Zadání 2. série 30. ročníku
Termín odeslání: 1. prosince 2014
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
„Třeba jen odešli na chvíli někam do lesa,“ zkoušel Jan uklidňovat sám sebe, „zatím tu obrátím seno, aspoň ze mě budou mít radost, až se vrátí.“
Slunce pálilo a Janovi už tekl pot po čele proudem, když s prací končil. Ale rodiče nikde. Sebral proto maminčin šátek a vydal se zpátky k chalupě. Usadil se v kuchyni ke stolu a ukrojil si tlustý krajíc chleba. Jen se do něj zakousl, uslyšel jakési šramocení. Otočil se směrem k peci a dlouze se na ni zadíval.
Úloha č. 1
Hlavní část pece byla tvořena železnou krychlí. Když byl Jan malý, stěhoval ji jeho otec s dalšími muži ze vsi do chalupy. Krychle byla tak těžká, že ji zvládli jen převalovat přes její hrany. Potřebovali ji posunout o šestinásobek délky její hrany dopředu a trojnásobek této délky doleva a ještě k tomu tak, aby na konci stála na stejné podstavě a byla stejně otočená jako na začátku. Mohlo se jim to vůbec podařit? Předpokládejme, že měli okolo dostatek místa.
Janovi se zdálo, že zpoza pece slyší tiché vzlykání. Vstal a opatrně se k ní šel podívat. V úzké mezeře za pecí ležela peřina. Jan ji zvedl a nestačil se divit. Seděla tam Markétka a uplakanýma očkama se na něj koukala. „Šo-va-la,“ zažvatlala, když k ní natahoval ruce.
„Aha, tak ty ses schovala,“ řekl jí Jan a pevně ji objal. „A pročpak ses schovala? A kdepak je maminka a tatínek?“
Markétka natáhla ruku směrem k oknu a u toho vzlykla. Janovi se zdálo, jako by říkala „pán“, nebo „tam“, ale možná to vůbec žádné slovo být nemělo. Potom se rozplakala. Jan vytáhl maminčin šátek, aby s ním sestřičce usušil oči. Celý šátek byl kostičkovaný, ale až teď si Jan všiml, že v jednom jeho rohu je výšivka.
Úloha č. 2
Výšivka měla tvar rozložené krychle (obr. z21). Její plocha byla \def\cm{\,{\rm cm}}40 \cm^{2}. Jaký byl její obvod?
Jan se nemohl ubránit dojmu, že jeho rodiče zde někdo přepadl. Proč jinak by se Markétka schovala celá vystrašená na tak dlouhou dobu za pec? Ale proč by to někdo dělal? K čemu by mu bylo je přepadnout, vždyť v chalupě snad kromě jídla a kozy nic tak cenného nemají a vůbec to nevypadá, že by tu něco chybělo. Den se pomalu chýlil k večeru a Jan začínal cítit, že jeho rodiče mohou být pryč na dlouho, a proto se bude muset o hospodářství i o sestru postarat sám. Hlavně však bude muset zjistit, co se tu odehrálo.
Druhého dne vstal Jan za svítání, jako to měl ve zvyku každý den. Dnes ale do školy nepůjde. Čeká ho spousta povinností. Hned zrána musí nakrmit kozu a slepice, rozházet seno a připravit snídani pro sebe a sestru.
Po snídani Jan oblékl Markétce šaty, které jí maminka dávala na neděli do kostela, vzal ji za ruku a vydal se s ní z kopce dolů k ostatním chalupám. Nejblíže bydlela tetička Gajdošová. Jen co přešli louku, už ji viděli, jak klečí na zahrádce a něco si vyměřuje. „Pozdrav Pánbůh,“ zvolal na ni Jan.
„Dejž to Pánbůh,“ odpověděla tetička, „to jsem ráda, že jdeš, ty bys mi mohl poradit.“
Úloha č. 3
„Mám tu volný záhonek tvaru lichoběžníku s rameny dlouhými \def\m{\,{\rm m} }2{,}5\m a 3{,}5 \m. Úhlopříčkami jsem ho rozdělila na čtyři trojúhelníky. Do těch u horní a dolní podstavy jsem vysela mrkev a teď marně přemýšlím, do kterého ze zbylých nasázet česnek, abych ho měla co nejvíc. Který z nich je větší?“
„Nevím, jestli jsem ten pravý, kdo by vám v tomhle měl radit, ale asi bych ho nasadil sem,“ ukázal Jan na jeden z trojúhelníků.
„A co že vlastně nejsi ve škole?“ zeptala se teď tetička Gajdošová.
„A to je právě to,“ řekl a začal najednou vypadat zase ustaraně, „rodiče včera někam zmizeli. Když jsem odpoledne přišel ze školy domů, nikdo tam nebyl, jen malou jsem našel schovanou za pecí. Neviděla jste je včera? Nevšimla jste si něčeho zvláštního?“
„To je mi nadělení. Co si teď počneš?“ začala se strachovat. „Tvoji maminku jsem viděla naposledy brzo ráno, když šla s vejci do vsi. A jinak se tu nedělo nic, jako vždy. Vlastně,“ zarazila se najednou, „kolem poledne jsem od vaší chalupy zaslechla nějaký výkřik, ale pak už zase bylo ticho, tak jsem se tomu nijak nepodivovala.“
Jan jí mile poděkoval a ještě ji poprosil, zda by se alespoň na dopoledne nepostarala o Markétku. Bylo mu jasné, že by ji dlouho nebavilo obcházet vesnici a všech se vyptávat. Sám potom vyrazil směrem ke kostelu.
Po cestě narazil na dva muže, kteří kopali velký příkop.
Úloha č. 4
Jeden kraj příkopu byl ve výšce 5 \m a druhý 3 \m nad vodorovným dnem; stěny příkopu byly svislé. Přes příkop měli muži šikmo položené dva žebříky, každý opřený o jeden kraj příkopu a druhým koncem zapřený u paty protější stěny příkopu. Jan stál na hraně pětimetrové stěny. O kolik metrů musel sestoupat po žebříku dolů, aby mohl přelézt na druhý žebřík a po něm se dostat na druhou stranu?
Chvíli přemýšlel, že by se u nich taky zastavil a poptal se, ale nakonec je radši nechal pracovat a spěchal rovnou ke kostelu. Tam ho vlídně uvítal farář. Zrovna byl uprostřed práce s rozvěšováním lamp nad presbytářem.
Úloha č. 5
Farář měl připraveno šest lamp, které pověsí na dlouhé řetízky přímo od stropu. Chtěl ale, aby byly nějak netradičně rozmístěné v prostoru. Nejlepší by bylo, kdyby mu vzniklo co nejvíce rovin, ve kterých by ležely alespoň čtyři lampy, a přitom kdyby žádné čtyři lampy neležely v jedné přímce. Kolik nejvíce rovin mu může vzniknout?
„Přišel jsem vás požádat o radu, otče,“ začal Jan zdvořile, „včera zmizeli moji rodiče a já nevím, co si počít. Budu se teď muset starat o hospodářství. Hlavně však musím vědět, kam zmizeli. Musím se je pokusit najít.“
„Ano, je vidět, že tě ta myšlenka hodně tíží. Nesnadno se snáší, když ztratíme někoho, kdo je nám blízký, a zvlášť, když to přijde tak náhle. Vzpomínám si, sám jsem to kdysi také zažil. Byl jsem tehdy ještě v semináři. Všechno bylo krásné, ale náhle jednoho dne ráno mezi nás můj nejlepší přítel nedorazil. A už se nikdy neobjevil. Doteď nechápu, kam se mohl vytratit.“
Úloha č. 6
„Před jeho zmizením nás v semináři bylo právě 30 a každý z nás uměl dobře nějaký cizí jazyk. Řecky umělo 22 z nás, hebrejsky 13 a jen 6 z nás neumělo německy. Neušlo mi ani, že každý, kdo uměl hebrejsky, uměl i německy. Kolik nejméně z nás se naučilo dokonale všechny tři jazyky?“
„Ale ty ses spíš chtěl vyptat na to, co se stalo včera, já vím. Včerejšek byl poklidný den jako každý jiný. Ani od lidí jsem neslyšel o ničem zvláštním. Snad jen před polednem se tu zastavili dva cizí muži, pomodlili se a pak nasedli na koně a odjeli někam pryč. Občas se tady nějaký člověk na cestách zastaví najít trochu duchovní útěchy.“ Farář skončil svoji promluvu a stačilo snad jen dodat amen.
Jan už cestou z kostela propadal beznaději. Zastavil se ještě u několika sousedů, ale nikdo mu už nic zvláštního neřekl. U tetičky Gajdošové si proto vyzvedl Markétku a vydal se zpátky domů. Čekaly ho odpolední povinnosti a na všechno byl zase sám.
Dny začaly plynout jeden za druhým a Jan se postupně učil všemu, co doposud zastal jeho otec. S něčím mu přišli pomoct hodní sousedé, ale spoustu toho musel zvládnout jen vlastníma rukama. Kupříkladu když potřeboval dostat domů seno, ale rozbil se mu vůz.
Úloha č. 7
Na louce si nahrabal rovnou řadu kupek. První byla u stodoly, druhá 10 \m od stodoly a každá další právě 10 \m od té předchozí. Poté začal seno uklízet. U stodoly nabral první kupku a uklidil ji, potom došel k další nejbližší a opět ji odnesl do stodoly, a tímto způsobem sklidil postupně všechny kupky. Složit třetinu kupek mu trvalo přesně 18 minut, spolu s druhou třetinou je pak měl ve stodole přesně po hodině a 16 minutách od začátku. Jak dlouhá byla řada kupek?
- Zadání 7. úlohy bylo aktualizováno 24. 10. 2014.
