Zadání 1. série 30. ročníku

Termín odeslání: 12. října 2014

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.

Jan vstal jako každé ráno velmi brzy. Teď, když se slunce teprve škrábe nad kopec, se pracuje nejlépe. A krom toho musí stihnout své každodenní povinnosti, než vyrazí do školy. Vzal si tedy kosu a vyrazil na louku nad chalupou. Při sekání se mu stále honila hlavou myšlenka na pověst, kterou mu jednou vyprávěl jeho otec.

Úloha č. 1

Na louce je velký kámen a 40 kroků od něho stojí smírčí kříž. Dříve tu prý ještě stával, přesně 90 kroků od kamene, statný dub, ale po něm už není ani památky. Kdysi prý totiž čert prozradil lakomému sedlákovi, kde je na louce zakopaný pytel zlaťáků. Řekl mu, že poklad je na takovém místě, že přesně uprostřed mezi ním a dubem stojí kříž. Když pak dodal, že je zároveň 65 kroků od kamene, sedlák se mu do očí vysmál, že přeci tuhle vzdálenost znát nemusí, když ví, kde je kříž a dub. Čerta výsměch rozzuřil, začal řádit jako pominutý a celou ves zapálil. Přitom shořel i dub, a proto si všichni mysleli, že je poklad navždy ztracený. Jan se ale domnívá, že by ho mohl najít i tak. Dokážete to také? Nakreslete mu mapku, kde by měl kopat, co krok, to milimetr.

Když nasekal dost trávy pro kozu, která už nedočkavě mečela z chlívku, vrátil se domů. Ve světničce už mu maminka chystala bílou kávu s kozím mlékem a chléb k snídani. V koutě si hrála jeho malá sestřička Markétka s obdélníkovou destičkou. Vzepřela ji protěšími rohy mezi svůj prst a zem a roztáčela ji jako káču. Jan ji při tom zkoumavě pozoroval.

Úloha č. 2

Obdélník o stranách 15 \times 20 se otáčí kolem své úhlopříčky. Jaký objem má těleso, které otáčením vzniká?

Po snídani se Jan vypravil jako skoro každý den do školy. Musel vyrážet včas, cesta do sousední vesnice mu přes les trvala skoro hodinu. Vždy mu ale rychle utekla, protože les, přes který chodil, byl opravdu zajímavý.

Úloha č. 3

Uprostřed lesa je velká křižovatka, kterou prochází čtyři dlouhé přímé cesty vedoucí skrz les (tzn. z křižovatky se lze vydat do osmi různých směrů). Tam, kde každá cesta opouští les, stojí ukazatel a stejný je i na rozcestí uprostřed, celkem jich je tedy devět. Cestář má v plánu ukazatele očíslovat čísly od 1 do 9, aby na žádných dvou nebylo stejné číslo. Dále by pak chtěl, aby součet čísel na ukazatelích, které potkáte, pokud budete procházet lesem přímo, libovolným směrem, byl pořád stejný. Kolik má možností, jak ukazatele očíslovat?

Dnes dorazil do školy výjimečně brzo, takže když vešel do třídy, našel tam pana učitele, jak si něco čmárá na tabuli. Jan počty příliš v oblibě neměl, ale tohle mu nepřišlo podobné vůbec ničemu, co jim kdy pan učitel vysvětloval.

Úloha č. 4

Pan učitel měl na tabuli napsanou soustavu příkladů:

Které číslo z čísel a, b, c je nejmenší?

O přestávce si s ostatními dětmi rádi hrávali různá rozpočítadla.

Úloha č. 5

Do kroužku se postaví 15 dětí a nejstarší z nich začne říkat rozpočítadlo: „U potoka roste kvítí, jmenuje se petrklíč, na koho to slovo padne, ten musí jít z kola pryč.“ Na první slabiku ukáže na dítě po své pravici a na každou další se pak posune o jednoho dál. Ten, na koho ukáže při slově pryč, musí opustit kroužek a znovu rozpočítávat začne ten, kdo stál po pravé ruce vypadnuvšího hráče. Poslední rozpočítávání probíhá mezi dvěma hráči. Kolikrát za celou hru se stane, že rozpočítávající ukáže sám na sebe?

Na konci vyučování pan učitel dětem sděloval známky z počtů a z psaní.

Úloha č. 6

 Z psaní byl průměr známek všech žáků přesně 1{,}1\overline{3}, z počtů byl průměr přesně 1{,}5. Kolik nejméně žáků dostalo z obou předmětů jedničku? (Možné známky jsou 1, 2, 3, 4, 5.)

Hned po škole se Jan vydal rychle domů. Na nebi nebyl ani mráček, a tak se těšil, že se půjde s chlapci koupat hned, jakmile obrátí seno. Čím více se však blížil k chaloupce, tím měl divnější pocit. Dveře byly dokořán. Vešel do světnice, ale nikdo tam nebyl. Obešel celou chalupu, ale nikde nikdo. Napadlo ho, že už nejspíš vyrazili na louku obracet seno. Na louce ale také nikdo nebyl. Pak si ale všiml, že o kus dál leží hrábě a maminčin šátek. Nechápal, co se tu stalo, ale najednou dostal strach. Chtěl se dostat co nejvýš nad zem, aby se mohl pořádně po své rodině rozhlédnout.

Úloha č. 7

\def\km{\,{\rm km}}Představme si, že je Země dokonalá koule o poloměru 6 399 \km a že by se Janovi povedlo dostat do výšky 2 \km nad povrchem a odtud se rozhlížet. Jak daleko by od něj byly nejvzdálenější body na povrchu, které by mohl vidět?

Jan si sedl na zem třímaje v ruce maminčin šátek. Co má teď dělat? Vrátí se jeho rodiče? Nebo se má vydat je někam hledat? A kdo se postará o hospodářství? Co s ním teď bude?