Vzorová řešení a komentáře k 6. sérii úloh

Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.

Úloha č. 1

V jedné části plánku byly chodby uspořádány do čtvercové sítě. Vstup do ní byl v levém dolním rohu plánku a výstup z ní v rohu pravém horním, mezi nimi bylo celkem 6 chodeb vodorovných a 8 svislých. Pak Jana zaujalo, že jedna z křižovatek je označena a u ní připsán nápis „Kniha“. Na kterých křižovatkách může být Kniha umístěna, aby existovalo právě 35 různých nejkratších možností, jak projít touto částí labyrintu od vstupu k výstupu a cestou sebrat Knihu?

Řešení: Úlohu nejsnáze vyřešíme tak, že si nakreslíme obrázek situace. Plánek bude mít 6 vodorovných a 8 svislých chodeb. Víme, že kniha se nachází na jedné z křižovatek, a že existuje právě 35 různých možností, jak projít labyrintem a knihu při průchodu sebrat. Potřebujeme tedy zjistit, kolik existuje nejkratších možností, jak se dostat ke křižovatce s knihou, a kolik existuje nejkratších možností, jak se od křižovatky s knihou dostaneme ven z labyrintu. Protože ale nevíme, na které křižovatce se kniha nachází, musíme si zjistit počet nejkratších možností pro každou křižovatku zvlášť.

U každé křižovatky si nejprve spočítáme, kolik máme různých možností, jak se k ní dostat nejkratší cestou od vchodu (viz obr. vz611).

Křižovatky budeme značit jako body v kartézské soustavě souřadnic, vchod do labyrintu má souřadnice [1;1], východ z labyrintu má souřadnice [8;6]. Do křižovatek o souřadnicích [1;2] a [2;1] vede právě jedna nejkratší cesta, a to cesta, která vede přímo od vchodu do dané křižovatky. Do křižovatky o souřadnicích [2;2] vedou nejkratší cesty právě dvě:

jedna cesta [1;1] \rightarrow [1;2] \rightarrow [2;2]

druhá cesta [1;1] \rightarrow [2;1] \rightarrow [2;2]

Takto budeme postupovat i dále. Do křižovatek o souřadnicích [1;3] a [3;1] vede opět jen jedna nejkratší cesta. Jak to bude s křižovatkou o souřadnicích [2;3]? Je jasné, že nejkratší cesta do křižovatky o souřadnicích [2;3] vede buď přes křižovatku o souřadnicích [1;3] nebo přes křižovatku o souřadnicích [2;2]. V obou případech se nám cesta prodlouží jen o jeden úsek -- spojnici obou křižovatek. Počet nejkratších cest vedoucích od vchodu do křižovatky o souřadnicích [2;3] můžeme spočítat jako součet nejkratších cest vedoucích od vchodu do křižovatky o souřadnicích [1;3] a do křižovatky o souřadnicích [2;2].

Stačí si jen všimnout, že tento způsob spočtení nejkratší cesty od vchodu bude fungovat u každé křižovatky v plánku. Vždy bude platit, že počet nejkratších cest vedoucích od vchodu do křižovatky o souřadnicích [x;y] se bude rovnat součtu počtu nejkratších cest vedoucích od vchodu do křižovatky o souřadnicích [x-1;y] a počtu nejkratších cest vedoucích od vchodu do křižovatky o souřadnicích [x;y-1]. Zapsáno matematicky:

kde P[x;y] značí počet nejkratších cest do křižovatky o souřadnicích [x;y].

Počet nejkratších cest vedoucích od křižovatky s knihou k východu z labyrintu je stejný jako počet nejkratších cest vedoucích od východu ke křižovatce s knihou. A ty hodnoty už vlastně máme spočítané, stačí vzít námi spočítané hodnoty v tabulce a „obrátit“ je (viz obr. vz612).

Už zbývá jen určit, na kterých křižovatkách může kniha ležet. Pokud má existovat 35 různých nejkratších cest vedoucích od vchodu k východu přes křižovatku s knihou, pak číslo 35 musí být součinem dvou čísel u jedné křižovatky -- tedy součinem počtu nejkratších cest vedoucích od vchodu do křižovatky s knihou a počtu nejkratších cest vedoucích od křižovatky s knihou do východu z labyrintu. To proto, že pro každou z x nejkratších cest vedoucích do křižovatky s knihou máme y nejkratších možných cest vedoucích od křižovatky s knihou do východu. Nejkratších cest má být 35 = x\cdot y. Musíme proto najít všechny křižovatky, u nichž máme napsaná taková čísla x a y, aby jejich součin dal číslo 35. Takové jsou právě dvě křižovatky, a to křižovatky o souřadnicích [2;5] a [7;2].

Komentář: Většině z vás se podařilo úlohu vyřešit správně. Nejčastější chyby byly, že jste si buď nakreslili špatně obrázek, anebo jste z nějakého důvodu rozkládali číslo 35 na součin prvočísel a hledali jen takové cesty, jejichž možný počet byl 7 nebo 5. Tam mi chybělo zdůvodnění, proč hledáte jen tyto možné cesty. Teoreticky mohla existovat i cesta, která by měla 35 a 1 cestu, resp. 35=7\cdot 5=35\cdot 1.

Úloha č. 2

Okno propouštělo 21\,\% slunečního záření. Přitom se ale po zemi povalovala spousta sklíček, která propouštěla 9\,\%, 80\,\%, 70\,\%, 60\,\%, 50\,\%, 40\,\%, 30\,\%, 20\,\% a 10\,\% záření. Která sklíčka je možné složit za sebe, aby vzniklé sklo propouštělo právě 21\,\% záření? A lze složením některých z těchto sklíček (od každého máte k dispozici libovolné množství) vytvořit sklo propouštějící 22\,\% záření?

Řešení: Na první část úlohy přišla většina z řešitelů. Stačilo si uvědomit, jak se počítá s procenty. Pokud chci 25\,\% z jednoho celku, tak spočítáme 25/100 \cdot 1. Pokud chci z těchto 25\,\% spočítat ještě 30\,\%, tak počítáme:

Chceme dát za sebe sklíčka, která budou mít výslednou propustnost 21\,\% = 21/100. Potřebujeme, aby součin čísel dal 21/100, to je evidentně (z prvočíselného rozkladu 21=7\cdot3) součin 7/10 \cdot 3/10. Tyto zlomky odpovídají 70\,\% a 30\,\%. Pokud tedy dáme za sebe sklíčka s 30\% a 70\% propustností, dostaneme výslednou propustnost 21\,\%.

Můžeme se rozhodnout použít tři sklíčka. Pokud rozšíříme zlomek 21/100= 210/1,000, chceme tedy rozklad čísla 210 (tj. 2\cdot 5 \cdot 7 \cdot 3). S tímto rozkladem bychom ovšem měli čtyři sklíčka, ale to už by propustnost byla

Potřebujeme tedy rozklad opravdu pouze tří čísel. Vzhledem k tomu, jaká sklíčka máme k dispozici, můžeme použít rozklad 210=6\cdot 7 \cdot 5, a tedy sklíčka s propustností 60\,\%, 70\,\%, 50\,\%.

Podobnou úvahou přijdeme na to, že jiná možnost už neexistuje, ale nám stačilo přijít alespoň na jednu.

Zbývá vyřešit, zda umíme za sebe sestavit sklíčka, která budou mít výslednou propustnost 22\,\%. Rozložíme na součin číslo 22: 22=2\cdot 11. Tedy 22/100= 2/10\cdot11/10, ale pak bychom potřebovali sklíčko se 110\% propustností, které nemáme. Pokud rozšíříme zlomek a chtěli bychom použít více sklíček, stále se nám budou vyskytovat v součinu násobky 11, ovšem žádné sklíčko nemá propustnost, která je rovna násobku 11. Tedy 22\% propustnost z daných sklíček nesložíme.

Komentář: Většina řešitelů došla k oběma správným závěrům. Ovšem někteří neuměli vysvětlit, proč propustnost 22\,\% nesestavíme. Nestačí pouze říci, že to nelze. V příkladech podobného typu musíte jasně ukázat, že daná věc nejde, často to bývá mnohem těžší, než najít jednu možnost, která zadání vyhovuje. Pokud jste neměli dostatečně vysvětleno, že 22\,\% propustnost z daných sklíček nelze dostat, strhávala jsem jeden bod.

Úloha č. 3

Křižovatka před nimi byla rozšířená a na podlaze byl nakreslen velký rovnostranný trojúhelník ABC, uvnitř něhož stál podstavec s knihou. Od podstavce ještě byly vyznačeny kolmice k jednotlivým stranám a jejich paty pojmenovány postupně K, L a M. Ukažte, že pro libovolné umístění podstavce uvnitř trojúhelníku platí |AK| + |BL| + |CM| = |BK| + |CL| + |AM|.

Řešení: Vzorové řešení podle Michala Azilinona:

Nejprve spustíme kolmice podle zadání, následně spojíme bod P (bod P je umístění podstavce uvnitř trojúhelníku) s vrcholy trojúhelníku (obr. vz631). Velikosti úseček AK, BL, CM označíme j, k, l. Při výpočtu využijeme Pythagorovy věty, kterou aplikujeme na vnitřní pravoúhlé trojúhelníky -- AKP, KBP, PBL, PLC, CMP, MAP a získáme následující soustavu rovnic:

Z toho získáme soustavu tří rovnic:

S pomocí algebraických vzorců a ekvivalentních úprav se sečtením rovnic dostaneme k rovnici:

Poslední rovnicí jsme dokázali, že součet délek úseček j, k, l, tedy |AK|+|BL|+|CM| je roven polovině obvodu trojúhelníku, tedy součet délek zbývajících částí stran musí být taktéž roven polovině obvodu, a oba součty jsou si tedy rovny.

Komentář: V této úloze bylo nejtěžší všimnout si možnosti dotvořit pravoúhlé trojúhelníky spojením vrcholů s bodem P. Část z vás si všimla závislosti poměru délek částí stran na posunu podstavce a takovým řešitelům jsem dávala 3 body.

Úloha č. 4

Hned na první straně knihy stál zajímavý nápis: „Nechť je odteď do této Knihy každý den připsán nenulový počet stran záznamu. Zároveň musí být dbáno toho, aby součet čísel všech dosud popsaných stran byl po každém dni dělitelný devíti.“ Za kolik dní nejvýše měla kniha od začátku psaní popsaných alespoň prvních 200 stran?

Řešení: Abychom zjistili, za kolik nejpozději dní byla popsána dvoustá strana knihy, musíme si vypočítat, kolik nejméně stran bylo potřeba popsat který den. Jeden z možných postupů je začít jednoduše od jedničky sčítat čísla a sledovat, kdy bude součet dělitelný devíti. Poprvé se tak stane na čísle strany 8, což je tím pádem nejmenší počet stran, které je potřeba popsat první den. Je vidět, že druhý den stačí popsat pouze jedinou stranu. Nyní si uvědomíme, že další dny to bude velmi podobné, protože číslo strany si můžeme představit jako součet násobku devíti a zbytku po jeho vydělení devíti, tím pádem součet čísel osmi stran mezi dvěma dělitelnými devíti bude k\cdot 9 + 36 (kde k je přirozené číslo), což je výraz určitě dělitelný devíti, takže jeho přičtením k dosavadnímu součtu všech stran, který byl dělitelný devíti dostaneme opět číslo dělitelné devíti. Takto jsme zjistili, že každé dva dny musí být popsáno nejméně devět stránek. Nyní už jen snadno dopočítáme 200/9=22 (zb. 2), takže za 22\cdot 2=44 bude mít kniha popsaných alespoň 198 stránek a 45. den bude nutné popsat nejméně 8 dalších, takže po 45 dnech už bude určitě popsaných prvních 200 stran knihy.

Někteří řešitelé postupovali trochu rafinovaněji. Vyšli z toho, že součet všech stran knihy jakožto řady od 1 po n lze vyjádřit jako

a aby mohl tento výraz být dělitelný devíti, musí být nutně devíti dělitelné buď číslo n nebo číslo (n+1). Z toho už krásně vyplývá, že v libovolný den lze ukončit psaní knihy jedině na stránce, jejíž číslo je dělitelné devíti nebo po dělení devíti dává zbytek 8. A teď už nezbývá než opět dělením zjistit, že takovýchto čísel menších než 200 je právě 44, a i kdyby šlo psaní knihy nejpomalejším možným způsobem, 45. den už by muselo být popsáno více než 200 stran.

Komentář: Úloha byla velmi jednoduchá, pročež mi šlo opravování skvěle od ruky a rozdával jsem skoro samé plné počty bodů. Většina z vás se vydala první variantou řešení, která je přímočařejší a ne tolik elegantní jako ta druhá, ale pokud jste dobře zdůvodnili, proč součet osmi čísel mezi dvěma násobky devíti je dělitelný devíti, tak je dostačující. Zajímavé bylo, že dva řešitelé začali řešení úvahou, že první stranu vůbec nebudou do součtu popsaných stran počítat, takže začínali sčítat až od strany č. 2. Vzhledem k tomu, že tato úvaha byla do jisté míry odůvodnitelná a rozhodně nevedla k zjednodušení nebo velké změně ve stylu řešení, udělil jsem oběma plný počet bodů, ačkoli dospěli k úplně jinému výsledku. Samotného mě zaujalo, jak hodně se změní výsledek úlohy jenom tím, že nezahrneme do součtu první stránku. Zkuste si to za domácí úkol také spočítat.

Úloha č. 5

Nedávno se nám povedlo zjistit, že lidské oko považuje dva úhly, které se liší o méně než 10°, za shodné. Když například na obdélníkovém listu papíru vidí úhel 85°, považuje ho za úhel pravý, protože o rozích papíru ví, že jsou pravoúhlé. Kolik lze nakreslit různých ostroúhlých trojúhelníků s celočíselnými velikostmi úhlů ve stupních, které se lidskému oku nebudou zdát ani rovnoramenné ani rovnostranné a ani pravoúhlé? Jeden trojúhelník považujeme za různý od druhého, pokud obsahuje alespoň jeden vnitřní úhel, který druhý trojúhelník neobsahuje.

Řešení: Pro začátek si stanovíme podmínky, které musí hledané trojúhelníky splňovat:

• Žádný úhel trojúhelníku nesmí být větší než 89°, protože jinak by takový trojúhelník nebyl ostroúhlý.
• Největší úhel v trojúhelníku může být maximálně 80°. (Kdyby byl největší úhel v rozmezí 81° - 89°, zdál by se lidskému oku trojúhelník jako pravoúhlý.)
• Žádné dva úhly v trojúhelníku se nesmí lišit o méně jak 10°. (Jinak by se trojúhelník lidskému oku zdál rovnoramenný.)

Zkusme teď na základě těchto podmínek trojúhelníky hledat. Abychom se vyhli objevení stejných trojúhelníků několikrát, budeme největší úhel v trojúhelníku značit \alpha, druhý největší \beta a nejmenší \gamma.

1. Trojúhelníky s \alpha = 80°:  Úhel \beta může mít velikost maximálně 70°, aby se o 10° lišil od \alpha, a potom \gamma = 30°. To ale není jediná možná kombinace \beta a \gamma. Při zachování \alpha můžeme \beta postupně snižovat po jednom stupni a \gamma stejným způsobem zvyšovat, až se dostaneme na \beta = 55° a \gamma = 45°. Dál pokračovat nemůžeme, protože 54°- 46° < 10°. Celkem jsme tak našli 16 trojúhelníků s největším úhlem 80°.

Zkusme teď zmenšovat \alpha a stejným způsobem najít počet možných kombinací \beta a \gamma.

2. Trojúhelníky s \alpha = 79°:  Maximální velikost \beta = 69° (\gamma = 32°), minimální velikost \beta = 56° (\gamma = 45°) a odtud dalších 14 nalezených trojúheníků s největším úhlem 79°.

3. Trojúhelníky s \alpha = 78°:  Maximální velikost \beta = 68° (\gamma = 34°), minimální velikost \beta = 56° (\gamma = 46°) a odtud dalších 13 nalezených trojúheníků s největším úhlem 78°.

4. Trojúhelníky s \alpha = 77°:  Maximální velikost \beta = 67° (\gamma = 36°), minimální velikost \beta = 57° (\gamma = 46°) a odtud dalších 11 nalezených trojúheníků s největším úhlem 77°.

5. Trojúhelníky s \alpha = 76°:  Maximální velikost \beta = 66° (\gamma = 38°), minimální velikost \beta = 57° (\gamma = 47°) a odtud dalších 10 nalezených trojúheníků s největším úhlem 76°.

Můžeme si všimnout, že počty nalézaných trojúhelníků tvoří posloupnost, ve které se dva po sobě jdoucí členy liší střídavě o 2 a o 1, v závisloti na paritě (sudosti nebo lichosti) úhlu \alpha. Tohoto pravidla můžeme využít a spočítat hledané trojúhelníky jako součet posloupnosti:

Trojúhelníků, které se lidskému oku nezdají pravoúhlé, rovnoramenné ani rovnostranné, je tedy 91.

Komentář: Úloha byla vcelku těžká a popasovat se s ní bez vypisování všech 91 trojúhelků se podařilo jen málokomu z vás. Všechny takové opravdu chválím. Pět bodů jsem ale tentokrát dával i za správný výčet všech možností.

Největším problémem v úloze bylo správně rozlišit dva pojmy -- různé trojúhelíky (např. s velikostmi vnitřních úhlů 80°, 69°, 31° a 80°, 68°, 32°) a trojúhelníky, které se lidskému oku zdají různé (např. s velikostmi vnitřních úhlů 80°, 70°, 30° a 80°, 60°, 40°). Těm, kterým se to povedlo, už povětšinou nic nestálo v cestě ke správnému řešení. Přeju krásné prázdniny.

Úloha č. 6

Na kulovitém glóbusu byla vyznačena tři různá města. Popište, kde cestovatel najde všechna místa, která leží na povrchu glóbusu a mají od všech těchto tří měst stejnou vzdálenost.

Řešení: Kdybychom řešili úlohu v rovině, vše by bylo jednodušší. Stejnou vzdálenost od tří bodů, které tvoří trojúhelník, má střed kružnice opsané.

V rovině by tedy stačilo sestrojit střed kružnice opsané jako průnik os stran. V prostoru leží všechny body stejně vzdálené od měst na přímce kolmé k rovině dané městy a procházející středem S kružnice opsané (přímka p na obrázku vz661). Toto lze dokázat pomocí shodnosti trojúhelníků. Trojúhelníky XSA, XSB a XSC jsou totiž shodné podle věty sus. Úsečku XS mají všechny trojúhelníky společnou. Úsečky SA, SB, SC jsou stejně dlouhé, protože S je středem kružnice opsané. Úhly trojúhelníků při vrcholu S jsou pravé. To protože přímka p je kolmá na rovinu trojúhelníku ABC. Shodnost trojúhelníků jsme dokázali pro libovolný bod X na přímce p. Libovolný bod X na přímce p je proto stejně vzdálen od tří měst.

Tato přímka má s naším glóbusem průnik ve dvou bodech. To jsou hledané body. Na celém postupu by nás mohly zarazit následující zádrhele: co kdyby města ležela v jedné přímce a nešlo z nich proto sestrojit trojúhelník? Města jsou na glóbusu. Tam se to naštěstí stát nemůže. V zadání jsme nenapsali, jestli vzdáleností měst myslíme vzdálenost po povrchu glóbusu, nebo vzdálenost vzdušnou čarou. V našem případě je to naštěstí jedno. Města budou stejně daleko od hledaného bodu po povrchu právě tehdy když budou stejně daleko vzdušnou čarou pod povrchem glóbusu.

Komentář: Důkaz jsem v postupu uvedl pro úplnost. Pro plný počet bodů nebyl potřeba. Každý, kdo si uvědomil, že střed kružnice opsané je stejně daleko od všech měst, dostal alespoň 2 body. Kdo navíc nějak našel jedno řešení, měl už jisté 3 body. Ti, kteří našli obě dvě řešení na povrchu globusu, dostali plný počet bodů. Čtyři body jsem uděloval jen v případě, že bylo řešení skoro správně a obsahovalo nějaké matematické nedostatky nebo nepřesnosti.

Úloha č. 7

„Tak například nedávno jsme přišli na to, jak se to skutečně má s pampeliškovým uhlím a pampeliškovým petrolejem. Teď sice \def\kg{\,{\rm kg} }1 \kg pampeliškového uhlí stojí 60 Kč a \def\l{\,{\rm l} }1 \l pampeliškového petroleje stojí 50 Kč, jenže při výrobě 1 \kg pampeliškového uhlí se spálí 1/2 \kg normálního uhlí za cenu 30\,Kč/kg. A s pampeliškovým petrolejem je to ještě horší, neboť na výrobu 1 \l je potřeba spálit nejen 1/3\kg normálního uhlí, ale ještě 1/3 \l normálního petroleje, který stojí 24\,Kč/l. A teď si schválně spočítejte, jak by se zvýšily ceny pampeliškového uhlí a petroleje, kdyby se při jejich výrobě místo veškerého normálního uhlí a petroleje měly používat jedině jejich pampeliškové ekvivalenty (ve stejných množstvích jako normální suroviny).“

Řešení: Řešení podle Jakuba Janků: 1 \kg pampeliškového uhlí stojí 60 Kč a na jeho výrobu se spálí 1/2 \kg obyčejného uhlí za 30\,Kč/kg, tedy za 15 Kč. 1 \l pampeliškového petroleje stojí 50 Kč a na jeho výrobu se spálí 1/3 \kg uhlí za 30\,Kč/kg, tedy za 10 Kč, a 1/3 \l petroleje za 24\,Kč/l, tedy za 8 Kč, celkově za 18 Kč. Použijeme-li k výrobě pampeliškového uhlí místo obyčejného také pampeliškové uhlí, zvýší se jeho cena. Tím se ovšem zvýší i cena toho pampeliškového uhlí, které jsme použili na výrobu pampeliškového uhlí. Za předpokladu, že na výrobu pampeliškového uhlí je třeba jen 15 Kč a zbylých 45 Kč je v podstatě jen zisk prodejce, můžeme sestavit rovnici (x Kč je cena, o kterou se pampeliškové uhlí zdraží):

Nová cena pampeliškového uhlí bude tedy 60 Kč + 30 Kč = 90 Kč.

U pampeliškového petroleje budeme opět předpokládat, že výrobní cena je pouze 18 Kč a zbylých 32 Kč je zisk. Už víme, že cena pampeliškového uhlí po zdražení bude 90\,Kč/kg. K výrobě pampeliškového petroleje je potřeba 1/3 \kg uhlí, tj. uhlí za 30 Kč. Nahradíme-li petrolej pampeliškovým petrolejem, opět se zvedne i cena pampeliškového petroleje použitého při výrobě, stejně jako u uhlí. Rovnice bude podobná (y Kč je cena, o kterou se pampeliškový petrolej zdraží):

Výsledná cena pampeliškového petroleje bude 50 Kč + 43 Kč = 93 Kč.

Komentář: Přišla pěkná řešení podobná vzorovému, která jsem ocenila pěti body. Ale bohužel přišla i spousta řešení, která uvažovala, že na výrobu pampeliškového uhlí budu používat pampeliškové uhlí za jinou cenu, než za kterou ho vyrobím. Určitě už si sami zdůvodníte, proč tohle není možné. Za vyčíslení výrobní ceny pampeliškového uhlí a petroleje jsem dávala dva body, zbytek uváženě podle dalšího postupu.

Opravovali: 1. Tereza Ptáčková, 2. Klára Krejčíčková, 3. Barbora Šmídová, 4. Miroslav Koblížek, 5. Jiří Erhart, 6. Jan Hamáček, 7. Helena Pučelíková.