Vzorová řešení a komentáře k 3. sérii úloh

Úloha č. 1

Chtěl změřit průměr kmene smrku, který měl dokonale kruhový průřez. Vzal proto pevný metr se stupnicí v centimetrech a značkou 50 cm ho přiložil přímo ke kůře. Když se pak jedním okem díval ze vzdálenosti 60 cm na metr, okraj smrku se mu vlevo překrýval se značkou pro 25 cm a vpravo pro 75 cm. Jaký je skutečný průměr kmene?

Řešení: Kmen stromu je vlastně kruh. Janův pohled na přiložený metr si můžeme představit jako dvě tečny, které tvoří ramena rovnoramenného trojúhelníka (obr. vz311).

Máme zde dva pravoúhlé trojúhelníky. Z trojúhelníka ABC spočtu přeponu x:

Trojúhelníky ABC a ADS jsou si podobné podle věty uu -- mají společný úhel u vrcholu A a oba jsou pravoúhlé. Jejich strany jsou tedy v poměru:

Skutečný průměr pařezu je 75 cm.

Komentář: Šlo o příklad na počítání, nikoli na rýsování. Několik řešitelů uvažovalo i umístění metru za strom. S tímto řešením jsem při zadání nepočítala, dostali tedy imaginární body do Barčiny soutěže o čokoládu.

Úloha č. 2

Ohrada měla tvar trojúhelníku, nazvěme si ho ABC. Víme, že délka těžnice \def\m{\,{\rm m}} t_{a} = 10 \m, výška v_{c} = 8,4 \m a kružnice opsaná trojúhelníku AS_{a}C, kde S_{a} je střed strany a, měla poloměr 3 cm. Narýsujte tuto ohradu v měřítku 1:20.

Řešení: Rozměry ohrady byly udány v metrech a jelikož nákres má být v měřítku 1:100, stačí všechny jednotky změnit na centimetry.

Nejprve si narýsujeme přímku AX, na níž bude ležet i bod B. Jelikož víme, že v_{c} = 8,4 cm, sestrojíme v této vzdálenosti přímku p rovnoběžnou s AB. Na této přímce p musí ležet bod C.

Zároveň díky tomu také víme, že bod S_{a} musí ležet na přímce q, která je rovnoběžná s přímkou AB a je vzdálená 4,2 cm jak od AB, tak od p, protože trojúhelníky BP_{1}C a BP_{2}S_{a}, kde P_{1} a P_{2} jsou po řadě paty kolmic z bodů C a S_{a} k přímce AB, jsou podobné a |BC| = 2|BS_{a}|. Dále sestrojíme kružnici k se středem A a poloměrem 10 cm a v jejím průsečíku s přímkou q se nachází bod S_{a}. Dále sestrojíme kružnice l a m se středy v A respektive S_{a} a obě se shodným poloměrem 6 cm. V průsečících l a m získáme body S_{1} a S_{2} jako potenciální středy kružnice opsané trojúhelníku AS_{a}C. Snadno zjistíme, že kružnice se středem v S_{2} a poloměrem 6 cm vůbec neprotne přímku p, a tak má smysl uvažovat pouze kružnici o se středem S_{1} a poloměrem 6 cm. Na kružnici o musí ležet bod C a stejně tak musí ležet i na přímce p. Jak vidíme, průsečíky o a p jsou dva, takže si je označíme C_{1} a C_{2}. Nyní již stačí vést přímku C_{1}S_{a} a C_{2}S_{a} a v jejím průsečíku s přímkou AX nalezneme bod B_{1}, respektive B_{2}. Tím jsme zkonstruovali trojúhelníky AB_{1}C_{1} a AB_{2}C_{2} (obr. vz321). Vidíme, že zadaná úloha má dvě možná řešení.

Komentář: S řešením úlohy většina z vás neměla žádný problém. Obzvlášť mě zaujala řešení Jakuba Kislingera, Ivany Horáčkové, Martina Zimena, Františka Záhorce, Lucie Kundratové, Michala Krtouše a Elišky Vítkové, protože jmenovaní postupovali úplně jinak než já ve vzorovém řešení, a to sice tím, že konstrukci začali kružnicí opsanou trojúhelníku AS_{a}C a v průběhu konstrukce využívali Thaletovu kružnici či tečny ke kružnici.

Úloha č. 3

Jednu kulatou placku o průměru 12 cm vzal a roztrhl ji rovně na půlky. Jednu půlku složil do kornoutu tak, že okraje přiložil těsně k sobě. Tento kornout otočil podstavou dolů a chtěl jím přikrýt kuličku másla o průměru 4 cm ležící na stole. Povede se mu ji celou schovat pod kornout?

Řešení: Prvním předpokladem pro vyřešení úlohy bylo si uvědomit, jak kornout složíme a jaké budou jeho rozměry. Mnoho z vás si vystřihlo z papíru půlkruh a myslím, že to bylo velmi nápomocné. Kornout je tedy kužel, příčemž obvod jeho podstavy je roven délce zaoblené části půlkruhu. Označíme si písmenem r poloměr placky, tedy r=12/2=6 cm. Potom obvod zaoblené části, tedy i podstavy kužele je O=(2 \pi r)/2=6 \pi cm.

Jelikož kulička i kužel jsou při pohledu ze strany symetrické, můžeme si celou situaci převést do roviny. Kužel vidíme jako trojúhelník, kuličku jako kružnici, a budeme jej značit tak jako na obr. vz331. Délka strany AB je průměr podstavy, jejíž obvod známe, proto |AB| = O/\pi=6 cm. Trojúhelník je tedy rovnostranný. Největší kružnice, která se do trojúhelníku vejde, je kružnice vepsaná, proto musíme zjistit její poloměr a porovnat jej s poloměrem naší kuličky.

Způsobů na výpočet je mnoho, například víme, že v rovnostranném trojúhelníku splývají osy úhlů, osy stran, výšky i těžnice. Výšku spočítáme z Pythagorovy věty, neboť známe délky stran, |SC|=\sqrt{|BC|^{2} - |BS|^{2}} = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3} cm. Poloměr kružnice vepsané je třetina této hodnoty, tedy \sqrt{3} cm. Pod kornout by se vešla kulička s poloměrem nejvýše \sqrt{3} cm. To naše kulička nesplňuje, a proto se pod kornout nevejde.

Komentář: Ti z vás, kteří ani neurčili, jak bude vlastně kornout vypadat, dostávali obvykle 1 bod. Další častou chybou bylo, že jste se rozhodovali pouze na základě poloměru kuličky a poloměru podstavy. Ale jak jde vidět i z obrázku, kornout se zužuje a my potřebujeme, aby kulička jeho šířku nepřesáhla nikde. Vlastně tedy porovnáváme šířku kuličky a šířku kornoutu, ale děláme to v každé výškové úrovni. Toto řešení obvykle přineslo 2 body. Pár z vás porovnávalo tyto hodnoty jen ve výšce 2 cm, tedy tam, kde je kulička nejširší. Tím jste sice zjistili, že se kulička do kornoutu nevejde, nicméně bych chtěl upozornit, že to není výška, ve které kulička přesahuje nejvíce. Při jiném zadání by to tedy mohlo vést ke špatné odpovědi, pokud byste se rozhodovali pouze na základě tohoto. Čtyři body pak dostávali ti z vás, kteří v konečné fázi ukázali fakt, že se kulička nevejde do kornoutu jen narýsováním trojúhelníku a do něj kružnice s poloměrem 2 cm. U výpočetních úloh by měl obrázek vždy sloužit jen jako pomůcka pro lepší přehled, následovat by ale měl výpočet.

Úloha č. 4

Ozdůbka na stole se skládala ze čtyř papírových rovnostranných trojúhelníků a každý z nich byl z každé strany obarven jinou barvou. Jana hned napadlo, že by se z nich dal složit čtyřstěn. Pak se ale zamyslel víc. Kolik různě barevných čtyřstěnů lze z těchto trojúhelníků složit? (Dva čtyřstěny jsou stejně barevné tehdy, když je lze natočit tak, že odpovídající si stěny mají stejné barvy.)

Řešení: Nabízí se více způsobů, jak úlohu vyřešit. Ukážeme si ten, který mezi řešeními převažoval. Ten v sobě obsahuje dvě hlavní myšlenky:

Přístup 1:  Dva čtyřstěny budou určitě různé, pokud budou obarvené různými barvami. Spočítáme tedy, kolik různých čtveřic barev můžeme získat otáčením trojúhelníků. Musíme použít každý ze čtyř trojúhelníků (jinak bychom nemohli složit čtyřstěn) a každý trojúhelník má dvě barvy. To nám davá $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ různých čtveřic barev.

Přístup 2:  Lze na čtyřstěn poskládat jednu čtveřici barev více způsoby tak, aby na sebe nešly převézt otočením? Zkusme barvit čtyřstěn Azurovou, Bronzovou, Citronovou a Dýňově oranžovou. Můžeme si říct, že podstava bude Dýňová, protože ať vezmeme jakékoliv obarvení čtyřstěnu, vždy ho můžeme natočit tak, že Dýňová bude právě podstava. Zbývá obarvit tři stěny u hlavního vrcholu. Ty můžeme obarvit šesti způsoby (Na první stěnu máme tři barvy, na druhou dvě a na poslední už jenom jednu, tj. 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6). Jenže tři a tři z těchto možností jsou jen různými otočeními stejného čtyřstěnu kolem svislé osy (ABC = BCA = CAB nebo ACB = CBA = BAC). Dostáváme tak dvě možnosti, jak poskládat každou čtveřici barev na čtyřstěn.

Nakonec už nebude žádným překvapením, že z trojúhelníků můžeme složit 2 \cdot 16 = 32 různých čtyřstěnů.

Komentář: Ač úloha nebyla úplně jednoduchá, spoustě z vás se ji podařilo úspěšně vyřešit. Dobrá práce ;-). Mezi řešeními, kde jsem musel strhávat body, byly tři hlavní chyby. Zaprvé několik z vás si spletlo čtyřstěn s jiným tělesem, ať už to byl čtyřboký jehlan nebo dokonce nějaký rovinný útvar. To se občas stane, ale abyste mohli úlohu úspěšně vyřešit, je nejdříve potřeba rozumět zadání. Zadruhé někteří z vás si pořádně nepřečetli zadání a brali, že každý trojúhelník má právě jednu barvu. Potom jste ale bohužel vyřešili jen polovinu úlohy. Poslední hlavní chybou bylo, že si dost z vás neuvědomilo, že ve skutečnosti nemáme na barvení čtyřstěnu 8 barev, ale 4 dvojice barev. (Když použijeme v obarvení čtyřstěnu jednu stranu trojúhelníku, už nemůžeme použít tu druhou.) Hodně štěstí v další sérii.

Úloha č. 5

Ještě než se Jan ze snu probudil, stihl v jámě plné hadů, krys a pavouků napočítat 23 hlav a 104 nohou. A k tomu si všiml, že hadi a pavouci mají průměrně 4,8 nohy. Kolik na něj čekalo v  jámě pavouků a kolik krys?

Řešení: Označíme si počet pavouků p, počet hadů h a počet krys k. Jelikož každé z těchto zvířat má jednu hlavu, můžeme si tvrzení o hlavách převést na rovnici:

Počítáme-li, že pavouk má 8 noh, krysa 4 a had žádnou, platí:

Hadi a pavouci mají mít průměrně 4,8 noh, tedy:

Nyní stačí rovnice upravit a dopočítat všechny neznámé. Z první rovnice vyjádříme k (odečtením p+h), druhou vydělíme 4 a třetí vynásobíme p+h:

Za k dosadíme 23-p-h z první rovnice, třetí rovnici roznásobíme:

Rovnice upravíme:

Z druhé rovnice si vyjádříme h jako p-3, dosadíme do poslední rovnice a upravíme:

Dopočítáme počet hadů jako h=p-3=9-3=6 a počet krys jako k=23-p-h=23-9-6=8. V jámě tedy čekalo 9 pavouků, 8 krys (a 6 hadů).

Komentář: Skoro všichna řešení obsahovala správný výsledek. Chtěla bych pochválit ty řešitele, kteří se nespokojili se zkoušením všech možností a úlohu skutečně vyřešili (ať už pomocí rovnic nebo logickým postupem).

Otázka spíše do biologického semináře je, kolik nohou má pavouk? Ať už jste počítali s jakýmkoli počtem, uznávala jsem to jako správné řešení. Pokud bychom počítali s počtem pavoučích nohou jako další neznámou, dost bychom si ztížili práci a vyšlo by několik možných řešení.

Úloha č. 6

Všechna čísla, která si farář vypsal, byla dvouciferná a měla zvláštní vlastnost. Když kterýmkoli z nich vydělil číslo 789, dostal zbytek 9, a když vydělil 987, dostal zbytek 3. Kolik takových dvouciferných čísel existuje?

Řešení: Z vlastnosti ze zadání vyplývá, že po odečtení zbytků můžu pracovat s čísly přímo dělitelnými těmi hledanými, tj. s čísly 780 (789-9) a 975 (978-3).

Společné dělitele najdeme pomocí prvočíselných rozkladů:

Jelikož ale hledáme čísla dvouciferná, musíme mezi sebou jednotlivé dělitele vynásobit (pokud jsou obě čísla děliteli, bude i jejich násobek). Dostaneme:

což už není dvouciferné.

Dále nesmíme zapomenout na číslo 13, které je samo dvouciferné. Čísla, která splňují podmínky jsou: 13, 15, 39 a 65.

Komentář: Většina řešení byla správně, nicméně hodně z vás řešilo metodou pokus/omyl, což není úplně matematický způsob, a proto nebylo řešení hodnoceno 5 body. Někteří pak po násobení zapomněli na číslo 13, které taky splňuje zadání. Podle bodového hodnocení a počtu došlých řešení se úloha jevila celkem jednoduchou.

Úloha č. 7

Výšivka má tvar kytičky jako na obrázku a skládá se ze samých částí kružnic o poloměru 1. Jaký je její obsah?

Řešení: Tuto úlohu jste mohli řešit různými způsoby, ukážeme se tu dva nejčastější.

Přístup 1:  Všimneme si, že kytička se skládá ze dvou typů útvarů -- A a B, které jsou naznačeny na obr. vz371.

Útvary A jsou vyznačeny šedou barvou a je jich v kytičce dohromady 24, útvary B jsou ponechány bílé a je jich 18. Jak vidíme, útvary A a B dohromady tvoří rovnostranný trojúhelník o straně 2 cm. Jeho obsah lze snadno odvodit jako

Takových trojúhelníků můžeme v kytičce složit dohromady 18 a zbude nám 6 útvarů A, což jsou kruhové výseče z kruhu o poloměru 1 cm se středovým úhlem 60 \deg, takže z nich vyjde složit akorát jeden celý kruh o poloměru 1 cm, jehož obsah je

Úvahou jsme se tak dopracovali k tomu, že celá kytička má stejný obsah jako 18 trojúhelníků o straně 2 cm a jeden kruh o poloměru 1 cm, takže obsah celé kytičky je:

Přístup 2:  Do kytičky se dá jednoduše umístit 10 kruhů o poloměru 1 cm, jak je naznačeno na obr. vz372.

Pak nám zbývá otázka, jaký obsah má bílá plocha vzniklá mezi třemi kruhy. Je snadné si všimnout, že je to zbytek z trojúhelníku o straně 2 cm zmenšeného o tři kruhové výseče s poloměrem 1 cm a středovým úhlem 60 \deg, dohromady tedy polovinu kruhu s poloměrem 1 cm. Obsah tohoto útvaru tak je

Mezi kruhy je dohromady 18 těchto bílých útvarů. Snadno už teď spočítáme obsah kytičky:

Komentář: Větší část řešitelů postupovala prvním způsobem či jeho obměnami, menší, i když nezanedbatelné množství lidí si zvolilo postup druhý, u nějž však někdy narazili na problém spočítat obsah oněch útvarů mezi kruhy. Našli se i řešitelé, kteří postupovali úplně originálními cestami a pokud se v nich nezamotali, náleží jim samozřejmě také právem pět bodů. Za chyby v určování obsahu některých dílčích útvarů jsem obvykle strhával jeden až dva body podle závažnosti chyby.

Opravovali: 1. Helena Pučelíková, 2. Miroslav Koblížek, 3. Vojtěch Kika, 4. Jiří Erhart, 5. Lenka Petržilková, 6. Marie Vonzino, 7. Miroslav Koblížek.