Zadání 3. série 29. ročníku
Termín odeslání: 13. ledna 2014
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
„To mně se zase jednou zdálo, že jsem usínal a čím blíž jsem byl spánku, tím jsem byl menší, až jsem skončil jako jedna z postaviček na mém povlečení,“ řekl Tom. „Spali jsme někde na chatě a jediné použitelné povlečení bylo s trpaslíky a zvířátky. Když jsem se změnil v jednoho z trpaslíků, ostatní si mě nejdřív nedůvěřivě prohlíželi a povídali si o tom, kdo jsem, kde jsem se tam vzal, co se mnou mají dělat apod. Potom přede mě předstoupil jeden z nich, vypadal jako nějaký mág a řekl mi, že pokud vyřeším příklad, nad kterým oni bezvýsledně přemýšlí už několik let, nechají mě žít a přijmou mě mezi sebe.“
Úloha č. 1
Máme číslo 91 583 472. Kolika způsoby můžeme škrtnout právě dvě cifry, aby výsledné číslo bylo dělitelné třemi?
„Chvilku mi to zabralo, ale nakonec se mi to podařilo vyřešit a byl jsem přijat do skupiny. Na mou počest, za to, že jsem jim vyřešil příklad, chtěli uspořádat hostinu, jakou ještě nikdo z nich nezažil. Všichni se tedy vydali do svých domečků, že uvaří své nejoblíbenější jídlo. Většina z nich ale byla tak nadšená z vyřešeného příkladu, že zkazili snad všechno, co se dalo. Chvíli z toho sice byli smutní, ale pak někoho napadlo, že to můžeme oslavit v cukrárně.“
Úloha č. 2
„Když jsme tam dorazili, zjistili jsme, že čokoládovna Permoníček vložila do každé své čokolády speciální kupon a vlastník 5 takových kuponů dostane čokoládu zdarma. Jedna čokoláda stála 5 dukátů. Schválně, kolik jsme nechali v cukrárně peněz, jestliže jsme měli 333 čokolád?“
„To snad nemyslíš vážně, ptát se nás na tak primitivní příklad,“ řekla Zuzka.
„No jo, tak promiňte. Vrátím se teda radši zpátky k příběhu. Když jsme se všichni přejedli čokolády, svalili jsme se do trávy u řeky a odpočívali jsme. Mě ale ta jejich řeka zaujala. Ze začátku to vypadalo, že je barevně pruhovaná. Když jsem se ale připlazil blíže, zjistil jsem, že to je tím, jak tam plavou ryby. Vždycky totiž plavaly ve skupince ryby stejné barvy, jakoby rodina.“
Jeden z trpaslíků si všiml mého zaujetí, připlazil se ke mně a povídá: „Jak tu tak koukáš na ty ryby, nechceš si spočítat jeden příkladeček o rybách? Nedávno jsme to řešili v práci a tobě to počítání tak jde.“
Samozřejmě, že jsem souhlasil.
Úloha č. 3
Máme přesně 10 kg ryb, z nichž žádná neváží více než 1 kg. Kolik si na ně musíme nejméně připravit balení, když je chceme určitě zabalit všechny tak, aby v žádném balení nebylo více než 3 kg ryb?
„Když jsem to spočítal, koukl jsem kolem sebe a zjistil jsem, že už hodně trpaslíků odešlo domů. Tak jsem se vydal na cestu zpátky i se svým novým kamarádem rybářem. Když jsme přišli do osady, všiml jsem si, že trpaslíci mají ještě trpaslíčata. Několik z nich hrálo kuličky, šel jsem tedy za nimi, že si zahraju taky. V bdělém stavu mi jdou snad všechny hry, v tom snu mě ale všichni ti prťouskové porazili. Nebyl jsem z toho nijak nadšený, ale oni začali skákat a tančit. Všichni až na jednoho. Ten se snažil všechny ty vyhrané kuličky dát do krabičky, aby se mu nepoztrácely. A já mám pro vás trošku počítání.“
Úloha č. 4
„Trpaslíček měl krabičku 8 \times 8 \times 1 a kuličky o průměru 1. Kolik nejvíc kuliček se mu vejde do krabičky?“
„A budou v tom tvém snu někdy i těžší příklady, nebo pořád jen takové banality?“ zeptal se Marek.
„Budou, neboj. Za chvilku. Od těch jásajících dětí jsem raději utekl, byly docela hlasité, a zastavil jsem se u dětí, které se bavily kreslením do písku. Přisedl jsem k nim a zamyslel jsem se. Když jsem se ze zamyšlení probral, zjistil jsem, že jsem pořád dokola kreslil trojúhelník.“
Úloha č. 5
V písku jsou zapíchnuté tři klacíky tak, že neleží na jedné přímce. Úkolem je sestrojit trojúhelník tak, aby klacíky byly paty jeho výšek. Dokážeš ho sestrojit ty?
„Nevím, proč jsem to dělal, a ani jsem neměl čas to zjistit, protože se najednou zatáhla obloha. Všichni začali s křikem utíkat, a když jsem se jich zeptal, co se děje, jenom zaječeli a ukázali rukou nad sebe. Zvedl jsem hlavu a uviděl jsem obrovského medvěda. Najednou jsem nebyl schopný pohybu, jak jsem se bál. Medvěd pak došlápl tlapou doprostřed osady, sehnul se a začal si vybírat svou oběť. Jelikož jsem nestihl utéct, vybral si mě a odnesl si mě do doupěte.“
Úloha č. 6
Medvědovo doupě nebylo v jeskyni, ale byla to obrovská krychle na kuří nožce pomalovaná třemi různými barvami. Kolika různými způsoby jde obarvit stěny doupěte tak, aby každou barvou byly obarveny právě dvě strany? Obarvení, která se liší jen otočením, jsou stejná.
„Pak mi řekl, že mu budu několik let sloužit. Co jsem mohl dělat, uklízel jsem v medvědově doupěti, česal jsem mu kožich, obstarával jídlo a bůhví co všechno ještě. Po deseti letech služby mi řekl: 'Dobře jsi mi sloužil. Za odměnu ti dám možnost na přežití. Spočítáš-li přetěžký příklad, nechám tě jít. Pokud ale neuspěješ, sežeru tě.' Musel jsem se pokusit to vypočíst. Měl jsem ale takový strach, že neuspěju, že jsem to nezvládl. Zajímalo by mě, jak dopadnete vy.“
Úloha č. 7
„Medvěd mi zadal takovýto příklad: Magická čísla jsou dvojciferná a mají zvláštní vlastnost. Každé magické číslo je rovno součtu své číslice na místě desítek a druhé mocniny své číslice na místě jednotek. Která čísla to jsou?“
„No, tak konečně tu máme zajímavější příklad. Než ho ale začneme řešit, ukončeme tvůj sen. Předpokládám, že ses probudil ve chvíli, kdy tě vhodil do tlamy, že?“ řekla jsem.
