Zadání 1. série 28. ročníku

Termín odeslání: 15. října 2012

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.

„Další prosím,“ zvolal jsem poněkud unaveným hlasem ke dveřím, kterými právě odcházela jedna starší paní. Nevím, co se to dělo, ale dnes čekárna před mojí ordinací praskala ve švech a já už na sobě začínal cítit, že si budu brzy potřebovat odpočinout. Normálně tu bylo v dopoledních hodinách téměř liduprázdno, takže jsem většinou samou nudou skoro nevěděl, co dělat. Někdy jsem sáhl do zásuvky, vyndal z ní dřevěné kvádříky a vyzval sestřičku k zajímavé hře.

Úloha č. 1

Z kvádrů o rozměrech 3\times1\times1 se postaví věž, která má celkem devět čtvercových pater (každé ze tří kvádrů), přičemž podélné osy kvádrů ze sousedních pater jsou navzájem kolmé -- viz obrázek. Hra samotná pak spočívá v tom, že hráči střídavě z věže po jednom odebírají kvádry a dávají je stranou. Ten, po jehož tahu věž spadne, prohrává. Jako správný gentleman jsem nechával sestřičku začínat. Má někdo z nás vítěznou strategii? Kdo a jakou?

Zatímco jsem se trochu zasnil, vešel do ordinace další pacient. Byl to statný muž, který mi o sobě řekl, že je cestovatel a právě přijel z rovníkové Afriky.

„Po návratu mě začala ukrutně bolet hlava, mám skoro pocit, jako by mi ji něco zevnitř vyhlodávalo. Pane doktore, je možné, že by to byl nějaký tropický parazit?“ řekl a vrhl na mě ustrašený pohled.

V tu chvíli jsem si vzpomněl, že jsem se během studií dozvěděl o jednom bornejském kmeni, který měl podobnou zvláštní představu o jedné nemoci.

Úloha č. 2

Tamní domorodci si svůj mozek představovali jako kvádr 7\times3\times3. Věřili, že když někdo z nich sní zkažené maso, dostane se do něj brouk Persegi, který v jeho mozku vyhlodá chodbičky čtvercového průřezu, tak jako na obrázku na str. 4. Víte, jakou plochu by měl domorodcův mozek po útoku brouka Persegi?

Samozřejmě, že představa domorodců je poněkud mylná, protože bylo zjištěno, že je trápí jedna vzácná forma meningitidy. Napadlo mě, že podobný problém by právě mohl mít i můj pacient, a proto jsem mu doporučil, aby se ke mně odpoledne stavil na odběr likvoru. A aby neodcházel s prázdnou, namíchal jsem mu roztok na tlumení bolesti.

Úloha č. 3

Smíchal jsem v kádince 1 pintu stoprocentního přípravku s 2/3 pinty třicetiprocentního přípravku, který jsem měl ve skříňce od předchozího dne. Poté jsem trochu tohoto roztoku odlil pro kontrolu do zkumavky, ale zjistil jsem, že je stále příliš koncentrovaný. Proto jsem roztok v kádince dolil destilovanou vodou na původní množství. Tím jsem dosáhl koncentrace 61,2 procenta, která byla úplně ideální. Jaké množství roztoku jsem odlil ke kontrole do zkumavky?

Jeden pacient odešel a druhý zase přišel. A tak se střídali v mé ordinaci až do pozdního odpoledne, kdy konečně odešel i ten poslední. Zbývalo mi už jenom uklidit polici plnou lahviček a konečně jsem mohl vyrazit na oběd.

Úloha č. 4

Lahvičky, ve kterých jsem dostával fyziologický roztok, mi z lékárny dodávali po sadách, v nichž bylo velké množství lahviček vzestupně očíslovaných. Do lahvičky č. 1 a č. 2 se vešel stejný objem roztoku, do každé následující se vešlo přesně tolik roztoku, jako do předchozích dvou dohromady. Na polici mi teď stála stará sada lahviček, z nichž byly plné č. 1, 4 a 5, a nová sada, kde byly plné č. 1, 2, 4 a 5. Roztoky ze všech lahviček bych teď chtěl popřelévat tak, abych mohl všechny staré vyhodit a abych měl nových naplněných co nejméně. Zároveň však nechci mít žádnou lahvičku plnou jen zčásti. Do kterých lahviček mám roztoky slít? A do kolika lahviček č. 1 by se vešel všechen fyziologický roztok, který mám na polici?

Konečně jsem mohl odejít na tolik očekávaný oběd. Vyšel jsem z ordinace a zabočil doprava. Na protějším chodníku stáli dva strážníci, ale nevšímal jsem si jich. Daleko více moji pozornost upoutala nová dlažba na náměstí.

Úloha č. 5

Náměstí nyní pokrývaly čtverce poskládané z obdélníkových dlaždic. Největší čtverce, kterými by bylo možné dlaždici přesně pokrýt, by měly stranu 6 palců. Čtverce, které byly z dlaždic vyskládané, byly naopak nejmenší možné, které se z nich daly poskládat, a měly stranu 36 palců. Víte, kolik čtverečních palců je plocha jedné dlaždice?

Vešel jsem do obchůdku na rohu Chadwick Market a objednal si tu fish and chips. Za chvíli už jsem zase spokojeně odcházel, drže v rukou mastný novinový balíček. V tu chvíli ke mně ale z obou stran natěsno přistoupili dva strážníci.

„Jste doktor Harry Wilkins?“ zeptal se mě jeden a hrubě mě chytl za paži.

„Ano, jsem,“ odvětil jsem překvapeně. „Co ode mě potřebujete? Přece jsem nic neprovedl.“

„To si s dovolením vyřídíme až na stanici,“ umlčel mě druhý a v tu chvíli na moji ruku doklapla pouta.

Vůbec jsem netušil, co se to děje, ale necítil jsem se dobře. Vedli mě jako nějakého zločince přes celé náměstí.

Úloha č. 6

Na Chadwick Marketu se mezitím čile obchodovalo. Bylo to hlavní místo v celém Londýně, kde mezi sebou farmáři a chovatelé obchodovali s husami, slepicemi a králíky. A aby podvodníci neměli šanci, byly pevně stanovené ceny těchto tří zvířat. Ceny byly v kladných celých librách a žádné zvíře nestálo víc než 30 liber. Od jednoho známého jsem se doslechl, že kdybych koupil 5 slepic a 3 králíky a prodal 5 hus, neprodělal bych na tom. Pokud koupím 1 husu a 1 slepici a prodám 4 králíky, vydělám minimálně 1 libru. Kdybych ale koupil 2 husy, 9 králíků a prodal 8 slepic, prodělám maximálně 3 libry. Jaký nejmenší počet zvířat a kolik kterých bych si s sebou musel přinést, abych obchodováním na Chadwick Marketu získal alespoň 10 liber?

Posteskl jsem si, jaké krásné starosti farmáři mají. Já samozřejmě žádná zvířata nechovám, a proto s nimi ani neobchoduji. Namísto toho teď kráčím náměstím v poutech doprovázen dvěma strážníky jako nějaký zločinec.

Na stanici se mě znovu pro jistotu přeptali na jméno a poté mě usadili ke stolu v jedné místnosti. Prý mám chvíli počkat, než přijde konstábl. Hodiny za mnou tikaly do ticha a já čekal, co proti mně vznesou za obvinění. Seděl jsem klidně a upíral svůj zrak na znak na stěně.

Úloha č. 7

Náhle za mnou klaply dveře. Neotočil jsem se. Naschvál ne. Jenom se za mnou ozvalo hlubokým hlasem: Jsem opravdu zvědavý, doktore Wilkinsi, jak mi to vysvětlíte...