Vzorová řešení a komentáře k 1. sérii úloh
Úloha č. 1
Na louce je velký kámen a 40 kroků od něho stojí smírčí kříž. Dříve tu prý ještě stával, přesně 90 kroků od kamene, statný dub, ale po něm už není ani památky. Kdysi prý totiž čert prozradil lakomému sedlákovi, kde je na louce zakopaný pytel zlaťáků. Řekl mu, že poklad je na takovém místě, že přesně uprostřed mezi ním a dubem stojí kříž. Když pak dodal, že je zároveň 65 kroků od kamene, sedlák se mu do očí vysmál, že přeci tuhle vzdálenost znát nemusí, když ví, kde je kříž a dub. Čerta výsměch rozzuřil, začal řádit jako pominutý a celou ves zapálil. Přitom shořel i dub, a proto si všichni mysleli, že je poklad navždy ztracený. Jan se ale domnívá, že by ho mohl najít i tak. Dokážete to také? Nakreslete mu mapku, kde by měl kopat, co krok, to milimetr.
Řešení: Zvolíme si polohu kamene (bod K) a ve vzdálenosti 40 kroků (\def\cm{\,{\rm cm}}4 \cm) od něj narýsujeme kříž (bod S). Víme, že dub kdysi stál 90 kroků (9 \cm) od kamene, tedy určitě leží na kružnici d se středem K a poloměrem 9 \cm. Podobně, poklad leží na kružnici p se středem K a poloměrem 6{,}5 \cm.
Ze zadání také víme, že kříž leží přesně uprostřed spojnice pokladu a dubu, tedy poklad je souměrný s dubem ve středové souměrnosti se středem S. Takže poklad leží také na kružnici d' souměrné s kružnicí d podle stejné symetrie, střed K' této kružnice je souměrný s bodem K a poloměr je rovný 9 \cm. Pak hledané místo s pokladem je jeden z průniků kružnic d' a p, tedy jeden z bodů P a P'.
Druhou možností je ve stejné symetrii zobrazit kružnici p, tím získáme kružnici p' a na jejím průniku s kružnicí d pak leží dub. Ten pak stačí zobrazit podle kříže a opět získáme polohu pokladu.
Komentář: Těšilo nás, že většina z vás zadání pochopila správně, ale některým jsme museli strhnout bod za absenci druhé možné polohy pokladu. Za správné řešení bez postupu jsme strhávali body 2, stejně jako za metodu pokus–omyl se 2 správnými řešeními. Za originální řešení jste měli šanci získat smajlíka. Pozor, vyhlašujeme soutěž! Řešitel s nejvíce smajlíky od nás na konci ročníku získá čokoládu. Ale smajlíky nám musíte ukázat. Tak hezky řešte.
Úloha č. 2
Obdélník o stranách 15 \times 20 se otáčí kolem své úhlopříčky. Jaký objem má těleso, které otáčením vzniká?
Řešení: K samotnému postupu – základním předpokladem bylo si správně uvědomit, jak bude výsledné těleso vypadat. Bude samozřejmě symetrické podle osy otáčení. Na obrázku vz111 vidíte, jak bude vypadat při pohledu ze strany, přičemž jsou na něm zobrazeny obě krajní polohy obdélníku. Mnoho z vás uvedlo, že vzniká válec. Jako pomůcku doporučuji vzít si sešit za protější rohy a točit s ním okolo úhlopříčky. Jde docela dobře vidět, že tyto rohy při otáčení tvoří „špičky“, tedy těleso není zaoblené jako válec.
Dále nikdy nelze přemisťovat kusy obdélníka před rotací. Obsah obdélníka zůstane zachován, ale při rotaci se poté některé kusy mohou jinak překrývat, tudíž k objemu vzniklého tělesa příspívají jinou hodnotou. Vidíme, že útvar je symetrický také podle osy E_{1}E_{2}, takže výsledný objem bude tvořen dvakrát objemem kuželu s poloměrem podstavy |FB_{1}| a výškou |FC| a dvakrát objemem komolého kuželu (často jej nazýváte „useknutý kužel“) s poloměry podstav |FB_{1}| a |GE_{1}|. Tedy potřebujeme znát tyto délky.
Nejprve z Pythagorovy věty je |AC|=\sqrt{|AB_{1}|^{2}+|B_{1}C|^{2}}=25. Dále obsah trojúhelníku AB_{1}C můžeme spočítat pomocí různých výšek v něm:
odkud
Znovu z Pythagorovy věty |AF|=\sqrt{|AB_{1}|^{2} - |FB_{1}|^{2}}=16. A konečně trojúhelníky AGE_{1} a AFB_{1} jsou podobné (mají shodné vnitřní úhly), takže
odkud
Zbývá hodnoty dosadit do vzorců pro objem kužele a komolého kužele:
Komentář: Nejprve bych se rád vyjádřil ke geometrickým úlohám obecně. Pokud je cílem úlohy něco vypočítat, je samozřejmé, že si pro sebe i pro opravujícího nakreslíte náčrtek situace. Problém je však ten, když hodnoty, které bylo potřeba vypočítat, odměříte z obrázku pravítkem nebo je necháte vypočítat nějaký program. To by zvládl každý účastník, všichni by dostali plný počet bodů a úloha by neměla smysl. Proto má u nás vždy přednost postup nebo alespoň snaha úlohu samostatně vyřešit. To se projevilo i v bodování této úlohy.
Postupů výpočtů je mnoho, používali jste také Euklidovy věty, goniometrické funkce a podobné. To je všechno správně, já si pro toto vzorové řešení vybral podle mého názoru nejsnadnější postup.
Úloha č. 3
Uprostřed lesa je velká křižovatka, kterou prochází čtyři dlouhé přímé cesty vedoucí skrz les (tzn. z křižovatky se lze vydat do osmi různých směrů). Tam, kde každá cesta opouští les, stojí ukazatel a stejný je i na rozcestí uprostřed, celkem jich je tedy devět. Cestář má v plánu ukazatele očíslovat čísly od 1 do 9, aby na žádných dvou nebylo stejné číslo. Dále by pak chtěl, aby součet čísel na ukazatelích, které potkáte, pokud budete procházet lesem přímo, libovolným směrem, byl pořád stejný. Kolik má možností, jak ukazatele očíslovat?
Řešení: Prostřední ukazatel bude společný pro každou cestu, a tedy musí být shodný součet dvojic čísel na kraji lesa každé z cest. Snadno sestavíme rovnici
kde x značí součet dvojic čísel ukazatelů na kraji lesa a y je číslo prostředního ukazatele. Rovnici upravíme:
Rovnice nám říká, že odečteme-li od součtu všech čísel číslo napsané na prostředním ukazateli, výsledek bude dělitelný čtyřmi – musí být, lesem procházejí celkem čtyři cesty a součty čísel na každé z nich mají být shodné. Snadno určíme, že jediná čísla, která splňují tuto vlastnost, jsou čísla 1, 5 a 9. Pro každé z těchto čísel jde ze zbylých čísel snadno vytvořit odpovídající dvojice se stejným součtem:
| 1 | 5 | 9 |
| 2+9 | 1+9 | 1+8 |
| 3+8 | 2+8 | 2+7 |
| 4+7 | 3+7 | 3+6 |
| 5+6 | 4+6 | 4+5 |
Už nám pouze zbývá zjistit, kolika způsoby můžeme tyto dvojice rozmístit. Zkusme si nakreslit obrázek (obr. vz131).
Ukazatel uprostřed lesa očíslujeme například číslem 1. Zkusme umístit dvojici čísel 2 a 9. Máme celkem osm možností, který z ukazatelů na kraji lesa očíslujeme číslem 9, číslem 2 pak musíme označit ukazatel na druhém konci cesty. Pro další dvojici čísel (3 a 8) už máme jen šest možností, jaké ukazatele jimi můžeme očíslovat (tři ukazatele už očíslované máme, pro 8 máme šest možností, kam ji umístit, a číslo 3 musíme napsat naproti číslu 8). Pro dvojici čísel 4 a 7 nám stejným postupem zbudou jen čtyři možnosti a pro poslední dvojici 5 a 6 zbudou jen dvě možnosti na očíslování. Celkem máme 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 384 možností. Ukazatel uprostřed lesa můžeme očíslovat třemi čísly, pro každé máme 384 možností na očíslování ostatních ukazatelů, tedy celkem máme 3 \cdot 384 = 1\,152 možností.
Komentář: Spoustě z vás se podařilo úlohu správně vyřešit, jiné úloha trochu trápila. Častou chybou bylo, že jste sice správně spočítali (nebo jen úvahou zjistili), která čísla můžete použít na očíslování ukazatele uprostřed lesa, ale už jste neřešili, kolika způsoby můžete očíslovat zbylé ukazatele. Takováto řešení byla ohodnocena třemi body. Body jsem strhávala i za absenci komentáře. Dost z vás nijak nekomentovalo své řešení, někteří jen nakreslili obrázek. Příště napište, co a jak vlastně počítáte, usnadníte nám opravu řešení a lépe ukážete svůj myšlenkový postup.
Úloha č. 4
Pan učitel měl na tabuli napsanou soustavu příkladů:
Které číslo z čísel a, b, c je nejmenší?
Řešení: Nejdříve si vyjádříme jednotlivé proměnné z prvních dvou rovnic tak, aby se daly dosadit do třetí rovnice:
| a+b=1 | \rightarrow | a=1−b, |
| 2b+c=2 | \rightarrow | c=2−2b, |
| 2c−a=3 | \rightarrow | 2\cdot (2−2b)−(1−b)=3. |
Poté dopočítáme ze třetí rovnice (ve které nám zbyla už jen jedna proměnná) hodnotu proměnné b:
Nyní když máme hodnotu proměnné b, můžeme dopočítat zbylé proměnné dosazením do původního vyjádření:
| a=1−b | \rightarrow | a=1, |
| c=2−2b | \rightarrow | c=2. |
Když už máme hodnoty všech proměnných, nezbývá nic jiného, než je porovnat a zjistit, která je nejmenší:
Nejmenší hodnotu má proměnná b.
Komentář: Body jsem nejvíce strhával za uhodnuté výsledky, poté za řešení, která nepočítala se zápornými nebo desetinnými čísly.
Úloha č. 5
Do kroužku se postaví 15 dětí a nejstarší z nich začne říkat rozpočítadlo: „U potoka roste kvítí, jmenuje se petrklíč, na koho to slovo padne, ten musí jít z kola pryč.“ Na první slabiku ukáže na dítě po své pravici a na každou další se pak posune o jednoho dál. Ten, na koho ukáže při slově pryč, musí opustit kroužek a znovu rozpočítávat začne ten, kdo stál po pravé ruce vypadnuvšího hráče. Poslední rozpočítávání probíhá mezi dvěma hráči. Kolikrát za celou hru se stane, že rozpočítávající ukáže sám na sebe?
Řešení: Říkanka má 30 slabik, a aby rozpočítávající ukázal sám na sebe, musí obejít celé kolo. To znamená, že budeme hledat dělitele 30. Těmito děliteli jsou čísla 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 a 30. Pokud totiž je výsledek vzorce počet slabik/počet dětí desetinné číslo, pak na sebe rozpočítavající neukáže. Jelikož dětí je méně než 30 a pokud zůstane jen jeden člověk, vyhraje a nerozpočítává sám sebe, proto 1 a 30 vyškrtneme. Pak nám vyjde, že sám sebe vyřadí šestkrát.
K druhému řešení, kolikrát na sebe ukáže celkově, je řešení podobné. Použijeme stejný vzorec, ale tentokrát výsledek použijeme přímo, a ne jen pokud je celočíselný. Výsledek pro každý počet hráčů sečteme bez přihlédnutí na desetinné číslo. Tak nám vyjde, že na sebe za celou hru ukáže 66krát.
Komentář: Většina z vás pochytila pouze jeden význam zadání. V příkladu byly však dva, a to kolikrát na sebe ukáže tak, aby vypadl, a také kolikrát na sebe ukáže celkově za celou hru. Pokud jste měli správně alespoň jeden význam, pak jsem udělovala 4 body. Pokud byl výsledek, ale nebylo vysvětlení, pak jsem samozřejmě další bod strhávala. V případě, že byl výsledek špatný, tj. pokud jste napočítali jiný počet slabik, pak jsem to nebrala jako chybu, ovšem pokud to nebylo odůvodněné, mohla jsem udělit maximálně jeden bod. Plný počet jsem dávala za správnou myšleku (a to i za grafické řešení) a obě řešení.
Úloha č. 6
Z psaní byl průměr známek všech žáků přesně 1{,}1\overline{3}, z počtů byl průměr přesně 1{,}5. Kolik nejméně žáků dostalo z obou předmětů jedničku? (Možné známky jsou 1, 2, 3, 4, 5.)
Řešení: Vzorové řešení podle Fandy Záhorce:
Převedeme aritmetický průměr z předmětů na zlomky v základním tvaru a zjistíme nejmenší společný násobek jmenovatelů (žáků potřebných k danému průměru), tedy nejmenší možný počet žáků:
Nejmenší společný násobek jmenovatelů je 30. Nyní víme, kolik je nejméně žáků. Aby bylo co nejméně jedniček, nesmíme dávat známky vyšší než 2, protože zaberou více místa v čitateli, ale stejně ve jmenovateli a bylo by více jedniček. Horších známek než 1 (nejlépe dvojek) nemůže být více, než o kolik je vyšší čitatel než jmenovatel. Dále si převedeme zlomky na nejmenší společný jmenovatel, tedy na 30 a určíme, kolik je z kterého předmětu nejméně jedniček.
Psaní: 17/15=34/30 \rightarrow maximálně 4 dvojky \rightarrow jedniček 26 (30 - 4).
Počty: 3/2=45/30 \rightarrow maximálně 15 dvojek \rightarrow jedniček 15 (30 - 15).
Aby bylo jedniček z obou předmětů co nejméně, musí co nejvíce těch, kteří dostali jedničku z jednoho předmětu, dostat horší známku (v tomto případě dvojku) z druhého předmětu. Patnáct žáků, kteří dostali jedničku z psaní, dostalo dvojku z počtů \rightarrow nejméně 11 (26 - 15) žáků dostalo jedničku z obou předmětů. Stejně to vyjde i opačně; ti 4, kteří dostali jedničku z počtů, dostali dvojku z psaní \rightarrow tedy 11 (15 - 4) žáků dostalo jedničku z obou předmětů. Nejméně 11 žáků dostalo z obou předmětů jedničku.
Komentář: Spousta z vás počítala s dříve uvedenými 15 žáky. Nikde nebylo řečeno, že jsou to žáci všichni. Čtěte pořádně! Dále se častokrát vyskytlo řešení, kde každou písemku psal jiný počet žáků. To už je samo o sobě dost podezřelé. Nebo třeba neodůvodněné tvrzení, že obě jedničky minimálně nedostal žádný žák. Víc univerzální tvrzení si lze jen těžko představit. Též spousta z vás napsala jen výsledek bez postupu... Každopádně jsem hodnotila celkem mírně a chválím ty, kteří se nějakým podobným způsobem jako Fanda dostali až k cíli.
Úloha č. 7
Představme si, že je Země dokonalá koule o poloměru \def\km{\,{\rm km}}6\,399 \km a že by se Janovi povedlo dostat do výšky 2 \km nad povrchem a odtud se rozhlížet. Jak daleko by od něj byly nejvzdálenější body na povrchu, které by mohl vidět?
Řešení: Jako vzorové řešení bych rád použil náčrtek Sáry Elichové (obr. vz171). Je stručný a výstižný.
Pomocí Pythagorovy věty jednoduše zjistíme délku strany x:
Komentář: Častá chyba byla, že jste si špatně přečetli zadání a počítali jste s tím, že byl Jan 2\,000 \km nad zemí. Při počítání s jednotkami si vždy dávejte pozor na jejich správný převod. Pokud příklad řešíte pouze graficky, tak to nestačí. Vždy si raději nárys ověřte výpočtem.
Za dobrou úvahu a špatný převod jednotek nebo výpočet jsem dával 3 body.
Opravovali: 1. Barbora Šmídová, Jakub Dargaj, 2. Vojtěch Kika, 3. Tereza Ptáčková, 4. Jakub Mifek, 5. Dominika Tanglová, 6. Helena Pučelíková, 7. Stanislav Veverka.
