Zadání 4. série 29. ročníku

Termín odeslání: 17. února 2014

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.


„To já jsem se zase jednou učila dějepis, snad o pravěku,“ řekla Zuzka. „Ale bylo to tak neuvěřitelně nudné, že mi písmenka začala tančit před očima a cítila jsem se, jako bych prolétávala celou historií až do toho pravěku. Octla jsem se mezi dinosaury. Lekla jsem se a utekla. Pak jsem si všimla mamutů a v tu chvíli na mě skočil takový ten pes gaučák. Podívala jsem se směrem, ze kterého pes přiběhl, a uviděla jsem louku. Pak jsem si všimla, že tam jsou snad všechna zvířata, která kdy existovala. Podivnější ale bylo, že byla ve skupinkách, v nichž byl od každého druhu právě jeden jedinec, a ty skupinky byly odděleny ploty.“

Úloha č. 1

Oplocená louka byla ve tvaru rovnostranného trojúhelníku o straně délky 2 014 sáhů rozděleného ploty na rovnostranné trojúhelníky o straně 1 sáh. Někdo po louce rozmístil značky tak, že si ve vzniklé síti vždy vybral nějaký trojúhelník, jehož všechny tři strany tvořily nějaký plot, a do jeho těžiště umístil značku, pokud v něm již značka nebyla. Kolik celkem použil značek, když takto postupně vybral všechny trojúhelníky, které na této louce vybrat lze?

„Rozhodla jsem se tedy, že se zvířat zkusím zeptat, proč jsou takhle rozdělena. Ne, vůbec mi nepřišlo divné chtít mluvit se zvířaty, a dokonce ani to, že mi odpověděla. Teda, odsekla, že je nemám rušit, že jsou zrovna na táboře, který je povinný pro všechna mláďata a že mají zrovna za úkol sestavit stroj času, aby utekla obrovskému mutantovi, který je chce všechny sežrat. V pravidlech hry stálo, že se jeden člen týmu může zeptat člena jiného týmu, ale stejného druhu, jako je on sám (takže např. šimpanz se může ptát jen šimpanzů, krokodýl krokodýlů, ...), na jednu otázku ohledně jejich stroje času, ale jenom tehdy, když přistihne tázaného protivníka ležícího. Musí jej ale vidět celého. “

Úloha č. 2

Jednomu gorilákovi se povedlo načapat krásnou gorilu ležící a odpočívající. Měřila 170 cm a ležela rovnoběžně s plotem rozdělujícím území obou týmů. Naneštěstí 3 m od ní stál rovnoběžně s průhledným plotem jejich stroj času dlouhý 4{,}3 m a od plotu vzdálený 10 m. Jakou nejkratší vzdálenost a kam musel gorilák ujít, aby viděl celou gorilu, stál-li přesně v ose ležící gorily a stroje času? (Přes plot samozřejmě přelézt nemohl, ale po území svého týmu a podél plotu se mohl pohybovat libovolně.)

„Protože nebyla moc příjemná, chtěla jsem od nich odejít, ale všimla jsem si zajímavé věci: součástky na stroje času k nim dopravovaly vlaky. Šla jsem tedy kousek po kolejích, že tam třeba najdu civilizaci. Vtom jsem ale uslyšela vlak. A protože vlaky zbožňuju, musela jsem si na ten vlak počkat a naskočit.“

Úloha č. 3

Zuzka odhadla, že vlak, který odjížděl od týmů -- ten, na který naskočila, jel rychlostí cca 90 km/h. V protisměru jej míjel vlak, který, jelikož byl plný součástek, jel jen 54 km/h a okolo Zuzky profrčel za 12 s. Jak dlouhý byl vlak plný součástek a jak dlouho se vlaky míjely (tzn. alespoň část vlaků byla vedle sebe), jestliže Zuzka zjistila, že její vlak měřil 80 m?

„Když už mě začaly bolet ruce z držení, seskočila jsem a usmyslela jsem si, že když zvířata zvládnou sestrojit stroj času, já to zvládnu taky. Šla jsem se tedy porozhlédnout po okolí po nějakých součástkách a přitom jsem přemýšlela, jak takový stroj času sestrojit, a taky o tom, jak by tak mohla vypadat taková obrovská mutantí příšera. Napadaly mě různé podoby, ale nic mi nepřišlo tak hrůzné, aby se před tím muselo utíkat do jiné doby. Vzdala jsem tedy přemítání nad příšerou a začala jsem pořádně přemýšlet o tom, jak sestrojím svůj stroj času. Všechno jsem si to v hlavě krásně vymyslela a věřila jsem, že to takhle vyjde, takže jsem mohla začít uvažovat o tom, jak ho ozdobím. A protože ze všech geometrických útvarů mám nejraději trojúhelník, rozhodla jsem se, že ho pomaluju trojúhelníčky.“

Úloha č. 4

Zuzka se rozhodla, že jako první nakreslí trojúhelník ABC o obsahu 1 m^2. Potom si řekla, že si zobrazí jeho těžiště T ve středové souměrnosti podle středu těžnice t_{c} na bod T'. Jaký obsah má vzniklý čtyřúhelník ABTT'?

„Když už jsem měla vymyšlený dokonce i design svého stroje, musela jsem už opravdu začít shánět ty součástky. Jak jsem tak šla lesem, uslyšela jsem docela zajímavou melodii. Šla jsem tedy po zvuku a uviděla jsem velmi zvláštní strom. Každá větev vypadala úplně jinak. Když jsem přišla trochu blíž, zjistila jsem, že místo každé větve je jiné zvíře, a každé z nich vydává svůj obvyklý zvuk a to byla ta melodie, co jsem slyšela. Začala jsem to obhlížet a přemýšlet, jak to mohlo takhle vzniknout, když jsem si všimla zajímavé krabičky. Šla jsem k ní blíž a jala se ji prozkoumávat. Zjistila jsem, že je to krabička plná čísel a začala jsem si s ní hrát...“

Úloha č. 5

Do krabičky se dalo hodit kterékoli celé číslo a z krabičky naopak nějaké celé číslo vypadlo. Když do ní Zuzka opakovaně hodila stejné celé číslo, číslo, které vypadlo, bylo vždy stejné a kladné. A pak si všimla ještě jedné vlastnosti. Když do krabičky vhodí součet dvou čísel x a y, tak číslo, které z ní vypadne, je stejné jako součin čísla, které vypadne při vhození x, s číslem, které vypadne při vhození y. Určete, jaká všechna čísla mohla vypadnout z krabičky a proč, když do ní Zuzka vhodí číslo 2 014.

„... když tu mě najednou něco kouslo. Vyděsilo mě to skoro až k smrti! Ale bylo to jenom malé koťátko s velkýma očima a mňouklo: Rychle odsud uteč, zachraň aspoň sebe! Nám už není pomoci, my už budeme navěky součástí toho mutanta, ale ty se nesmíš nechat chytit“

„A v tu chvíli chňap! Chytila mě ruka vyšklebeného orangutana s velkýma rudýma očima. Snažila jsem se vysmeknout, ale nešlo to. Tahala jsem, vzpírala jsem se, snažila jsem se mu tu ruku otevřít, ale on ne a ne povolit. Ale koťátko mi pomohlo a kouslo orangutana do ruky, takže jsem se mu vysmekla a rozběhla jsem se zachránit nic netušící táborníky. Celou cestu jsem za sebou cítila ten podivný strom, jakoby se hýbal, ale raději jsem se ani neotáčela. Doběhla jsem na louku a snažila se zvířata přesvědčit o blížící se hrozbě, ale nevěřila mi. Je to přece jen výmysl jejich vedoucích. Někteří si dokonce hráli karty, protože se jim nechtělo dodělávat ty stroje času.“

Úloha č. 6

Oni vlastně nehráli karty, ale ukazovali si různé karetní triky a předváděli se. Krokodýl se žábou řekli lvovi: „Vyber nám libovolných 6 karet z tohohle balíčku s padesáti dvěma žolíkovejma kartama, jeden z nás si je prohlédne a tomu druhému postupně ukáže pět z nich. A ten druhý potom jenom podle těch pěti karet uhodne, jaká je ta šestá.“ Lev jim nevěřil, že to zvládnou, ale pokaždé se jim to povedlo. A to není všechno! Žába s krokoušem tvrdili, že jim stačí jen 5 karet -- tedy že postupně odkryjí 4 karty a druhý z dvojice správně tipne pátou kartu. Jak to naši dva zelení kamarádi v obou případech mohli provést? Mohlo se jim to povést, nebo to není možné a museli podvádět?

„Až když viděli toho mutanta, který mě opravdu pronásledoval, uvěřili mi a začali utíkat do jeskyně. Nechte to tady, vykašlete se na ten pitomý stroj času, pojďte se honem zachránit“ křičela jsem na tým, který pokračoval v práci.

„Protože mě ale neposlouchali, rozběhla jsem se k nim, že je do toho bezpečí alespoň odtáhnu. Sotva jsem se dotkla jednoho z nich, ozvalo se LUP! První, co mě napadlo, bylo, že už je ten mutant připojuje k sobě. Ale když jsem se rozhlédla, všimla jsem si, že celé pravěké prostředí zmizelo. Oni ten stroj času stihli dodělat a fungovalo to“

Úloha č. 7

Zuzka posléze zjistila, že hlavní hnací silou tohoto stroje času byli dva pískomilové zavření každý ve svém výběhu, kterým byl uzavřený tunel, jehož chodby tvořily strany čtverce. Oba čtverce měly společný střed a jejich strany byly dlouhé 2 a 4 m. Menší byl vůči většímu otočen o 45°. Prvního pískomila umístil tým do pravého horního rohu většího výběhu, druhého do horního rohu menšího výběhu. Aby stroj mohl fungovat, museli pískomilové běhat pořád dokola po hranici výběhu stálou rychlostí 1 m/s. Další podmínkou pro fungování stroje byl směr obíhání. Pískomil z většího výběhu musel běhat po směru hodinových ručiček a jeho kamarád v menším výběhu proti směru hodinových ručiček. Jak nejblíže se k sobě umí pískomilové dostat a za jak dlouho se to stane nejdříve?