ze zadání je tedy vzdálenost mezi korálky 1 a 2 stejná jako vzdálenost mezi korálky 2 a 3 a ty jsou obě o jednu stopu delší než vzdálenost mezi korálky 3 a 1. (Vždy berme v potaz kratší oblouk.)

Obvod kruhu je \def\ft{\,{\rm ft}}o=2\cdot \pi \cdot r =36\cdot \pi\ft, kde ft značí stopu.

Snadno vyvodíme, že vzdálenost mezi korálky 1 a 2 je s_{1,2} = (36\cdot \pi +1)/3\ft\doteq 38{,}03\ft.

Je vidět, že aby byly na s_{1,2} všechny úseky delší jedné stopy zaplněny, musí kočár objet kruh alespoň 38krát, což bude trvat \def\s{\,{\rm s}}38\cdot 3=114\s. Protože jsou úseky s_{1,2} a s_{2,3} stejně dlouhé, nestačí nám zaplnit jen úsek s_{1,2}, protože v úseku s_{2,3} by jeden korálek ještě chyběl.

Dohromady je hledaný čas t_{c} =114+ 1=115\s.

Drožkař musel jezdit alespoň 115 vteřin.

Komentář: Sešlo se velmi mnoho řešení s výsledky blížícími se tomu správnému. Nejčastěji se chyby objevovaly v opomenutí druhého sektoru s_{2,3}, nebo v přičítání a odčítání určitého počtu sekund od času po 38 obězích. Úloha byla poměrně náročná na přesnost výpočtů. Zaokrouhlení na celá čísla v průběhu řešení vedlo ke špatnému výsledku. Pozn.: \pi nelze zaokrouhlit na méně než dvě desetinná místa.

Překvapující bylo množství řešení s výsledkem menším než 114 korálků. Pokud dělíme kružnici o délce zhruba 113{,}1\ft méně než 114 korálky, musí nutně vzniknout alespoň jeden úsek delší jedné stopy.

Body jsme rozdělovali následovně: jeden bod za obvod kruhu a rozdělení na tři sektory, dva body za určení velikostí jednotlivých sektorů, tři body za fakt, že drožka musí ujet alespoň 38 kol, čtyři body za zohlednění druhého sektoru přičtením jedné vteřiny a pět bodů za správný výsledek. Při minimální chybě, zpravidla z nepozornosti, dostal řešitel čtyři body.

Úloha č. 3

Studenti přišli společně k automatu a zaplatili. Prvnímu z automatu vypadla jen jedna kobliha, druhému vypadly dvě, třetímu tři, a tak dále. První studenti byli trochu smutní, že se jim dostalo jen po jedné či dvou koblihách, a tak se s ostatními dohodli, že když všichni platili stejně, tak si úlovek taky rozdělí rovnoměrně. Po přerozdělení zůstalo každému studentovi 5 koblih. Kolik tam bylo studentů?

Řešení: Každý student dostane přirozený počet koblih podle toho, kolikátý v pořadí šel, k výpočtu tedy můžeme použít vzoreček pro součet prvních n přirozených čísel. Víme, že každý student nakonec dostane 5 koblih; celkový počet koblih je tedy 5\cdotpočet studentů. Z toho si sestavíme rovnici:

Víme, že n \neq 0, můžeme proto celou rovnici vydělit n. Po dalších úpravách získáme: n=9.

Studentů u automatu stálo 9.

Komentář: Úlohu jste vyřešili všichni správně, ale postupy se lišily. Nejdůležitější bylo uvědomit si, že se zde jedná o posloupnost a dá se využít vzoreček pro součet. Za takový postup jsem dávala plný počet bodů, za použití mediánu při výpočtu body 4 a za hledání výsledku pomocí tabulek nebo dalších obdob metody pokus – omyl jsem dávala 3 body.

Úloha č. 4

Svíčka je desetistěn. Horní a dolní podstavu tvoří dva rovnoběžné čtverce. Jsou vzájemně otočené o 45° a jejich středy leží nad sebou. Zbylé stěny tvoří rovnostranné trojúhelníky spojující vždy stranu jednoho čtverce a nejbližší vrchol druhého. Určete objem svíčky, má-li všechny hrany o délce a.

Řešení: Počítat objem popsaného desetistěnu přímo by bylo velmi obtížné, jak ostatně mnozí z vás zjistili. V takové chvíli by měl každého ostříleného Pikomaťáka napadnout jednoduchý a univerzálně aplikovatelný trik. Totiž, když nemůžeme objem tělesa spočítat přímo, co ho zkusit doplnit na těleso, u kterého to dokážeme? Když potom zvládneme spočítat objem většího tělesa a objem přidaných částí, stačí obě hodnoty navzájem odečíst a máme vyhráno. Tenhle velmi jednoduchý trik si stojí za to zapamatovat, budete překvapeni, v kolika úlohách vám může výrazně usnadnit práci.

Pokud ještě váháte, jak že to ten desetistěn doplnit, vězte, že existuje víc možností. Dvě z nich můžete vidět na obrázcích vz441 a vz442. Buď doplníme desetistěn osmi stejnými trojbokými jehlany na pravidelný osmiboký hranol jako na obrázku vz441, nebo desetistěn doplníme na pravidelný čtyřboký jehlan pomocí menšího čtyřbokého jehlanu na horní podstavě a čtyř trojbokých jehlanů po stranách jako na obrázku vz442. My příklad dopočítáme podle obrázku vz441.

Tím jsme vyřídili kreativní část příkladu. Dál už nastupuje tvrdá, ale přímočará matematika. Nejdříve spočítáme objem pravidelného osmibokého hranolu. Ten určíme jako součin obsahu podstavy (pravidelného osmiúhelníku) S_{H} a výšky tělesa v.

Obsah pravidelného osmiúhelníku můžeme zase spočítat více způsoby. My ho spočteme jako součet obsahu čtverce (podstava původního desetistěnu) a čtyř rovnoramenných trojúhelníků, jak je naznačeno na obrázku vz443. Nehledejte v tom žádnou vědu, jen se snažíme využít co nejlépe údaje, které už známe.

Obsah čtverce bude a^{2}, u trojúhelníků ale zatím víme jen délku základny a zbývá nám dopočíst výšku. Protože ji budeme potřebovat i dále, označme si ji jako x. Délku x získáme jako rozdíl poloviny úhlopříčky čtverce o straně a a poloviny strany čtverce o straně a. Délku úhlopříčky čtverce získáme z Pythagorovy věty jako \sqrt{2}a. Výška našich trojúhelníků tedy bude odpovídat

Odtud se obsah jednoho trojúhelníku v podstavě rovná

Obsah našeho osmiúhelníku tedy vychází

Hurá, můžeme se vrhnout na výšku desetistěnu v. Asi nejjednodušeji se nám ji podaří získat z libovolného z přidávaných trojbokých jehlanů. Jeden je pro lepší představu načrtnut na obrázku vz444.

Podstavu jehlanu na obrázku ne náhodou tvoří trojúhelník, který už dobře známe z předminulého odstavce. Je to ten se základnou délky a a výškou x. Výšku jehlanu v určíme z pravoúhlého trojúhelníku ABC, ale abychom to mohli udělat, zbývá nám vyjádřit délku přepony |BC| = v_{a}. Ta ale shodou okolností tvoří výšku v rovnostranném trojúhelníku o straně a. Není nic jednoduššího než ji vyjádřit z Pythagorovy věty:

Vlastně nám pro další výpočty stačí druhá mocnina v_{a}, protože výšku desetistěnu v zase spočteme z Pythagorovy věty v pravoúhlém trojúhelníku ABC. Tedy:

Poslední operaci si můžeme dovolit bez ztráty řešení, protože výška desetistěnu určitě bude kladná.

Už jsme téměř na konci! V tuhle chvíli snadno určíme objem velkého osmibokého hranolu V_{H}, protože obsah jeho podstavy S_{H} i jeho výšku v už známe. Nuže:

Poslední věcí, která nám ještě zbývá, je odečíst od V_{H} objem osmi přidaných jehlanů (všechny odpovídají tomu na čtvrtém obrázku). Objem jehlanu spočteme podle vzorce V_{J} = 1/3 \cdot S_{podstavy} \cdot v. To už ale nebude nic těžkého, protože jak obsah podstavy, tak výšku už máme spočítány. Objem každého z osmi přidaných jehlanů tedy odpovídá:

Výsledný objem V zkoumaného desetistěnu je:

Jen pro zajímavost, když vyčíslíme koeficient před a^{3}, zjistíme, že je o necelých pět setin menší než jedna. Objem takového desetistěnu je proto o trochu menší než objem krychle o hraně a.

Komentář: Čtvrtá úloha rozhodně patřila k těm těžším, které v Pikomatu zadáváme, proto nevěšte hlavu, pokud vaše bodové ohodnocení neodpovídá vašim představám. Správné určení objemu desetistěnu vyžadovalo jak prvotní nápad, tak i schopnost dobře upravovat výrazy a neztratit se v delším postupu. Proto na plných pět bodů dosáhlo jen 13 z vás.

S ohledem na to jsem se každému z vás snažil připsat komentář k tomu, co bylo v řešení špatně a proč. Uděláte mi radost, když si ho přečtete a rady si vezmete k srdci. Většina chyb vyplývala z neúplného pochopení, jak zadaný desetistěn vlastně vypadá. Chci vám proto obecně poradit, abyste se nebáli si (byť prostorová) tělesa kreslit z více různých pohledů. Že se prvních několik náčtrků nepovede, vůbec nevadí, ale vy tím zkoušením získáte lepší představu, jak zkoumané těleso vypadá. Náčrtky desetistěnu z úlohy najdete ve vzorovém řešení nebo si případně vyhledejte obrázek čtyřbokého antihranolu.

Vážím si všech, co našli odvahu úlohu řešit, proto jsem rozdával body, kde to jen trochu šlo. To ovšem znevýhodnilo nedostatečně komentovaná řešení, kterých nám stále chodí docela dost. Zkuste prosím psát svá řešení tak, abyste se v nich sami vyznali i za měsíc, rok. Organizátoři před vámi sice mají v matematice nesporný náskok, ale zdaleka ne všichni jsme geniální, abychom se vyznali ve stránce zběsilých vzorců bez doplňujícího komentáře.

Úloha č. 5

Obyčejná svíčka, kterou si může Dena koupit v obchodě, obsahuje 21\,\% flogistonu. Má 25 gramů a stojí 16 pencí. Dena potřebuje svíčky s obsahem flogistonu 81\,\%. Vyrábí je komplikovaným procesem z obyčejných svíček ve vlastnoručně vyrobeném vaporizéru vosku beze ztráty flogistonu. Kolik stojí kvalitnější svíčky s 81\,\% flogistonu a s hmotností \def\g{\,{\rm g}}50 \g, když se Deně tento postup vyplatí?

Řešení: Otázku ze zadání lze chápat jako otázku na to, kolik je třeba malých svíček k výrobě jedné velké. Velká svíčka obsahuje 81\,\% flogistonu z 50 gramů své hmotnosti, neboli 50 \cdot 0{,}81 = 40{,}5 gramů flogistonu. Podobně malá svíčka obsahuje 25 \cdot 0{,}21 = 5{,}25 gramů flogistonu. Vydělením těchto hodnot snadno získáme počet malých svíček, které jsou potřeba k výrobě jedné velké svíčky. Jde o 40{,}5/5{,}25 = 54/7 \doteq 7{,}71 svíček. Finální krok řešení se může lišit v závislosti na tom, zda Dena vyrábí jednu nebo více velkých svíček. Pokud by vyráběla jednu, potřebuje zakoupit osm svíček a část flogistonu jí zůstane. V tom případě by zaplatila 8 \cdot 16 = 128 pencí. Pokud by ale vyráběla svíček hodně (neomezeně), mohla by využívat zbytky flogistonu a k výrobě velké svíčky by pak potřebovala pouze 7{,}71 malých svíček, jejíchž cena by byla 7{,}71 \cdot 16 = 123{,}43 pencí. Dena vydělá, pokud bude velkou svíčku prodávat za cenu vyšší, než jsou její náklady na pořízení malých svíček.

Komentář: Úloha patřila k nejjednodušším v tomto ročníku a výsledky tomu také odpovídaly. I za drobné chyby jsem pak strhával body, neboť by k nim na třech řádcích výpočtu nemělo docházet. Uznával jsem však oba výsledky v závislosti na vaší volbě, zda Dena vyrábí jednu nebo více svíček. Oceňuji ty z vás, kteří do řešení napsali obě varianty.

Úloha č. 6

Kočí říkal, že to číslo má lichý ciferný součet a je dělitelné 101. Jaké je nejmenší takové číslo?

Řešení: Hledané číslo má být dělitelné 101, bude to tedy nějaký k-násobek čísla 101. Budeme hledat nejmenší číslo k, aby číslo k\cdot 101 mělo lichý ciferný součet.

Nejprve se zamysleme nad tím, proč číslo k nemůže být jednociferné ani dvouciferné. Kdyby bylo číslo k jednociferné, vynásobením číslem 101 bychom dostali číslo k0k. Ciferný součet čísla je k+0+k=2k, tedy jde o sudé číslo, ať už je číslo k sudé nebo liché. Podobně dojdeme k závěru, že číslo nemůže být ani dvouciferné (k=xy). Vynásobme čísla: 101 \cdot xy = x0x0 + y0y = xyxy, ciferný součet je x+y+x+y=2\cdot(x+y), tedy je to sudé číslo.

První slibná možnost je trojciferné číslo, označme jednotlivé cifry čísla k jako x, y a z (k=xyz). Vynásobme čísla: 101\cdot xyz = xy(x+z)yz.

Pokud součet x+z bude větší než 9, dojde k přenosu jedničky do vyššího řádu. Ciferný součet čísla pak bude vypadat takto: x+(y+1)+(x+z-10)+y+z=2x+2y+2z-9, což je liché číslo. Už máme skoro vyhráno, stačí jen najít cifry takového čísla. Nejmenší možné trojciferné číslo takové, aby součet první a poslední cifry byl větší než 9, je číslo 109.

Můžeme si správnost našeho postupu jednoduše ověřit: 101\cdot 109 = 11\,009, ciferný součet je 11, což je liché číslo. Hledané číslo je 11\,009.

Komentář: Úloha byla celkem jednoduchá, plno z vás ji mělo správně. U některých řešení mi trochu chybělo zdůvodnění, proč je to zrovna číslo 11\,009. Hodně z vás se k číslu dostalo tak, že jste násobili postupně všechna trojciferná čísla číslem 101 a zkoušeli jste sečíst cifry. Problém u takového postupu je třeba ten, že pokud by číslo neexistovalo, nikdy byste nemohli říci, jestli existuje nebo ne, protože byste to nikdy nemohli ověřit. Je lepší se zamýšlet nad nějakým argumentem, co musí číslo splňovat, aby byl ciferný součet lichý. Dalším problémem bylo, že jste počítali ciferný součet z ciferného součtu atd., dokud jste nedostali jednociferné číslo. Taková řešení jsem hodnotila jedním bodem. Jeden bod jsem dávala i těm, kdo nenapsali komentář k postupu řešení.

Úloha č. 7

Pole bylo ohrazené dřevěným plotem, který držely železné sloupky. Vzdálenosti mezi sloupky byly stejné. Byl tam takový počet sloupků, že by ohradily jedno velké čtvercové pole, nebo dvě menší sousedící čtvercová pole (plot je ohraničuje společně, na jejich hranici není), nebo tři stejná, opět sousedící čtvercová pole. Kolik sloupků tam nejméně mohlo být?

Řešení: Téměř všichni řešitelé předpokládali, že všechny čtverce jsou stejně velké a sousedí spolu celými stranami. I kdyby to nepředpokládali a mohli si jejich velikost i sousedící části volit, v této variantě je třeba nejméně sloupků, proto by došli ke stejnému výsledku.

První postřeh -- aby bylo celé pole ohrazené, musí být v každé variantě (jednoho, dvou i tří čtverců) v každém vrcholu sloupek. Další myšlenka, která mohla pomoci, je nepočítat kůly, ale mezery mezi nimi, protože těch je stejně jako sloupků a snáze se kreslí. Z obvodu čtverce vím, že každá strana musí těchto stejně dlouhých mezer obsahovat stejně, takže jejich počet musí být dělitelný čtyřmi. Obvod dvou čtverců se skládá z šesti opakování nejkratší strany (která také obsahuje celočíselný počet mezer), takže každý tento úsek musí mít celočíselný počet mezer (sloupků), proto počet mezer musí být dělitelný šesti. Obvod tří čtverců se skládá z osmi opakování nejkratší strany, takže celkový počet mezer musí být dělitelný osmi. Nejmenší společný dělitel čísel 4, 6 a 8 je 24, proto sloupků v ohradě zahrady musí být alespoň 24.

Způsob oplocení je vidět na obrázku vz471.

Pomocí 24 sloupků jsme dokázali podle zadání oplotit všechna pole, takže tato varianta platí.

Komentář: Úloha patřila k jednoduším a většina řešitelů ji vyřešila správně.

Opravovali: 1. Filip Lux, 2. Vít Kalisz, Václav Steinhauser, 3. Barbora Šmídová, 4. Jiří Erhart, 5. Vojtěch Kika, 6. Tereza Ptáčková, 7. František Steinhauser.