Vzorová řešení a komentáře k 4. sérii úloh

Úloha č. 1

Máme rovnici ze zadání 8x + 132y^{2} - 3 = 33z - 3x + 3. Převedeme proměnné na jednu stranu a číselnou hodnotu na druhou stranu (tj. k oběma stranám rovnice přičteme 3, přičteme 3x a od obou stran odečteme 33z) a máme 11x + 132y^{2} - 33z = 6. Na levé straně můžeme vytknout 11, takže 11(x + 12y^{2} - 3z) = 6. Protože výsledkem sčítání, odčítání i násobení celých čísel je celé číslo, levá strana bude pro každé hodnoty proměnných x, y, z celočíselný násobek 11. To ale pravá strana není, a proto se nikdy nemohou rovnat. Rovnice tedy nemá žádné řešení, pokud x, y a z jsou celá čísla.

Komentář: Téměř všichni měli tuto úlohu správně. Důležité bylo se nebát trojice neznámých. Vyjadřování jedné proměnné pomocí zbylých dvou vedlo ke zbytečným komplikacím, ve kterých se někteří z vás zamotali.

Úloha č. 2

V tomto příkladu bylo za úkol najít všechny možnosti, jak přeházet písmenka ze slova Aničičička. Slovo je tvořeno 10 písmeny, která můžeme dosadit na 10 míst. Na první místo vybíráme z 10 písmen, na druhé z 9, protože už jsme jedno použili, na třetí místo máme na výběr z 8 písmen, protože už jsou 2 písmena použitá, a tak dále. Protože každé písmeno můžeme dosadit právě na jedno místo a nemůžeme ho použít dvakrát, počty možností pro jednotlivá místa mezi sebou násobíme. Dostaneme tedy 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 možností, tedy 3\,628\,800 možností.

Protože se ale některá písmena ve slově Aničičička opakují, musíme celkový počet vydělit počty opakování zmnožených čísel, resp. počty možných přeházení jednotlivých písmenek. Např. písmenko „i“ je ve slově třikrát, zabere tedy ve slově 3 pozice, ale výsledná slova budou stále stejná, i když prohodíme dvě písmenka „i“. Na první z těchto třech míst vybíráme ze tří písmenek „i“, na druhé už jen ze dvou a na třetí nám zbyde jedno „i“, tedy možností, jak poskládat tyto tři „i“ je 3\cdot 2\cdot 1. Podobnou úvahu provedeme i pro ostatní písmenka, která se opakují (písmenka „a“, „č“). Zjistíme, že celkový počet možností musíme vydělit (3\cdot 2\cdot 1)\cdot(3\cdot 2\cdot 1)\cdot (2\cdot 1) = 72.

Výsledek je tedy 3\,628\,800/72 = 50\,400 možností, jak poskládat písmenka ze slova Aničičička.

Komentář: Největším problémem bylo uvědomit si, že nás nezajímala smysluplná česká slova, ale počet „slov“ vzniklých přeházením všech 10 písmen. Mnozí z vás správně použili vzorec pro permutace s opakováním, jiní došli ke správnému výsledku i bez něj. Našli se i tací, kteří si správně uvědomili, že bez vzorce je třeba hledat počet možností pro jednotlivá místa ve slově a dostali 3 body. Za snahu a nalezení až 20 českých slov, i když většinou kratších než 10 písmen, jsem dávala 1 bod.

Úloha č. 3

Abychom mohli spočítat, kolik vyteklo polévky, musíme zjistit objem potopené části kostky -- její objem bude pak odpovídat objemu vylité polévky. Pro lepší názornost použijeme obr. vz431.

Protože se kostka dotýká misky svými vrcholy, zobrazuje obrázek řez miskou v rovině kolmé na stěnovou úhlopříčku podstavy krychle. Pomocí vzorečku pro objem kulové úseče spočteme objem misky:

kde v je výška úseče a \rho je poloměr kruhu, který ji shora ohraničuje (vzdálenost |XZ|). V našem případě je \def\cm{\,{\rm cm}}v=5 \cm a |XZ| můžeme vypočítat pomocí Pythagorovy věty |XZ|^{2}=|SZ|^{2}-|SX|^{2}, tedy |XZ|=\sqrt{175} \cm. Spočteme objem misky:

Dále můžeme spočítat, jaká je výška potopené části krychle. Opět si pomůžeme obrázkem a Pythagorovou větou: |XY|=|SY|-|SX| a |SY|^{2}=|SA|^{2}-|AY|^{2}, kde |AY| je polovina délky úhlopříčky podstavy krychle. Tedy |SY|=\sqrt{350} \cm, |XY|=\sqrt{350}-15 \cm. Objem V_{2} potopené části krychle (a tedy objem vylité polévky) je:

Objem zbylé polévky je 1\,439{,}9\cm^{3}-370{,}8\cm^{3}=1\,069{,}1 \cm^{3}.

Komentář: Úloha patřila k těm těžším, přesto přišla spousta pěkných a správných, tj. pětibodových řešení. Bohužel ve velké skupině řešení převládal názor, že kostka se misky dotýká celými hranami dolní podstavy. Zkuste si to sami názorně, není to pravda. Taková řešení jsem ocenila třemi body. Případné další body jsem strhávala za nedokončený postup.

Úloha č. 4

Hráč, který má ve svém tahu odečítat z čísla 4, prohrál. Odečte libovolnou hodnotu mezi 1 a 3. Druhý hráč potom odečte zbytek tak, aby dohromady odečetli 4. Podobně hráč, který ve svém tahu odečítá z čísla 8 prohrál. Odečte hodnotu mezi 1 a 3. Druhý hráč potom může odečíst hodnotu tak, aby na prvního hráče zbylo číslo 4. Podobně můžeme pokračovat dále pro čísla 12, 16, \dots

Pokud první hráč ve svém tahu odečítá z čísla dělitelného 4, druhý hráč vždy může odečíst tolik, aby společně odečetli 4. Dostane tak prvního hráče do situace, že opět odečítá z čísla dělitelného 4. Postupem času se tak dostanou na číslo 4. Na tahu je první hráč. Jak už jsme řekli, prohrál.

Pokud druhý hráč dodržuje strategii odečítání po 4 a první hráč začíná na čísle dělitelném 4, pak vyhraje druhý hráč.

V našem případě je v pozici prvního hráče farář. Číslo 100 je dělitelné 4. Pokud Jan zná strategii, vyhraje. Výherní strategii má Jan, proto ji nemůže mít farář.

Komentář: Většina z vás si nejdřív uvědomila, že hráč, který je na tahu ve chvíli, kdy zbývá číslo 4, prohrál. Někteří nevěděli, jak s tou informací naložit a neuvědomili si, že stejná úvaha se dá použít znovu pro čísla 8, 12 a další čísla dělitelná čtyřmi. Ti, kteří překonali i tuto překážku, si občas neuvědomili, že toto je výherní strategie pro Jana a farář proto nemůže mít univerzální výherní strategii. Všichni, kteří přišli i na to, byli odměněni plným počtem bodů.

Úloha č. 5

Hľadané číslo musí byť kladné, lebo súčin tohoto čísla a 2\,468 je druhá mocnina celého čísla, čo je kladné číslo.

Ak je číslo druhou mocninou nejakého celého čísla a zároveň aj treťou mocninou nejakého (iného) celého čísla, tak musí byť šiestou mocninou nejakého (ďalšieho) celého čísla. Celé číslo má ciferný súčet deliteľný trojkou práve vtedy keď je deliteľné trojkou. Teda súčin čísla 2\,468 a hľadaného čísla je šiestou mocninou celého čísla a je deliteľné trojkou.

Úloha sa dala pochopiť dvomi spôsobmi: Prvý je, že hľadané číslo môže byť ľubovoľné reálne. V tom prípade by súčin mala byť šiesta mocnina najmenšieho čísla deliteľného 3, čo je 3^{6} a to je 729. Teda hľadané číslo je

Druhý spôsob je, že hľadané číslo musí byť celé. Súčin je šiesta mocnina, teda v rozklade na prvočísla bude každé prvočíslo násobok-6-krát. Číslo 2\,468 má prvočíselný rozklad 2 \cdot 2 \cdot 617. Teda súčin bude mať v prvočíselnom rozklade 2^{6} aj 617^{6}. Keďže ale musí byť deliteľný aj trojkou, tak tam musí byť aj 3^{6}. Teda najmenší možný súčin je 2^{6} \cdot 3^{6} \cdot 617^{6}, teda hľadaný činiteľ je 2^{4}\cdot 3^{6} \cdot 617^{5}.

Komentář: Nech ste úlohu pochopili prvým alebo druhým spôsobom, bodovanie sa nezmenilo. Strhával som 1–2 body, ak ste niečo nedostatočne vysvetlili, ďalšie body dole mohli byť pokiaľ ste uviedli výsledok nepresne, alebo ste sa k nemu dostali náhodou.

Úloha č. 6

Nejdříve si doplníme do tabulky počty výher, remíz a proher u každého z týmů. To lze jednoduše rozepsáním bodů jako součtu trojek (výhry), jedniček (remízy) a nul (prohry), jak je naznačeno v tabulce.

Dalším krokem bude určit, které týmy spolu hrály 5:0. Jediný tým, který dostal aspoň pět gólů, jsou zelení, ti tedy prohráli. Kandidáty na výherce máme hned dva – modré a bílé. Modří podle tabulky vyhráli hned dvakrát, ale celkem vstřelili jen pět gólů, a tak žádný jejich zápas nemohl skončit 5:0. Jako vítězové nám tedy zbývají bílí. Z toho plyne, že bílí proti zeleným hráli 5:0.

Dál si zkusíme vytvořit tabulku s možnými skóre zápasů pro každý z týmů.

Skóre v tabulce víme jistě, protože:

• Modří právě jednou remizovali a nedostali ani jeden gól, museli tedy hrát 0:0.
• Bílí krom výhry 5:0 ještě jednou vyhráli (1:0) a jednou prohráli (0:1). Jiná možnost, aby souhlasil celkový počet vstřelených i obdržených gólů, není.
• Černí jednou prohráli, ale celkem dostali jen jeden gól, tedy jeden z jejich zápasů musel skončit 0:1. Dále remizovali, už zbývá jen remíza 0:0, a vyhráli 2:0 (zbylé skóre).
• Červení jednou remizovali, ale nedali ani jeden gól. Odtud remíza 0:0.

Když už známe tato skóre týmů, podívejme se na dvě zbývající výhry modrých. Ty mohly skončit jen dvěma způsoby:

• 4:0 a 1:0,
• 3:0 a 2:0.

První možnost můžeme vyloučit, protože by to znamenalo, že některý tým naproti tomu musel prohrát 0:4. To nemohlo nastat ani u červených (už by nemohli podruhé prohrát) ani u zelených (už by nemohli remizovat). Víme tak, že modří museli hrát 3:0 a 2:0.

V tuto chvíli máme v tabulce dvakrát skóre 2:0, ale ani jednou 0:2. Dva zápasy v tabulce tak musely skončit 0:2. Obě prohry patří červeným, jinak je není možné do tabulky doplnit. S tím se rovnou dozvídáme výsledky dalších dvou zápasů, modří hráli proti červeným 2:0 a černí hráli proti červeným 2:0.

V tuto chvíli už můžeme určit, proti komu hráli modří 3:0. U jediných zelených nám zbývají alespoň tři góly, které ještě museli dostat. Odtud modří proti zeleným hráli 3:0 a zbývající zápas zelených musel skončit 2:2.

Naše aktuální tabulka tak vypadá takto:

Snadno už zjistíme, že zelení museli hrát 2:2 se žlutými, protože žádný jiný tým skóre 2:2 neuhrál a se stejnou lehkostí určíme zbývající výsledky žlutých – 1:0 (výhra) a 0:0 (remíza).

Zbývá pospojovat zbývající skóre do párů, abychom zjistili, kdo s kým je odehrál. Bílí museli hrát 1:0 s černými (sami se sebou hrát nemohli) a ze stejného důvodu museli bílí prohrát 0:1 se žlutými.

Zaznamenejme si teď známé výsledky do tabulky zápasů a proškrtejme ty zápasy, které se zatím nemohly odehrát, protože o jednom z týmů už víme, že má tři zápasy za sebou.

Komentář: Naprostá většina z vás došla s větší či menší mírou zkoušení možností ke správnému řešení. Spousta z vás ale svá řešení moc, či dokonce vůbec nekomentovala. Komentujte svá řešení, utříbíte si myšlenky a ostatní vám budou mít šanci porozumět. Opravdu, připojte vždy alespoň základní postup prosím, jinak vám potom musím strhávat body a je to zbytečné.

Nejvíc chyb spočívalo v tom, že jste si pořádně nepřečetli zadání a neodpovídali na celou otázku nebo jste přehlídli některé z pravidel, která v úloze platila.

Úloha č. 7

Nejprve narýsujeme stranu AB. Poté najdeme její střed a označíme ho F. Nad stranou AB sestrojíme Thaletovu kružnici k se středem F a poloměrem 3 \cm. Víme, že na této kružnici musí ležet bod C, protože úhel u vrcholu C má být pravý.

Úsečka CF tvoří těznici na stranu AB. Využijeme známého tvrzení, že v každém trojúhelníku dělí těžiště těžnici v poměru 2:1. Označíme-li těžiště písmenem D, pak těžnice CF, která má délku 3 \cm, je rozdělená na úsečky o délkách 2 \cm a 1 \cm, a sice tak, že |CD|=2 \cm a |DF|=1 \cm. Těžnice na stranu AC má být dlouhá 5 \cm, a proto musí být |BD| = 10/3 \cm. Těžiště D najdeme jako průnik kružnice se středem F a poloměrem 1 \cm a kružnice se středem B a poloměrem 10/3 \cm.

Z bodu B sestrojíme polopřímku, která bude procházet bodem D a ve vzdálenosti 5 \cm od bodu B dostaneme bod E, který tvoří střed strany AC. Nyní už stačí jen narýsovat polopřímku AE a její průsečík s Thaletovou kružnicí k je hledaný bod C. Tím je trojúhelník ABC zkonstruován. Samozřejmě jsme také mohli narýsovat přímku procházející body D a F a zároveň z bodu F narýsovat kružnici o poloměru 3 \cm a tam, kde se střetnou, by byl bod C.

Komentář: Správných řešení se mi sešlo opravdu dost, našlo se mezi nimi i několik opravdu originálních, zvlášť pochválit bych chtěla Ivu Horáčkovou. Akorát pozor, často jste zapomínali na počet řešení úlohy a to ke geometrickým konstrukcím rozhodně patří. Pak se taky sešlo několik řešení pomocí výpočtu – opravdu šlo o konstrukční úlohu a taková řešení nešlo hodnotit plným počtem bodů.

Opravovali: 1. Vojtěch Kika, 2. Barbora Šmídová, 3. Helena Pučelíková, 4. Jan Hamáček, 5. Martin Smolík, 6. Jiří Erhart, 7. Marie Vonzino.