Zadání 6. série 30. ročníku
Termín odeslání: 11. května 2015
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Konečně se zdálo, že jsou zase daleko od nebezpečí. Jenže teď už si nemohou být ničím jisti, někdo se tady v podzemí také pohybuje. Sice o nich snad neví, ale budou muset být obezřetní, aby se nesetkali čirou náhodou. Začali se kolem sebe rozhlížet, zdali nenajdou něco, co by jim mohlo napovědět, kam se mají bludištěm podzemních chodeb vydat. Pak se konečně Jan podíval pod nohy a všiml si na jedné dlaždici jakési rytiny. Klekl si k ní a posvítil si na ni loučí. V jejím světle mu došlo, že se nejspíš dívá na plánek tohoto podzemí, ve kterém ještě bylo vyznačeno několik bodů.
Úloha č. 1
V jedné části plánku byly chodby uspořádány do čtvercové sítě. Vstup do ní byl v levém dolním rohu plánku a výstup z ní v rohu pravém horním, mezi nimi bylo celkem 6 chodeb vodorovných a 8 svislých. Pak Jana zaujalo, že jedna z křižovatek je označena a u ní připsán nápis „Kniha“. Na kterých křižovatkách může být Kniha umístěna, aby existovalo právě 35 různých nejkratších možností, jak projít touto částí labyrintu od vstupu k výstupu a cestou sebrat Knihu?
„Ta kniha bude asi velmi důležitá, musíme se k ní dostat,“ zvolal nadšeně Jan a už se začal rozhlížet, kterou chodbou se vydat.
„Nedávej si takové naděje,“ přerušil ho farář, „abys pak nebyl zklamaný, když tam nic nenajdeš. Přece jen je ten plánek starý, kdo ví, kdo a proč ho tady nakreslil. Přesto je snad dobrý nápad se jím řídit. Možná bys ho mohl i obkreslit.“
Hned jak Jan obkreslil plánek podzemních chodeb, vydali se na cestu směrem k místu, kde by měla být ona záhadná kniha. Když prošli jednou z křižovatek, zarazil se farář, vrátil se o pár kroků zpět, otočil se a hleděl do odbočky, kterou právě minuli. Jana překvapilo, že jej farář přestal následovat a došel až k němu.
Farář se na Jana otočil a ukázal před sebe: „Vidíš to před sebou? Světlo tvé louče není to jediné, co tuto chodbu osvětluje. Možná tam bude další cesta ven z tohoto podzemí.“ Po těch slovech vykročil chodbou směrem za světlem. Na jejím konci vzhlédl do míst, odkud paprsky dopadaly. Strop chodby tu byl o trochu výš a těsně pod ním bylo prosklené okénko, které nejspíš někdo před nedávnem musel opravovat, neboť na podlaze tu ležely různé skleněné destičky.
Úloha č. 2
Okno propouštělo 21 \% slunečního záření. Přitom se ale po zemi povalovala spousta sklíček, která propouštěla 90 \%, 80 \%, 70 \%, 60 \%, 50 \%, 40 \%, 30 \%, 20 \% a 10 \% záření. Která sklíčka je možné složit za sebe, aby vzniklé sklo propouštělo právě 21 \% záření? A lze složením některých z těchto sklíček (od každého máte k dispozici libovolné množství) vytvořit sklo propouštějící 22 \% záření?
„Asi jsme se teď chodbami dostali do míst, kde terén klesá. Je možné, že jsme teď někde na kraji náměstí, kde je i škola, protože ta byla nejníže, co si pamatuju,“ zhodnotil Jan situaci, „ale především, alespoň podle mého plánku, bychom co nevidět měli být u knihy.“ Bylo na něm vidět, že už celý hoří zvědavostí, a jen co farář odtrhl pohled od okna a otočil se na něj, vyrazil svižným krokem jednou z temných chodeb.
Konečně došli na místo označené v plánku a oba zůstali užasle stát.
Úloha č. 3
Křižovatka před nimi byla rozšířená a na podlaze byl nakreslen velký rovnostranný trojúhelník ABC, uvnitř něhož stál podstavec s knihou. Od podstavce ještě byly vyznačeny kolmice k jednotlivým stranám a jejich paty pojmenovány postupně K, L a M. Ukažte, že pro libovolné umístění podstavce uvnitř trojúhelníku platí |AK| + |BL| + |CM| = |BK| + |CL| + |AM|.
Jan chtěl vykročit ke knize, ale farář jej chytil za rameno a řekl: „Obávám se, aby tu nebyla nějaká nástraha. Četl jsem o různých takových zařízeních, která byla třeba v egyptských hrobkách nebo řeckých chrámech.“ Při těch slovech ukazoval na trojúhelník na podlaze. Jan se na faráře jen ohlédl a pomalu vkročil do trojúhelníku. Nezdálo se, že by se cokoli stalo, a tak přistoupil až ke knize. Byla velká a tlustá. Otevřel její kožené desky a nemohl si při tom nevšimnout, že na nich nebylo ani smítko prachu.
Úloha č. 4
Hned na první straně knihy stál zajímavý nápis: „Nechť je odteď do této Knihy každý den připsán nenulový počet stran záznamu. Zároveň musí být dbáno toho, aby součet čísel všech dosud popsaných stran byl po každém dni dělitelný devíti.“ Za kolik dní nejvýše měla kniha od začátku psaní popsaných alespoň prvních 200 stran?
Jan listoval knihou a nestačil se podivovat. „Pojďte blíž. To musíte vidět,“ volal nadšeně na faráře, který zatím ještě stál v chodbě a opatrně sledoval, jestli se nic nestane. Když konečně nabyl dojmu, že jim opravdu nic nehrozí, přistoupil ke knize, aby do ní také nahlédl.
„Vypadá to, že v té knize někdo shromažďuje různé poznatky a moudra. A podle písem to není jen jeden člověk. Zajímalo by mě ale, proč jsou takové cennosti drženy takto skryté v podzemí. Podívej třeba sem,“ řekl farář a otevřel knihu na náhodné straně. Ve vrchní části stránky byla napsána tato úvaha:
Úloha č. 5
Nedávno se nám povedlo zjistit, že lidské oko považuje dva úhly, které se liší o méně než 10°, za shodné. Když například na obdélníkovém listu papíru vidí úhel 85°, považuje ho za úhel pravý, protože o rozích papíru ví, že jsou pravoúhlé. Kolik lze nakreslit různých ostroúhlých trojúhelníků s celočíselnými velikostmi úhlů ve stupních, které se lidskému oku nebudou zdát ani rovnoramenné ani rovnostranné a ani pravoúhlé? Jeden trojúhelník považujeme za různý od druhého, pokud obsahuje alespoň jeden vnitřní úhel, který druhý trojúhelník neobsahuje.
„Čekal jsem, že vás tu najdu,“ ozvalo se najednou za jejich zády. Oba se s úlekem otočili a hleděli do tmavé chodby. Hlas, který k nim promlouval, jim přišel povědomý. A skutečně. Když postava vystoupila ze stínu, rozpoznali učitele. Pokynul do jedné z chodeb a chladným hlasem pronesl: „Myslím, že teď už pro vás není cesty zpět. Budete muset jít se mnou.“
„Ale proč?“ ulekl se farář, „a proč jsi nám vlastně neřekl, co se tu pod kostelem skrývá?“
„Už toho víte až příliš mnoho, když jste došli až sem ke knize. Všechno, co je v ní, mělo a má zůstat naprosto utajené. Proto je vám snad také jasné, že jsem vám nic o podzemí říci nemohl.“
„Ale co s námi teď uděláte?“ zeptal se vystrašeně Jan.
„Myslím, že toto rozhodnutí by měl učinit někdo jiný,“ řekl učitel chladně a otevřel dveře, ke kterým právě došli.
Za dveřmi se nacházela nevelká místnost. Celá byla šerá, tak jako zbytek podzemí, ale k protější stěně dopadalo jasné sluneční světlo, které sem přicházelo dvěma malými okénky těsně pod stropem. V tmavé části místnosti se nacházely jen dvě židle a v koutě stojící starý velký globus.
Úloha č. 6
Na kulovitém globusu byla vyznačena tři různá města. Popište, kde cestovatel najde všechna místa, která leží na povrchu globusu a mají od všech těchto tří měst stejnou vzdálenost.
Janovy oči musely chvíli přivykat prudkému světlu, než v něm začaly cokoli rozeznávat. Zprvu to byly jen siluety psacího stolu a za ním sedící postavy. Kdo to asi je? Nejspíš někdo hodně důležitý. Ale hlavně asi někdo, kdo teď rozhodne o jejich dalším osudu. Čím déle se tím směrem díval, tím více detailů v tváři onoho muže rozeznával, ale tím méně také přestával věřit tomu, co vidí. Nebyl si vůbec jistý, přece jen toho člověka tak dlouho neviděl, ale nakonec ze sebe polohlasně vypravil: „Tatínku, jste to vy?“ A při tom se vlastně obou odpovědí bál.
„Ano, Jane,“ řekl po delší odmlce muž a vstal.
„Vás tu snad také drží zajatého?“ zeptal se udiveně Jan.
„Ne.“
„Tak proč tu ale jste? Proč v tom případě dávno nejste u nás, u své rodiny? Mám si snad myslet, že jste nás s maminkou jen tak opustili?“ chrlil ze sebe Jan rozhořčené otázky.
„Zadrž, všechno ti to vysvětlím. Ale bude mi to asi chvíli trvat,“ ujal se slova Janův otec a začal vyprávět o tom, jak se dávno se ženou zapojili do sbírání převratných poznatků, které však zatím nemohou spatřit světlo světa. Pak začal líčit ony dny, kdy byli málem odhaleni a došli k tomu, že je potřeba se ukrýt mnohem lépe, než jen v zapadlé horské vesničce.
„Takže vy jste nás opustili jen kvůli nějakému bádání?“ obořil se teď Jan na otce.
„Já vím, nebylo to od nás hezké a dodnes si to s maminkou vyčítáme, ale bylo to asi to nejlepší, co jsme tehdy mohli udělat. Hrozilo, že budeme prozrazeni, a to by pak mohlo mít tvrdý dopad nejen na nás, ale i na tebe s Markétkou, a to jsme nechtěli dopustit.“
„Ale před kým jste se vůbec museli ukrýt?“ vložil se nyní do diskuze farář. „Vždyť, jestli to dobře chápu, sbíráte vědomosti a uchováváte je zapsané v oné knize. A pokud se nemýlím, jsou všechny vaše poznatky veskrze dobré. Tak proč je tak úzkostlivě držíte v tajnosti tady v podzemí?“
„Víte, vám se možná naše poznatky zdají objevné a užitečné, ale v naší zemi žije spousta lidí, kteří by kvůli nim o hodně přišli. A tito bohužel mají velký vliv. Proto sice poznání hromadíme, ale zatím se musíme skrývat a čekat, až nastane vhodná doba.“
„Co máte na mysli těmi vlivnými lidmi?“ zeptal se nedůtklivě farář.
Úloha č. 7
„Tak například nedávno jsme přišli na to, jak se to skutečně má s pampeliškovým uhlím a pampeliškovým petrolejem. Teď sice \def\kg{\,{\rm kg}}1\kg pampeliškového uhlí stojí 60 Kč a \def\l{\,{\rm l}}1\l pampeliškového petroleje stojí 50 Kč, jenže při výrobě 1\kg pampeliškového uhlí se spálí 1/2\kg normálního uhlí za cenu 30 Kč/kg. A s pampeliškovým petrolejem je to ještě horší, neboť na výrobu 1\l je potřeba spálit nejen 1/3\kg normálního uhlí, ale ještě 1/3\l normálního petroleje, který stojí 24 Kč/l. A teď si schválně spočítejte, jak by se zvýšily ceny pampeliškového uhlí a petroleje, kdyby se při jejich výrobě místo veškerého normálního uhlí a petroleje měly používat jedině jejich pampeliškové ekvivalenty (ve stejných množstvích jako normální suroviny).“
„To by některé obchodníky úplně zruinovalo, pročež je jasné, že se tomu budou bránit třeba i za pomoci tajných policistů,“ předložil své vysvětlení Janův otec a dodal: „ano, tajná policie zde skutečně dobře funguje, ačkoli se o ní mezi lidmi příliš neví. Což je koneckonců jen dobrým důkazem toho, jak dokonale utajená je.“
Jan po celou dobu rozhovoru faráře s jeho otcem jen stál a bylo na něm jasně vidět, jak se v něm perou otázky. Jsou opravdu zájmy jeho rodičů tak důležité? Stojí za tak velké riziko? Je správné, aby rodiče opustili své děti, ač se domnívají, že je tím nejlépe ochrání?
Janův otec si všiml rozpaků svého syna a snažil se ho trochu uklidnit a zmírnit jeho vnitřní rozpory: „Neboj se, Jane, my vás nikdy nenechali úplně o samotě. I naše organizace má dlouhé prsty, a tak jsme dobře sledovali to, jak se vám daří. A občas se nám i povedlo zařídit, aby vám třeba někdo jako náhodou přišel pomoci. Snad to trochu zmírní tu zlost, kterou na tobě pozoruji a která rozhodně není neoprávněná.“
„Snad se s tím časem vyrovnám,“ řekl nejistě Jan, „ale pověz mi, co mám dělat teď. Mám se vrátit domů a tvářit se jako bych o vás vůbec nevěděl? A co zamýšlíte vy? Chcete tu snad zůstat skryti na věky věků?“
„Skryti určitě nezůstaneme,“ odpověděl mu rozhodně otec, „tuším, že už to nebude dlouho trvat a přijde ta chvíle, kdy naše poznání konečně spatří světlo světa!.“
