Zadání 5. série 30. ročníku

Termín odeslání: 23. března 2015

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.

Jan stál v postranní lodi kostela jako opařený a hleděl na malá dvířka splývající s dřevěným obložením stěny. Prve, když je uviděl, chtělo se mu vykřiknout. Pak si ale uvědomil, že kostel je plný lidí, ale co víc, nebyl si úplně jistý, zda se s tím může svěřit i panu učiteli. Vůbec ho neznal a nedůvěřoval mu. Už tak se mu nelíbilo, že mu pan farář řekl o zmizení jeho rodičů. Proto se nakonec otočil a vrátil se zpět do hlavní lodi, kde stáli farář s učitelem a zrovna obdivovali krásně zdobený strop. Jan také vzhlédl a všiml si na stropě tří pod sebou napsaných skupin písmen.

Úloha č. 1

Jan neznal římské číslice, a tak si myslel, že se jedná o nějaký součet dvou čísel, která jsou místo číslic zapsána písmeny tak, že každé písmeno představuje nějakou (ne nutně různou) číslici:

Určete u každého písmene, jaká číslice mu odpovídá.

Kostelní zvon odbil tři čtvrtě na jedenáct a pan učitel se lekl. „Člověk se tu zakouká do té krásy a úplně zapomene na to, jak rychle čas ubíhá. Už musím jít, abych stihl včas vyučování. Není dobrým vzorem pro žáky, když jejich učitel přijde pozdě. Chcete-li, můžete jít se mnou, alespoň vám ukážu školu.“ Po těch slovech zamířil k východu.

Jan vyšel za učitelem ven z kostela. Venku ještě jednou otočil a podíval se nad vchod do kostela. Znovu si prohlížel kytici nade dveřmi.

Úloha č. 2

Ještě si všiml, že pod ní, už ve dřevě dveří, jsou vytesána čísla:

Spočítal si, že jejich součin je 2015, ale daleko více ho zaujalo, že všechna tři čísla jsou prvočísla a celý zápis je palindrom, tedy že se čte odzadu stejně jako odpředu. Kolik existuje takových čísel, že jejich rozklad na prvočísla lze zapsat třemi nanejvýš dvojcifernými prvočísly tak, aby byl tento zápis podobně palindromický? (Číslo 1 není prvočíslo.)

Od kostela zamířili napříč náměstím k velké měšťanské škole, jež stála přesně na opačném konci. Pan učitel šel pomalým krokem a neustále rozkládal rukama, otáčel se a ukazoval na různé historické a architektonické skvosty. U kašny vprostřed náměstí se zastavili. „Pěkná, že?“ řekl pan učitel, „a to není všechno,“ dodal a ukázal na čtyři džbány přivázané řetízkem ke sloupku.

Úloha č. 3

„Starosta se před nedávnem rozhodl pořídit místním nějaké to zpestření, když sem chodí v neděli po obědě na promenády. Proto ke kašně pořídil tento roztomilý hlavolam. Zde jsou čtyři džbány na 9, 18, 30 a 50 litrů vody (tedy od každé velikosti jeden) s přesnou ryskou, ale bez další stupnice. A když se někomu podaří pomocí těchto džbánů odměřit přesně 1 l vody a nalít ho do tohoto otvoru a 8 l vody nalít do vedlejšího otvoru, vypadne mu pamětní mince, kterou si může nechat.“ Je vůbec možné získat pamětní minci? A jak?

„Zajímavá hříčka,“ řekl s pousmáním farář, !!! být námaha, určitě plný vody váží přes 30 kilogramů.}}

Jan i pan učitel se se zděšenými pohledy otočili na faráře, ale vzápětí se pohledem shodli, že nebudou tak důstojného pána srážet tím, že by ho opravovali v záležitostech fyziky. V té chvíli už došli přímo před budovu školy. Jan byl, jako už několikrát v tomto městě, překvapen její velikostí. Vzpomínal na tu, kam jako malý chodíval, kde byly jen tři malé místnosti, v nichž se učili.

Uvnitř pan učitel oba své vzácné hosty prováděl a ukazoval jim jednotlivé třídy a kabinety. Jelikož bylo krátce po začátku nového školního roku, pomáhaly děti z jedné třídy na chodbě jinému učiteli s výzdobou.

Úloha č. 4

Měly připraveno 9 dřevěných krychliček s hranou délky 2 cm a chtěly je všechny obarvit ze všech stran modří. Na obarvování si uchystaly velkou kruhovou desku o ploše 10\pi cm^{2}, kterou vždy namočily do modři a jako razítko ji jedním přiložením obtiskly třeba i na několik vedle sebe ležících kostek, pak ji znovu namočily a znovu obtiskly na jiné strany. Když náhodou nějaké místo na kostce potiskly víckrát, nevadilo jim to. Kolikrát nejméně musí desku namočit do modři a obtisknout, aby obarvily všechny stěny všech kostek?

O patro výše se nacházela široká chodba a přímo proti schodišti velké dveře. „Zde je ředitelna,“ řekl pan učitel a ukázal na dveře, „a jak vidíte, rozhodli jsme se, že letos vstup do ní zkrášlíme a dětem připomeneme, kdo to byl Učitel národů. Jen mě trápí, že si tu chlapci každé ráno hrávají kopanou. Pan ředitel, když je přistihne, je tvrdě kárá, ale oni si stejně nedají říct.“

Úloha č. 5

„V pondělí a v úterý jsou po víkendu ještě vyřádění, a tak je riziko, že se socha rozbije, každý z těchto dnů jen 1 \%. Ve středu a ve čtvrtek je to s nimi už horší a riziko je 2 \%. A v pátek už jsou celí rozjívení, na kárání nedají a hrají jako o život, takže riziko, že socha spadne, je 4 \%. A další týden to začne nanovo. Jaká je pravděpodobnost, že nám tu socha Jana Amose Komenského vydrží nepoškozená 12 týdnů?“

V té chvíli akorát vyšel na chodbu školník, zvonkem oznámil konec hodiny a ze tříd se začaly hrnout děti. Pan učitel se s Janem i s farářem rozloučil a odebral se ke svému kabinetu. „Otče, měli bychom se vrátit do toho kostela,“ řekl Jan, „musím vám tam něco ukázat.“

„Já vím, učitel mi ukazoval, že tě tam asi na stěně něco upoutalo. A co tam je tak zajímavého?“ Jan se chvíli odmlčel, rozhlédl kolem sebe, a pak faráři řekl o malých dvířkách v kostele. Rychle proto vyšli ze školy a zamířili zpět napříč náměstím. Zanedlouho už oba stáli v postranní lodi kostela a zaujatě dveře zkoumali. Naštěstí teď přes poledne se tu už nepohybovalo tolik lidí, a tak to mohli dělat vcelku nerušeně. Ani tak se jim ale dlouho nedařilo najít způsob, jak dveře otevřít.

„Podívejte, tady v rohu,“ zvolal náhle Jan a sám se ulekl, jak se jeho hlas nese celým kostelem. Proto dál už pokračoval šeptem: „Tady v rohu, vypadá to jako klíčová dírka. Jenom nemáme klíč.“

„Počkej, nesmutni,“ konejšil Jana farář a při tom vytáhl sponu ze svého opasku, „uvidíme, co se s tím dá udělat.“ S těmi slovy vsunul sponu do klíčové dírky. Kroutil s ní, poslouchal, pak ji zas pootočil a nakláněl ji ze strany na stranu. Jak pracoval se sponou, měnil se různě i výraz v jeho tváři. Pak sponou lehce zahrkal, zavřel oči a zabral do strany. Najednou se ozvalo duté klapnutí, které se k nim ještě dvakrát či třikrát vrátilo ozvěnou kostela. Farář se vítězoslavně usmál na Jana a ten jen překvapeně zíral, jakož ostatně zíral celou dobu, co farář zámek odemykal.

„Kde jste se tohle naučil?“ zeptal se překvapeně Jan.

„Inu, před několika lety se nám na faře ztratil klíč od jedné komory. A protože jsem se do ní potřeboval rychle dostat, ukázal mi jeden chlapec, který chodívá ministrovat, jak se to dělá. A pak jsem zjistil, že je to vlastně docela šikovná dovednost, když si třeba zapomenu klíče. Ale teď prosím běž a sežeň nějaké světlo, myslím, že se nám bude hodit.“

Prolezli dveřmi a opatrně je za sebou přivřeli, aby je náhodou neprozradily. Tím se octli ve tmě narušené jen slabým světlem svíčky, kterou Jan před chvílí přinesl. Když jejich oči přivykly jejímu světlu, poznali, že stojí nad kamenným točitým schodištěm klesajícím kamsi do podzemí. Jak po schodišti scházeli, v obou narůstalo očekávání, kam nakonec dojdou.

Úloha č. 6

Středový sloup schodiště měl průměr \def\m{\,{\rm m}}2 \m a vnější stěna od něj byla vzdálená 1 \m. Schody byly kamenné bloky vysoké 15 cm a na jednu otáčku schodiště jich bylo přesně 13. Jakou nejdelší tyč by bylo možné po tomto schodišti nést?

Když konečně sešli až úplně dolů, ocitli se v nízké chodbě, která na obě strany ubíhala kamsi do tmy. Vydali se doprava, a jen co ušli pár kroků, narazili na odbočku, v jejímž vstupu byla mříž. Naštěstí otevřená. Jan si vzal svíčku a prošel mříží. Farář se rozhodl, že raději počká u vstupu. Odbočka však nebyla dlouhá, zakrátko končila rozšířena v malou komůrku. V jejím rohu byl slamník a jinak nikde nic. „Vypadá to jako nějaká cela,“ pomyslil si Jan. Pak si svíčkou posvítil na stěny. Na jedné z nich objevil něčím černým, zřejmě kusem uhlu napsaná čísla.

Úloha č. 7

Zřejmě si člověk zde uvězněný napsal každý den do řady na stěnu číslo značící, kolik dní už je tu držen. A navíc, když bylo napsané číslo prvočíslem, bylo přeškrtnuté. Jan si chvíli řadu prohlížel, až v ní našel 6 nepřeškrtnutých čísel za sebou, z nichž první bylo dělitelné sedmi a poslední dělitelné třinácti. Jak nejméně dlouho zde byl onen člověk držen?

Nic dalšího zajímavého už v cele Jan neobjevil, a tak se otočil a vydal zpět k mříži. Právě když se nadechoval, aby faráři popsal, co tam viděl, ozvalo se klapnutí dveří nad schody. Oba se po sobě vylekaně podívali. Někdo právě vstoupil dveřmi a bylo slyšet jeho kroky, jak schází dolů. Nemohli tady jen tak čekat, až je objeví, a tak se rychle vydali chodbou dál. Až poté, co několikrát odbočili, se zastavili. Teď budou muset zjistit, kam se vůbec dostali a zda se z podzemí mohou dostat i jinudy než kostelem. Ale hlavně, musejí přijít na kloub tomu, co se v těchto katakombách vůbec odehrává.