Zadání 2. série 29. ročníku
Termín odeslání: 2. prosince 2013
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
„Koukám, že nejsem jediný, kdo má divné sny,“ řekl Matěj, aniž by přestal na kytaru vybrnkávat tichou melodii. „Když jsme se s rodiči přestěhovali do nového bytu, zdál se mi první noc dost divný sen. Pořád doufám, že se nikdy nesplní. Začínal docela normálně, spravoval jsem si kolo. Při tom jsem se bavil tím, že jsem počítal zuby na převodech.“
Úloha č. 1
Zjistil jsem, že převody A, B, C na předním talíři mají postupně 44, 32 a 22 zubů, zatímco na zadním talíři mají převody U, V, W, X, Y, Z postupně 14, 16, 18, 21, 24 a 28 zubů. Dokážete vypočítat, který z převodů AZ, BX, CU je nejlehčí?
„Dám vám chvilku na přemýšlení, musím si vzpomenout, jak to vlastně pokračovalo.“
„Už to mám“
„No jo, Ondra, naše hlavička. Vyřešil jsi to akorát včas, zrovna jsem si vzpomněl, jak to pokračovalo. Když jsem si spravil kolo, sedl jsem si na něj, že se projedu. Jel jsem neznámými prázdnými ulicemi lemovanými na jedné straně škaredými šedými krychlemi a na druhé nádhernými stromy s podzimními listy. Korunami stromů docela zajímavě procházely sluneční paprsky. Koukal jsem po těch barvách a hře paprsků tak moc, že jsem si nevšiml výmolu v cestě, najel jsem do něj a pak jsem padal. A tady se ten sen zvrhl. Padal jsem příliš dlouho. Jako bych byl Alenka padající do říše divů. Ale dopadl jsem do obrácené země. Lidé tam chodili hlavou dolů, nebe a země byly prostě naopak. Když jsem se trochu vzpamatoval po tom pádu, zeptal jsem se tamního domorodce, kde to jsem, a ten mi prozradil, že jsem na létajícím ostrově. Za normálních okolností tam prý chodí stejně jako my, nikoliv jako protinožci, ale nějak se jim pokazilo řízení a celý ostrov je vzhůru nohama. Taky mi řekl, že jsme kousek od hlavního města jedné ze tří provincií, města Ango. Slíbil mi, že mě tam dovede, ale pak už budu ponechán napospas svému osudu. Souhlasil jsem a vydali jsme se na cestu. Vyprávěl mi při tom, jak to na ostrově funguje, kdo ho řídí, jak to tam vypadá, ...“
Úloha č. 2
„Dozvěděl jsem se, že přes ostrov vedou jenom tři velké přímé cesty. Ty se potkávají v jednom bodě a na každé z nich leží jedno z hlavních měst provincií. Průvodce mi dal mapu, kde bylo město Ango a tyto tři cesty nakreslené, a řekl, že křižovatka těchto cest je těžištěm trojúhelníku, jehož vrcholy jsou tři hlavní města. Nemůžu si vzpomenout, jestli jsem z těchto informací do mapy dokázal zakreslit Bango a Cango, hlavní města ostatních provincií. Můžete mi říct, jestli se mi to mohlo podařit? Pokud ano, jak jsem to udělal?“
„No jasně, že váháš. Dej mi minutku a hned ti to řeknu,“ řekl Tom.
„Díky, Tome. Mezitím budu pokračovat ve snu, nevadí? Když jsme došli do Anga, poděkoval jsem průvodci a šel jsem do města. Ulice ale byly liduprázdné. Jediné, co jsem tam viděl, byl malý duhový míček. Všiml jsem si ho jen díky tomu, že ve slunci nádherně zářil. Vzal jsem ho do ruky, že si alespoň budu mít s čím hrát, když jsem si nemohl s nikým povídat. Ale ve chvíli, kdy jsem ten míček zvedl do ruky, začal s písničkou. Zpíval o strašné tragédii, která se tam kdysi přihodila. Bývalo to prosperující město plné umělců, kouzelníků, potulných kejklířů, kyklopů, lykantropů, kentaurů a bůhví čeho všeho ještě. Pak se ale jednomu kouzelníkovi nepovedlo kouzlo a všichni se změnili v duchy. Když písnička skončila, míček cinkl, zprůhledněl a uvnitř se ukázal jehlan.“
Úloha č. 3
„Měl jsem jehlan ABCDV s obdélníkovou podstavou. Koule, což byl ten míček, opsaná jehlanu měla střed v podstavě. Jak velký byl úhel AVC?“
„Tak já se nad tím zamyslím a Tom nám mezitím řekne řešení minulého příkladu, co ty na to?“ řekla jsem.
Tom nám tedy řekl, co vypočítal, a Matěj pokračoval ve vypravování.
„Když jsem spočítal snad všechno možné ohledně jehlanu a jemu opsané kouli, přál jsem si, abych mohl vidět ostrov v celé jeho kráse. A vnitřek míčku se zase změnil, teď ukazoval model létajícího ostrova. Mohl jsem si to přiblížit a oddálit pouhou myšlenkou, jak jsem chtěl, a všiml jsem si, že na ostrově jsou koleje, které vypadají skoro jako dětská stavebnice.“
Úloha č. 4
„Ostrovní železnice byla tvořena rovnými kolejnicemi o délce 1 m a také čtvrtkruhovými zatáčkami o poloměru 1 m. Mohla být na ostrově vytvořena uzavřená dráha, když měli stavitelé k dispozici neomezeně rovných kolejnic, ale použili přesně 1021 zatáček?“
„Pfr, jednodušší příklad už tam nemáš?“ zeptal se Marek.
„Když jsem si prohlédl model ostrova, rozhodl jsem se, že najdu nádraží a pojedu se podívat do jiného města. Jak jsem tak šel kolem těch prázdných domů, všiml jsem si, že jsou na nich nakreslené karty. Snažil jsem se přijít na to, proč to tehdejší obyvatelé takhle udělali, ale nic mě nenapadlo.“
„Promiň, že ti do toho skáču,“ řekla Zuzka, „ale těmi kartami jsi mi připomněl příklad, který mi kdysi zadali ve škole. Tehdy jsem se nudila v hodině dějepisu, a tak jsem zkoušela míchat karty různými způsoby. Když na to učitel přišel, za trest mi zadal takovýhle příklad.“
Úloha č. 5
Tzv. „perfektním zamícháním“ nazveme zamíchání takové, že balíček rozdělíme na horní a dolní polovinu a promícháme tak, že vždy vezmeme nejspodnější kartu z dolní poloviny a na ni položíme nejspodnější kartu z horní poloviny, a to opakujeme, dokud nepoužijeme všechny karty. Na konci tedy budeme mít balíček, kde nahoře zůstane horní karta z horního balíčku a dole dolní karta z dolního balíčku. Kolikrát musíme balíček „perfektně zamíchat“, abychom dostali původní uspořádání? Počítejte s tím, že balíček má 32 navzájem odlišných karet.
„Jo, ten příklad si pamatuju, ten jsme taky kdysi řešili ve škole! Tehdy nám dal docela zabrat. Ale zpátky ke snu. Když jsem došel na nádraží, zjistil jsem, že tam vlak jezdí jednou za den a jeden mi zrovna ujel. Napadlo mě, že bych mohl zabít čas tím, že si projdu celé město.“
Úloha č. 6
„Chtěl jsem vyjít z nádraží a projít si město (viz obr.) tak, abych každou ulicí prošel právě jednou. To však nebylo možné: abych se dostal zpátky na nádraží, musel jsem několika ulicemi projít dvakrát. Šel jsem tedy tak, aby počet ulic, kterými jsem prošel dvakrát, byl nejmenší možný. Kolik ulic to bylo?)“
„Dej mi plánek města a já ti to povím,“ řekl Ondra.
„Máš ho mít. Než jsem ale došel zpátky na nádraží, úplně se setmělo a na ulici se začali objevovat duchové obyvatelů. Míček měl ve své písni pravdu, všichni byli nějak zajímaví. Nejvíce mě zaujala trojice mága, culíkaté holčičky, která měnila barvu podle nálady, a malého kyklopa, kteří se bavili o svém věku.“
Úloha č. 7
Malý kyklop říkal: „Kdybych zestárl o tolik, kolik je nám všem dohromady, bylo by mi už 70 let.“ Na to culíkatá odpověděla: „Vážně? Tak to potom ale platí, že kdybych zestárla o 30 let já, tak by mi bylo tolik, jako kdyby tadyhle mág omládl o věk tvého dvakrát staršího brášky.“ Kolik let bylo mágovi?
„Sedl jsem si a začal jsem ten příklad počítat. Čím déle jsem počítal, tím bledší byl svět kolem mě a jakoby tam prosakovaly barvy mého pokoje. Pak jsem se probudil.“
