Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.

Úloha č. 1

V ulici bylo několik stavebních parcel vedle sebe a na šesti z nich už stály domy, které měly čísla 1 až 6. Nemohl jsem si nevšimnout toho zvláštního uspořádání, že vždy od domu s číslem n byla parcela o n míst vlevo i vpravo volná (tedy pokud tam vůbec nějaká taková parcela byla). Zároveň mě napadlo, že je zde nejmenší možný počet parcel, pro které to může platit. Dokážete říct, kolik bylo ve Westfield Street parcel a jak mohlo kupříkladu vypadat rozmístění domů? Proč jich nemohlo být méně?

Řešení: Domy nemohou být přímo vedle sebe -- triviálně kvůli domu čp. 1, který s žádným domem nesousedí. Domy budou tvořit sousedské skupiny; mezi skupinami budou prázdné parcely. Dům čp. 1 bude vždy oddělen od ostatních domů. Dům čp. 2 bude ve skupině nejvýše s dvěma dalšími domy. Domů je šest, to znamená, že v této ulici budou nejméně tři samostatné skupiny domů, oddělené vždy alespoň jednou parcelou. Uvažuji jednu jednočlennou skupinu s domem 1, jednu tříčlennou s domem 2 a jednu dvoučlennou. Z této úvahy je nejmenší počet parcel osm -- šest zastavěných a dvě nezastavěné. Nyní stačí jen ukázat alespoň jedno řešení s osmi parcelami.

Pokud si označíme parcely čísly od 1 do 6 a znak x symbolizuje prázdnou parcelu, pak výsledné rozložení domů bude vypadat takto:

Komentář: Nutnou podmínkou k získání dobrého bodového ohodnocení bylo pochopení úlohy. Stavební parcely jsou v ulici a vedle sebe. Mnoho z vás z textu vyčetlo, že například kolem domu čp. 3 nesmí stát žádný soused tři parcely nalevo ani napravo, což zadání rozhodně netvrdí. Říká se jen, že jedna parcela nalevo a jedna napravo, obě právě o tři místa vzdálená od domu čp. 3, jsou prázdné. Za správné vyřešení úlohy za tohoto mylného předpokladu jsem dával dva body. Mnoho z vás napočítalo více parcel, než bylo nutné. Většinou jste na tato řešení přicházeli jen zkoušením. U tohoto bych zdůraznil, že otázka „Proč jich nemohlo být méně?“ k vám nebyla směřována, abyste měli víc práce, ale abyste si i vy sami ověřili, že je váš výsledek správný. Jen ti z vás, kteří ukázali, že jich skutečně nemohlo být méně než osm, a zároveň uvedli alespoň jeden příklad umístění domů na osmi parcelách, dostali zaslouženě plný počet bodů. Z řešitelů bych vyzdvihl Dominika Krasulu, který předvedl doslova vzorové řešení.

Úloha č. 2

Náš pekař má tady v Summerflow jenom stálé zákazníky. Dvě třetiny z nich si u něj kupují chleba, tři pětiny všech zákazníků kupují housky. Navíc šestina z těch, co si kupují housky, si koupí ještě rohlíky, avšak pouze rohlíky si kupují jen dva lidé. Dále vím, že 35,\% lidí, kteří si k pekaři chodí pro chleba, si u něj housky nekupuje. Také mi prozradil, že lidí, kteří si u něj nekupují rohlíky, je o 9 víc než těch, kteří si od něj berou chleba, a že lidí, kteří si u něj kupují pouze chleba, je stejný počet jako dohromady lidí, kteří si kupují pouze chleba a rohlíky, a těch, již si kupují pouze housky a rohlíky. A ještě ti prozradím, že má i 13 takových zákazníků, jako jsem já, kteří si u něj nekupují žádný z těchto tří druhů pečiva, ale chodí k němu jenom pro koláče. Navíc všichni, kdo kupují koláče, nekupují nic jiného. Dokážeš mi teď z toho říct, kolik lidí si od našeho pekaře kupuje chleba, housky a rohlíky zároveň?

Řešení: V této úloze bylo vhodné použít Vennův diagram, tedy grafické znázornění průniku množin prvků. My jsme použili průnik tří množin (jako na obrázku).

Z Vennova diagramu vidíme, že chléb je a+b+e+f, housky jsou b+c+f+g, rohlíky jsou e+f+g+h a koláče jsou d. Dopracovat bychom se chtěli k oblasti f, kam spadají ti, co kupují chléb, rohlíky i housky.

A dále ze zadání víme:

Jednotlivé rovnice si upravíme a dosadíme d a h. Vyjde nám:

Dosadíme a z posledního vztahu, tedy a=e+g. Upravíme:

Z poslední rovnice dosadíme c=f+e-4:

Z první rovnice dosadíme do ostatních vztahů b:

Z druhé rovnice si vyjádříme g, tedy g=4e+9-6f a dosadíme do ostatních rovnic:

Nyní si z rovnice (**) vyjídříme e, tedy e=f+2. Dosadíme do rovnice (*) a vyjde nám kýžená oblast f: 15f+30=21f-18, tedy f=8.

Oblast f je průnik všech tří množin, tedy oblast, do které spadají lidé, kteří si kupují jak rohlíky, tak housky a taky chléb.

Housky, chléb i rohlíky si kupuje celkem 8 lidí.

Z údajů v zadání se dá lehce vypočítat, kolik bylo zákazníků celkem, i když se nás na to otázka přímo netáže. Pokud si a+b+c+d+e+f+g+h označíme například n, tak z údajů v zadání uvedených víme, že n=3/5n+2+0,35 \cdot (2/3)n+13. Z této rovnice nám vyjde že n, tedy celkový počet zákazníků, je 90.

Komentář: Do vzorového řešení jsem připsala i možnost vyřešení jedné rovnice, z které zjistíme, kolik bylo celkem zákazníků. Sice se nás na tuto otázku nikdo v zadání neptal, přesto jsem všem z vás, kdo jste měl alespoň tuto rovnici, dala 2 body, a to proto, že jste evidentně pochopili zadání a dokázali napsat alespoň jednu rovnici. Pokud jste měli nějaký náznak postupu, jak se dostat k oblasti f, dala jsem další bod navíc. Plno z vás špatně pochopilo zadání, a tedy si špatně zformulovalo jednu či více rovnic a příklad vám tedy nevyšel. Kdo jste měl alespoň nějaké rovnice správně, dávala jsem 2 body. Chtěla bych pochválit Dominika Krasulu, který mi připravil velmi zajímavý postup řešení přes větvené schéma. Chválím také všechny, kteří použili Vennův diagram.

Úloha č. 3

„Napsal mi, že deska stolu bude mít tloušťku 30 mm, šířku 1176 mm a její délka bude nejmenší možná taková, aby šlo případně desku rozřezat beze zbytku na krychličky s celočíselnou délkou hrany a poskládat z nich krychli. No vy byste z toho snad věděl, jaká bude délka stolu?“ postěžovala si kuchařka.

Řešení: Upravené řešení podle Vaška Steinhausera:

Rozřezat desku na krychličky s celočíselnou hranou a poskládat do velké kry\minuschle půjde právě tehdy, když její objem bude třetí mocninou nějakého přirozeného čísla. Délku desky označím x. Vím, že 35,280 \cdot x je třetí mocninou a třetí mocnina se vyznačuje tím, že v rozkladu na prvočinitele se každé prvočíslo vyskytuje v násobku 3 (0, 3, 6, 9, \ldots). Rozklad na prvočinitele: 35,280=2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7^{2}. Nejmenší takové x, aby 35,280 \cdot x byla třetí mocnina, je x=2^{2} \cdot 3 \cdot 5^{2} \cdot 7=2,100. Délka stolu je tedy 2,100 mm.

Komentář: Spousta řešení ozřejmovala, na jak velké krychličky budeme rozřezávat desku. Na to ale otázka nebyla -- příště si pořádně přečtěte zadání. Vzorové řešení se objevilo jen v pár případech. U ostatních byla řešení zdlouhavá, pracná a často špatná, což mě mrzelo, protože tato úloha mi přišla jako jedna z lehčích.

Úloha č. 4

Chtěli zjistit, kolik dohromady utratí měsíčně všichni, kdo byli v míst\minusnosti, ale zároveň nikdo nechtěl, aby ostatní zjistili, kolik utratí on sám. Jak to mají udělat, když spolu mohou komunikovat jedině tak, že mohou pošeptat někomu nějaké číslo nebo nějaké číslo říct nahlas?

Řešení: Nejjednodušší způsob, jak tento problém vyřešit, je, pokud se v místnosti všichni posadí do kruhu a libovolný člověk začne tím, že pošeptá libovolné číslo člověku po jeho pravici. Ten k tomuto číslu přičte svou útratu a pošeptá nový výsledek člověku po své pravici. Takto pokračují až do té doby než se celkový součet znovu dostane k prvnímu. Ten od tohoto výsledku odečte své původní číslo a výsledek řekne nahlas. Tento způsob opravdu funguje, neboť každý v místnosti se dozví právě dvě čísla: jedním je celková útrata všech a druhým je součet útrat předchozích lidí v kruhu, které je ovšem navýšeno o číslo, o kterém nevíme vůbec nic a tedy tato informace nám vůbec v ničem nepomůže.

Komentář: Drtivá většina lidí, kteří úlohu poslali, ji vyřešila správně. Jediná chyba, jež se objevovala, bylo rozdělit si útratu na dvě části a jednu část pošeptat v kruhu doprava a druhou doleva. Takto se ke každému dostanou dvě čísla, která sečte a součet řekne nahlas. Tato strategie má ovšem chybu v tom, že pro čtyři lidi v místnosti se každý dozví útratu toho naproti v kruhu, neboť pokud sečte to, co řekne člověk po jeho pravici i levici, a odečte od toho své výdaje, dostane výdaje toho naproti. Tato řešení jsem oceňoval čtyřmi body.

Úloha č. 5

Takové zvláštní hodiny bez ručiček, ale s číslicemi jsem ještě nikdy předtím neviděl. Každá číslice byla složena z několika čárek. Tyto hodiny upoutaly mou pozornost natolik, že jsem samozřejmě neodolal a začal přemýšlet, kolik existuje takových časů, které se na těchto hodinách zobrazí tak, že budou osově souměrné podle přímky vedené skrz ty dvě tečky uprostřed, jako třeba hodiny na obrázku 2. Pak jsem se ještě zamýšlel, kolik časů je osově souměrných podle přímky vedené prostředními vodorovnými čárkami číslic. Víte to i vy?

Řešení: V první části úlohy bylo důležité si uvědomit, která číslice po zobrazení v osové souměrnosti (svislá osa procházející skrz dvojtečku) dává opět validní číslici (ne nutně stejnou). Z obrázků je jasné, že existují čtyři možnosti: 0, 2, 5 a 8. Nula se zobrazí sama na sebe, dvojka na pětku a pětka na dvojku. Poslední možností je číslice 8, která se zobrazí sama na sebe, ale neexistuje osově souměrný čas, který by ji obsahoval. Pokud určíme číslice na místě před dvojtečkou, pak již víme, co bude za ní. Na první pozici můžeme dát jak 0, tak 2. Na druhou pozici může vždy přijít 0, 2 a pokud na první pozici není dvojka, pak i číslice 5. Z toho plyne, že můžeme sestavit celkem 5 různých časů (00:00, 02:50, 05:20, 20:05, 22:55), které jsou souměrné podle svislé osy procházející dvojtečkou a splňují podmínky na to, jak má vypadat digitální čas.

Druhá část úlohy je o trochu těžší. Musíme prozkoumat, jak vypadají jednotlivé číslice po proložení vodorovnou osou (vedenou prostředními čárkami číslic). Na obrázku jsou znázorněny všechny číslice od 0 do 9, z nichž pouze 0, 1, 3 a 8 jsou osově souměrné. Na každou pozici digitálního času můžeme umístit číslici samostatně. Nesmíme zapomenout na to, jak může vypadat digitální čas.

Na první pozici lze umístit 0 nebo 1 (2 možnosti), na druhou pozici všechny číslice (4 možnosti). Číslici 8 nemůžeme umístit na třetí pozici (3 možnosti) a na čtvrtou pozici opět můžou přijít všechny číslice (4 možnosti). Dohromady existuje 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 4 = 96 časů souměrných podle osy vedené prostředními vodorovnými čárkami číslic.

Komentář: Úloha byla rozdělena na dvě části, z nichž první byla jednodušší a s tím souvisí i mé bodování: Za první část jste mohli získat 2 body a za druhou zbývající 3 body.

Někteří řešitelé v první části považovali jedničku za souměrnou samu se sebou, což není pravda, protože by musela být posunutá vzhledem ke své normální pozici na digitálním displeji. Za tuto chybu jsem strhávala 1 bod. Bod jsem strhávala i za to, že vám chybělo nějaké řešení.

V druhé části úlohy se stávalo, že někteří řešitelé si rozmysleli, jak mohou vypadat časy před dvojtečkou, časy za dvojtečkou a poté počty vynásobili (8 \cdot 12=96). Tento způsob vede ke správnému výsledku, pokud nezapomenete na nějakou možnost. Zde jsem strhávala body podle závažnosti chyb.

Úloha č. 6

Vzal jsem tedy kufr, měl rozměry tak 1,8 \times 2 \times 3 stopy, a vyšel s ním ven. Bylo krátce po poledni, a tak slunce svítilo přímo z jihu a bylo, jak jsem odhadoval, 60° nad obzorem. Jediné, co tu na první pohled vrhalo obstojný stín, byla svislá rovná zídka u brány. Směřovala přesně od východu na západ a v tomto směru byla dlouhá 2,5 stopy. Vysoká byla 6 stop. Povedlo se mi do stínu této zídky schovat kufr tak, aby byl jednou stěnou souběžně se stěnou zídky a aby na něj nesvítilo slunce, jak si přála Amily?

Řešení: Kufr je kvádr o rozměrech a = 3 stopy, b = 2 stopy, c = 1,8 stopy. Existuje celkem 6 různých možností, jak kufr do stínu umístit, neboť kufr můžeme položit na jednu ze tří různých stěn a v této pozici ho přiložit ke zdi jednou ze zbývajících dvou různých stěn. Už na první pohled jsou nevyhovující ty polohy, kdy hrana a je rovnoběžná s průsečnicí zdi a roviny (směřuje tedy východo-západně), neboť kufr zde přesahuje o půl stopy zeď. Pokud bude hrana a kolmá k zemi, stačí nám spočítat, zda se kufr vejde do stínu, když bude k zídce kolmá hrana c. Pokud se takto kufr do stínu nevejde, nepůjde to ani druhým způsobem. Podobně je-li hrana a kolmá k zídce, stačí počítat situaci, kdy je hrana c kolmá k zemi. Abychom zjistili, zda se kufr vejde do stínu, spočítáme si, do jaké vzdálenosti od zídky sahá stín ve výšce, v níž se nachází horní stěna kufru. Tuto situaci můžeme řešit v rovině pohledu z boku, v níž se nám stín zídky jeví jako polovina rovnostranného trojúhelníku, přičemž zídka právě tvoří jeho výšku.

Díky tomu můžeme spočítat vzdálenost hranice stínu od zdi v dané výšce, neboť z Pythagorovy věty vyplývá pro rovnostranný trojúhelník o straně s, že pro velikost výšky v platí:

Z toho úpravou dostaneme

Nyní již stačí jen dosadit konkrétní hodnoty. Nesmíme zapomenout, že za v nebudeme dosazovat výšku, v jaké se vrch kufru nachází, ale vzdálenost vrchu kufru od vrchu zídky, tedy 6 - a nebo 6 - c. Pokud je hrana a kolmá k zemi a hrana c k zídce, dostaneme po dosazení

z čehož vidíme, že takto bude kousek kufru osvětlen. Podobně dosadíme hodnoty z druhé situace, kdy je naopak a kolmá k zídce a c k zemi:

V této pozici tak bude kufr osvětlen dokonce ještě z větší části. Protože už žádná výhodnější poloha kufru neexistuje, můžeme s jistotou říct, že se ani Harrymu Wilkinsovi kufr do stínu zídky schovat nepodařilo.

Komentář: Mnohá řešení byla správná. Obvykle jste využívali goniometrických funkcí, ačkoli úloha byla zadaná tak, aby jejich znalost nebyla nutná. Asi nejčastějším nedostatkem řešení bylo, že jste spočítali jen jednu možnost postavení kufru. Jelikož jste ale dokazovali, že se kufr do stínu nevejde, bylo nutné vyloučit všechny možnosti, a proto jsem tato řešení hodnotil jen třemi body. Bohužel došlo i několik řešení, v nichž bylo ukázáno pouze obrázkem, že to není možné. Taková jsem hodnotil obvykle jen jedním bodem, protože obrázek je dobrý pomocník, ale nikdy ho nelze použít jako plnohodnotný důkaz. O tom se koneckonců nejlépe přesvědčili ti, kdož se špatně nakresleným obrázkem dostali k závěru, že se kufr do stínu zídky vejde. Tato řešení jsem bohužel hodnotil nekompromisní nulou.

Úloha č. 7

Na jednom místě byly v zemi zatlučené tři kolíky vzájemně od sebe vzdálené 1 yard. K jednomu z nich byla uvázaná koza na 8 yardů dlouhém provaze. Ve chvíli, kdy jsme se k ní přiblížili, stála s napnutým provazem v místě jako na obrázku. Jak nás uviděla, lekla se a začala divoce obíhat kolem kolíků proti směru hodinových ručiček, pořád na napnutém provaze, dokud si na kolíky všechen provaz nenamotala. Opodál byl v zemi zatlučen jeden kolík a k němu přivázaný vůl na dvanáctiyardovém laně. Ten jenom neustále líně chodil dokola tak daleko od svého kolíku, jak jen to šlo. Které zvíře urazilo delší dráhu? Koza, nebo vůl, který akorát obešel svůj kolík jednou dokola, než jsme nebohou kozu vymotali z jejího zajetí?

Řešení: Nejprve si musíme uvědomit, jak vypadá dráha, po které se pohybovala koza. Jelikož jde na napnutém laně, které je upnuté k jednomu z kolíků, opisuje kružnici o poloměru délky lana se středem v tomto kolíku.

Ovšem v okamžiku, kdy se její lano dotkne dalšího kolíku, se 1 yard dlouhý úsek lana napnutý mezi kolíky přestane pohybovat, čímž se koza začne otáčet na laně kratším o yard a středem kružnice, po které se bude pohybovat, bude tento nový kolík. V okamžiku, kdy je koza v jedné přímce s dvěma kolíky, je mezi její volnou částí lana a stranou trojúhelníku vnější úhel rovnostranného trojúhelníku, tedy 120\deg, což znamená, že aby se lano dotklo následujícího kolíku, musí koza ujít 1 \over 3 délky kružnice. Proto si dráhu, kterou koza ušla, vypočítáme jako:

Dráhu vola už samozřejmě není vůbec žádný problém spočítat, neboť je to zkrát\minuska délka kružnice o poloměru 12:

Jasně tedy vidíme, že obě zvířata ušla naprosto stejnou vzdálenost 24\pi.

Komentář: Řešení se sešla velká spousta a v naprosté většině z nich jste neměli problém s úvahou, že dráha kozy bude složená z třetin kružnic o zmenšujícím se poloměru. Větší problém byl s přesností výpočtu. Nejlepší bylo pro dráhu kozy udělat jeden velký vzorec a vytknutím \pi ho krásně zjednodušit na výslednou hodnotu. Takový postup jsem hodnotil pěti body. Pochvalu si zde zaslouží Roman Chasák, který přišel se zjednodušující úvahou, díky které velmi snadno porovnal dráhy obou zvířat. Horším postupem bylo spočítat si délky jednotlivých úseků a ty potom, samozřejmě už zaokrouhlené, sečíst. Takový postup už s sebou totiž nese hromadění zaokrouhlovacích chyb, takže ač vám nakonec vyšla dvě stejná čísla, už nemůžete mít jistotu, že se někde na místě tisícin či ještě dále vlastně nemají lišit. Pokud jste takovým řešením dospěli k výsledku, že obě zvířata ušla stejně, dostali jste čtyři body. Našli se však i tací, kterým se právě zaokrouhlovací chyby nahromadily tak, že došli k výsledku, že jedno či druhé zvíře ušlo víc. V takovém případě jsem uděloval obvykle tři body. Poučení pro příště je asi takové, že je lepší vzorce upravovat buď nejprve úplně obecně, nebo v nich alespoň ponechávat čísla jako \pi nebo odmocniny (tzv. iracionální čísla ) nevyčíslená.

Opravovali: 1. Filip Lux, 2. Petra Zahajská, 3. Helena Pučelíková, 4. Lukáš Zavřel, 5. Lucie Mohelníková, 6. a 7. Miroslav Koblížek.