Zadání 4. série 30. ročníku

Termín odeslání: 16. února 2015

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.

---

Jan utíkal ven jako zběsilý, aby si mohl šátek pořádně prohlédnout na denním světle. Jaké proto bylo jeho překvapení, když šátek přede dveřmi roztáhl v rukách a neviděl na něm nic než ony dvě výšivky v rozích. Zaběhl proto rychle do komory a nechal za sebou dveře pootevřené jen na špehýrku. Náhle se před ním na šátku matně objevily různé znaky, číslice a písmena. Snažil se najít nějakou větu či aspoň smysluplné slovo, ale marně.

Úloha č. 1

Až u jednoho z okrajů si všiml něčeho, co vypadalo jako rovnice:

Jan se chvíli pokoušel dosazovat do ní celá čísla, zda dostane nějaké řešení. Jaké řešení má tato rovnice, pokud jsou x, y a z celá čísla?

Brzy vyhodnotil, že tohle sám rozluštit nezvládne, zastrčil si proto šátek za opasek a vyšel z komory ven. Markétku našel, jak se akorát chystala zatopit v kamnech, aby na nich mohla začít vařit oběd. Chytil ji za ruku a řekl jí: „Pojď, dneska bys měla pomoct tetičce Gajdošové s vařením a úklidem.“

„Ty jdeš zase někam pryč?“ zeptala se ho Markétka vyčítavě. Dobře si totiž pamatovala, jak ji hlavně jako menší často nechával na hlídání u sousedů a mizel třeba i na celý den.

Jan odpověděl jen mírným pokývnutím hlavou.

„Ty mi, Markétko, přicházíš docela vhod,“ pronesla sousedka, když k ní vešli a ukázala do kouta u kamen, kde si malá holčička ryla dřívkem v hliněné podlaze a snažila se napsat nejoblíbenější zdrobnělinu svého jména.

Úloha č. 2

Na podlaze vyryla slovo ANIČIČIČKA. Vedle něj pak začala psát všechna různá slova, která vznikla z tohoto slova přeházením písmen. Kolik jich mohla napsat?

„Budu jen ráda, když si s ní budeš hrát a dohlédneš na ni, zatímco já dovařím oběd,“ pokračovala tetička Gajdošová. „Teď možná vypadá jako učiněný andílek, ale jinak to bývá pěkné čertovo kvítko. Třeba včera při obědě tak zlobila, až vybryndala skoro všechnu polévku.“

Úloha č. 3

Anička měla misku, která byla uříznutá z koule o poloměru \def\cm{\,{\rm cm}}20 \cm ve výšce 5 \cm a byla až po okraj plná polévky. Jak si nad ní ale Anička hrála, spadla jí rovnou doprostřed kostka o rozměrech 10 \times 10 \times 10 \cm tak, že její podstava byla rovnoběžně se stolem. Kolik polévky zůstalo v misce?

Jan už byl celý jako na trní. Když se mu konečně podařilo rozloučit s tetičkou Gajdošovou, odbíjelo akorát 11 hodin. Přidal proto do kroku, aby na faru dorazil co nejdřív. Celý zadýchaný se vhrnul dovnitř jako velká voda.

„Co se děje, že jsi se sem tak kvapně vrátil?“ zeptal se ho překvapeně farář.

„Konečně jsem objevil pořádnou stopu,“ chrlil ze sebe Jan mávaje šátkem, „tohle je maminčin šátek, který jsem našel na louce v den, kdy moji rodiče zmizeli. V přímém světle na něm mnoho vidět není, snad jen ty dvě výšivky, ale když se na něj podíváte v šeru, nebudete se stačit divit.“

Farář si šátek začal prohlížet a mířil s ním do kouta pod schodištěm, kde byla dostatečná tma. Náhle se otočil k Janovi: „Tenhle ornament znám,“ řekl, ukazuje při tom rozrušeně na výšivku připomínající květinu, „je vytesán nad vchodem do svatého Jakuba. Vždy mi tam připadal tak trochu zvláštní, jako by vůbec nezapadal do rázu zbytku kostela. Myslím si, že na tom šátku není jen tak náhodou. A vidíš tu změť písmen a čísel zde? Vypadá to jako nějaká šifra, možná to je označení nějakých úryvků z knih, kdysi mi o tomto způsobu někdo vyprávěl. Řekl bych, Jane, že jsi na to kápl. Ten šátek nám pomůže odhalit, co jsou tví rodiče vůbec zač, a třeba je díky tomu ještě dokážeš najít. Budeme se ale muset vydat do Hradce, tam toho dokážeme zjistit mnohem víc. Mám tam jednoho přítele, se kterým si čas od času dopisuji, ten by nás tam snad mohl i na pár dní ubytovat.“

„A kdy vyrazíme?“ zeptal se Jan odhodlaně.

„Bude ku prospěchu věci, když se vypravíme co nejdříve. Vyjdeme-li ještě dnes po poledni a na noc se někde ubytujeme, mohli bychom už zítra navečer být na místě.“

Venku bylo krásně, slunce příjemně hřálo, ale nepálilo a v lese pofukoval čerstvý vánek. Cestou si Jan s farářem povídal. Farář byl světa znalý muž, a tak toho od něj Jan spoustu zajímavého vyslechl. Když už jim pak na chvíli příběhy došly, začali hrát jednoduchou hru.

Úloha č. 4

Na začátku si vybrali nějaké přirozené číslo a poté se střídali v tazích, v nichž vždy ten, kdo byl na tahu, dle svého uvážení odečetl číslo od jedné do tří. Přirozené číslo se tak postupně zmenšovalo, až nakonec vyhrál ten, kdo svým tahem odečetl na nulu. Teď si zrovna vybrali číslo 100 a Jan dal samozřejmě farářovi přednost, aby mohl začít. Má farář nějakou vyhrávající strategii? (Tj. může farář volit tahy tak, že neprohraje, ať už Jan volí jakékoliv možné tahy? Pokud může, jaké tahy zvolí?)

Pozdě odpoledne se obloha pomalu začala zlověstně mračit. Vzduch ztěžkl, všechno najednou utichlo. I mírný vánek ustal. Nad kopci ležely olověně šedivé mraky a obzor se pomalu ztrácel, jak se k nim blížila hráz padajícího deště. Náhle se zablesklo a chvíli nato začal v korunách stromů fičet vítr. Bylo jasné, že moc času už nezbývá, a bouřka se k nim přižene v plné parádě. Vyšli proto rychle z lesa. Naštěstí v údolí pod sebou zahlédli vesnici. Ale přesně v tom okamžiku se mračna nad nimi protrhla. Než sešli ze svahu dolů, byli už dávno promočení až na kost. Jaké pak pro ně bylo milé překvapení, že hned na kraji vesnice narazili na hostinec.

Sotva vešli dovnitř, udělala se pod nimi na podlaze louže vody. Hostinský k nim zamířil a všimnuv si muže s kolárkem se celý rozzářil. Nabídl jim, že hned zatopí v kamnech, aby se mohli usušit a ohřát. Farář ho poprosil o jídlo. Jan by se býval spokojil i s kusem chleba, který si doma sbalil na cestu, ale farář trval na tom, že má hostinský přinést jídlo pro oba. Po večeři je hostinský odvedl do patra, kde bylo na každé straně chodby několik pokojů. Na jedné straně měly na dveřích lichá čísla, na té druhé čísla sudá.

Úloha č. 5

Farář po své levé ruce viděl pokoje 2, 4, 6 a 8. Napadlo ho, že 2\,468 je docela pěkné číslo a zamyslel se. Jakým nejmenším číslem by bylo potřeba číslo 2\,468 vynásobit, aby bylo druhou i třetí mocninou přirozeného čísla a jeho ciferný součet byl dělitelný třemi?

Časně zrána se opět vydali na cestu. Kvůli bouřce před nimi byl delší úsek cesty, než původně zamýšleli, a tak měl farář obavy, aby vůbec stihli za světla dorazit do cíle. Po bouřce už naštěstí nebylo ani památky a z blankytné oblohy na ně dopadaly sluneční paprsky. Byli krásně odpočatí a cesta jim rychle ubíhala.

Odpoledne už na oba začala dopadat únava. Nohy jim těžkly a slunce teď, když přecházeli přes louky a pole, hřálo až až. Náhle se farář zastavil a zahleděl do dálky. „Vidíš támhle před námi tu věž a o kousek vedle ní ještě druhou?“ zeptal se Jana a ukázal tím směrem, „tak tam je náš cíl, už to není tak daleko.“ A opravdu, netrvalo to už ani dvě hodiny a octli se na kraji Hradce.

Jan byl ohromen a tak trochu nesvůj. Nikdy předtím v tak velkém městě nebyl. Jako malý byl asi dvakrát s rodiči na trhu v městečku za kopcem, ale to s tímto nemohl vůbec srovnávat. Většina lidí tu vypadala elegantněji, než byl zvyklý ze své vesničky, ale hlavně si nadšeně prohlížel všechny ty velké domy s krásnými fasádami. Pak u jednoho takového zastavili a farář zabouchal na dveře. Chvíli bylo ticho, ale pak se dveře otevřely a objevil se v nich starší pán s prošedivělým plnovousem. Překvapeně pohlédl na osoby stojící před jeho dveřmi. Pak ale faráře přivítal a objal jako přítele, kterého už dlouho neviděl. „Promiň mi to zaváhání, takovou návštěvu jsem vůbec nečekal,“ řekl a pozval je dovnitř, „a co vás sem vůbec přivádí?“

Muž, který je pozval dovnitř, byl učitelem přírodovědy na zdejší škole. Farář se s ním dal do přátelského rozhovoru a mezitím si Jan prohlížel jeho obydlí. Byl to vybavením skromně zařízený byt, zato knihovna byla plná různých krásných, nejen přírodovědných knih. Také různě na stěnách byly pověšeny vitríny s všelijakým hmyzem, ale i listy a plody nejrůznějších rostlin. Pak Jana na nástěnce nad pracovním stolem zaujala tabulka. Nesměle vstoupil mužům do rozhovoru: „Co je to za tabulku?“

Úloha č. 6

„Víš, Jane, kromě přírodopisu ještě na naší škole vedu chlapce ke sportu,“ odpověděl učitel a pokračoval, „v tabulce, na kterou se ptáš, jsou body z turnaje v kopané, kterého se chlapci účastní. Za vyhraný zápas dostanou tři body, za remízu jeden a za prohru žádný bod. V turnaji by se měl každý ze šesti týmů utkat s každým právě jednou, ale zatím stihl každý tým odehrát právě tři zápasy. No schválně, dokážeš podle té tabulky říct, které zápasy už proběhly a s jakým výsledkem? Ještě ti poradím, že jeden ze zápasů skončil 5:0.“

Pan učitel byl velmi pohostinný a bez okolků souhlasil s tím, aby u něj na pár dní zůstali. Uvařil jim kávu a pustil se s nimi do řeči. Odpoledne rychle uteklo, a jen se zešeřilo, Jan i farář se znaveni po dvoudenní cestě rychle odebrali ke spánku.

Ráno se vypravili ke kostelu sv. Jakuba. Učitel měl ten den vyučování až krátce před obědem, a tak se nabídl, že se k nim přidá. Před vchodem do kostela se zastavili a farář ukázal na kytici nade dveřmi. Opravdu vypadala, jako by tam nepatřila. Vešli dovnitř a hned po vstupu se pokřižovali. Pak si začali prohlížet vnitřek celého kostela. Jan byl opět unešený z toho, jak je velký a zdobený. Pak jeho pozornost upoutala malá dvířka. Nejprve si všiml, že je v jejich rohu v dřevě vyryt malý trojúhelník.

Úloha č. 7

Trojúhelník ABC měl pravý úhel u vrcholu C, délka strany AB byla rovna 6 \cm a těžnice na stranu AC byla dlouhá 5 \cm. Zkonstruujte tento trojúhelník.

Pak si ale dvířka prohlédl pořádně a úlekem se mu skoro zastavilo srdce. Vždyť ten znak nade dveřmi, tu rozloženou krychli, tu přece také viděl vyšitou na maminčině šátku. Hlavou se mu začaly rozbíhat myšlenky o tom, co je za dvířky tak důležitého, že ho sem možná jeho maminka chtěla jednou nasměrovat.