Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.
Úloha č. 1
Dostal za úkol sledovat bankovního lupiče při jeho činnosti a podávat o něm hlášení na strážnici. Strážnice byla v bodě S a byla vzdálena od banky v bodě B 4 km. Lupič vyrazil z úkrytu U, který byl vzdálen $6 km od banky a 10 km$ od strážnice, došel do banky, tam popadl peníze, které mezitím vytáhl jeho komplic z trezoru, a odnesl je zpátky do úkrytu. Chudák David ve chvíli, kdy lupič vyrazil z úkrytu, vyšel ze stanice a celou dobu chodil k lupiči a zpátky na stanici, aby podával hlášení. Lupič šel stálou rychlostí 4 km/h, David chodil rychlostí 6 km/h. Oba chodili nejkratší možnou cestou (tj. mezi dvěma danými body po úsečkách). Celá akce probíhala samozřejmě tak přesně, že Davidovo hlášení na stanici ani předávka peněz nezabraly žádný čas. Jakmile lupič došel zpět do úkrytu, čekal tam na něj připravený policejní vůz a David se konečně mohl zastavit. Kolik David za celou akci nachodil kilometrů?
Řešení: Na této úloze je asi nejtěžší uvědomit si, co vlastně říká. Ze zadání víme, že lupič se pohybuje rychlostí 4 km/h a urazí trasu z úkrytu do banky a zpět, což je 6 km+6 km=12 km. Mezitím chodí David rychlostí 6 km/h a zastaví se teprve v okamžiku, kdy lupič dorazí zpět do úkrytu. Lupič urazí svoji trasu dlouhou 12 km za 3 hodiny (užili jsme vzoreček t=s/v, kde t značí čas, s=12 km dráhu a v=4 km/h rychlost). Takže i David byl na cestě právě 3 hodiny. A neboť chodil stále rychlostí 6 km/h, ušel právě 18 km (nyní užijme vzoreček ve tvaru s=v \cdot t, za v dosadíme Davidovu rychlost 6 km/h a za t dříve vypočtenou dobu 3 h).
Komentář: Většina řešitelů úlohu správně interpretovala a také ji správně vyřešila. Někteří se sice k výsledku dopracovávali mnohem složitější cestou, ale pokud byla správná, nic mi nebránilo udělit plný počet bodů. Pokud řešitelé pochopili úlohu jiným způsobem, udělila jsem nejvýše dva body.
Úloha č. 2
„Když do ohrady se vzrostlou trávou naženou 40 ovcí, bude jim to trvat 40 dní, než všechnu trávu vypasou, říkal mi to aspoň jeden ovčák od nás ze Summerflow,“ začal David. „Tak v tom případě je přece snadné spočítat, jak dlouho tráva vydrží třeba 20 ovcím,“ namítl jsem bleskurychle, ale než jsem stačil vyřknout počet dní, David mě zarazil slovy: „Ale nesmíš zapomenout na to, že během těch dní, co se tam ovce pasou, stíhá tráva pořád růst, a tak třeba 30 ovcím vystačí dokonce na 60 dní. Takže co mi teď řekneš? Na kolik dní teda vydrží taková pastvina se vzrostlou trávou, když na ni naženeš 20 ovcí?“
Řešení: Označme počáteční množství trávy v ohradě písmenem z, dále množství, které naroste za jeden den, jako p a dobu, po kterou se v ohradě může pást 20 ovcí jako t. Jednotkou množství trávy budiž to, co sní jedna ovce za jeden den.
Víme, že 40 ovcí vypase všechnu trávu za 40 dní. Za tu dobu spasou ovce dohromady 40 \cdot 40 jednotek trávy, a protože vypasou všechno, musely sníst přesně z + 40 \cdot p trávy. Dostáváme tak:
Obdobně pro 30 a pro 20 ovcí:
Zbývá vyřešit soustavu rovnic. Odečtením první rovnice od druhé nám vyjde 200 = 20 \cdot p, proto p = 10. Dosazením hodnoty za p do první rovnice dostaneme z = 1600 - 40 \cdot 10 = 1200. Nakonec z třetí rovnice vypočítáme hledanou dobu t:
Dvaceti ovcím vydrží tráva v ohradě 120 dní.
Komentář: Bohužel nejčastější odpovědí nebyl správný výsledek 120 dní, nýbrž 80 dní s argumentem, že to vypadá, že když se počet ovcí o deset zmenší, tak se doba pastvy prodlouží o dvacet dní. To ovšem rozhodně obecně neplatí, například by to pak znamenalo, že 0 ovcí spase trávu v ohradě za 80 + 2 \cdot 20 = 120 dní, což nejspíš v takovém počtu nestihnou :). Chválím všechny, kteří se dopočítali ke správnému výsledku.
Úloha č. 3
Projížděl tam po ulici kočár rychlostí 18 km/h. Obvod jeho předních kol jsem odhadl na 2,5 m, obvod zadních kol na 2,75 m. Každé kolo mělo 12 loukotí. Umíš teda odhadnout, jakým směrem se kola zdánlivě točila, když kamera snímá, jak říkáš, 24 snímků za sekundu?
Řešení: Úlohu budeme počítat v metrech a sekundách (18 km/h = 5 m/s) a rozdělíme si ji na dvě části:
- Přední kolo: Obvod předního kola je 2,5 m, tedy za 1 s se otočí celkem dvakrát. Za 1/24 s se každá loukoť přesune do polohy následující loukotě, tedy v kameře se přední kolo nebude hýbat.
- Zadní kolo: Zadní kolo má obvod větší, proto se za 1 s otočí o 20/11 otáčky. Když tuto vzdálenost rozdělím na 24 snímků, zjistím, že na každém snímku se loukotě pootočí o 5/66. Vzdálenost dvou loukotí je 1/12 obvodu.
Budeme uvažovat pravé kolo, na které koukáme z vnější strany kočáru (jako na obrázku) - pro levé jsou úvahy symetrické. Kolo, stejně jako loukoť, se pohybuje dopředu -- t.j. po směru hodinových ručiček. Protože se tentokrát loukotě neposunou o násobek 1 \over 12, budeme se muset podívat na to, jestli bude nová poloha blíže bodu A nebo C. Kdyby vyšla blíže bodu A, vypadalo by to, že se tam přesunula loukoť, kterou tvoří na obrázku úsečka AS (kolo by se na kameře pohybovalo vpřed), naopak kdyby byla blíže C, vypadalo by to, že se tam přesunula loukoť SC, protože je blíže (kolo by se pohybovalo dozadu). V posledním možném případě, pokud by nám nová poloha vyšla přesně na bod B, loukotě by jakoby přeskakovaly a tudíž by to vypadalo, že stejně jako v případě předních kol stojí, jenomže tentokrát by se to kolo tvářilo tak, že má loukotí dokonce dvakrát tolik a tedy 24.
Z nerovností 1 \over 12 > 5 \over 66 > 1 \over 24 (po upravení: 22 \over 264 > 20 \over 264 > 11 \over 264) nám tedy plyne, že loukoť se za 1/24 s posune na obrázku mezi bod B a C. Na kameře to tedy bude vypadat, že se na novou pozici loukotě přesunula SC místo AC. Kolo se tedy bude na kameře zdánlivě točit dozadu.
Komentář: Za pohyb předního kola jsem dávala dva body, za pohyb zadního tři body. Oceňuji práci se zlomky, za zbytečné vyčíslování jsem jeden bod strhávala. Odpověď, jak se které kolo točí je sice skvělá, ale pokud mi nevysvětlíte, jak jste k ní přišli a proč je to správně, bohužel plný počet bodů dostat nemůžete.
Úloha č. 4
Kapitán Wright konstruoval na mapě trojúhelník s vrcholy K, v němž se nacházel křižník, C, což byl jejich cíl, a L, což byl právě ledovec, kterému se potřebovali vyhnout. A admirál Edington mu nechtěl věřit, že průsečík výšek tohoto trojúhelníka, paty výšek ke stranám KL a CL a bod L leží na jedné kružnici. Kdo měl pravdu?
Řešení: Podle zadání úlohy si načrtneme daný trojúhelník KLC, výšky, jejich paty X, Y a průsečík P jako na obrázku.
K řešení využijeme Thaletovu kružnici. Sřed S kružnice zvolíme ve středu úsečky LP a poloměr kružnice bude roven délce LS. Z vlastností Thaletovy kružnice plyne, že pokud na ní leží body X, Y, pak úhly LXP a LYP mají 90°. Jelikož body X, Y jsou patami výšek a výšky jsou vždy kolmé na dané strany, tak jsou tyto úhly právě 90 stupňů. Správným řešením tedy je, že pravdu měl kapitán Wright.
Komentář: Hodnocení bylo následující: náčrt 1 bod, správný výsledek a postup 2 body, Thaletova kružnice 1 bod, formulace a zpracování úlohy 1 bod.
Úloha č. 5
Od nádraží k silnici, kde na nás už čekalo policejní auto, se scházelo po 11 schodech. „Vždycky mě zajímalo, kolik bych měl možností tyhle schody vyjít, kdybych mohl udělat krok o jeden, o dva nebo o čtyři schody (o tři ne, to je takový divný krok, ani krátký, ani dlouhý). Asi to teď půjdu zkusit,“ prohlásil David. „No to by ses naběhal,“ odpověděl jsem mu se smíchem, „zvlášť, když pro tebe určitě není stejná varianta jít nejdřív o jeden schod a pak o dva jako nejdřív o dva a pak o jeden.“ Kolik možností by David měl?
Řešení: Počítat tento příklad můžeme vícero způsoby, například výčtem všech možností, případně s nějakým zjednodušením, které vyžaduje znalost kombinatoriky. My si zde ale ukážeme řešení založené na často používaném triku.
Označíme si P_{n} počet možností, jak vyjít n schodů, pokud můžeme udělat krok dlouhý jeden, dva či čtyři schody. Začneme postupně za n dosazovat čísla. Není těžké zjistit, že P_{1}=1, P_{2}=2, P_{3}=3. Schodiště se čtyřmi schody můžeme vyjít po jednom schodu (1 možnost), udělat jeden dvojkrok a dva jednokroky (3 možnosti), nebo udělat dva dvojkroky (1 možnost) a poslední způsob je jeden čtyřkrok, tedy P_{4}=1+3+1+1=6. Nyní se zaměříme, kolika způsoby můžeme vyjít více schodů. Pět schodů můžeme vyjít tak, že ze čtvrtého schodu uděláme jednokrok, nebo z třetího dvojkrok, nebo poslední možnost, že z prvního schodu uděláme čtyřkrok. Počet možností, jak lze vyšlapat 5 schodů, se musí rovnat součtu možností, jak vyšlapat 1, 3 a 4 schody. Tahle úvaha ale platí i u dalších schodů. Můžeme tedy obecně zapsat vzoreček, jak vyjít n schodů:
P_{n}=P_{n-1}+P_{n-2}+P_{n-4}.
Teď nám stačí vyplnit jednoduchou tabulku a máme výsledek:
| $$ | n | $$ | $$ | 1 | $$ | $$ | 2 | $$ | $$ | 3 | $$ | $$ | 4 | $$ | $$ | 5 | $$ | $$ | 6 | $$ | $$ | 7 | $$ | $$ | 8 | $$ | $$ | 9 | $$ | $$ | 10 | $$ | $$ | 11 |
| $$ | P_{n} | $$ | $$ | 1 | $$ | $$ | 2 | $$ | $$ | 3 | $$ | $$ | 6 | $$ | $$ | 10 | $$ | $$ | 18 | $$ | $$ | 31 | $$ | $$ | 55 | $$ | $$ | 96 | $$ | $$ | 196 | $$ | $$ | 296 |
Počet způsobů, jak mohl David vyjít schody, je 296.
Komentář: Většina řešitelů počítala úlohu hrubou silou, případně si nějakým trikem ulehčila práci. Řešení podobné vzorovému se objevilo zřídka. Zkuste si ho projít, třeba se vám ještě bude hodit. :)
Úloha č. 6
Měla tvar pyramidy výšky 12 s čtvercovou podstavou o hraně délky 8. Vejde se do ní víc než 190 kostek cukru? Hrana kostky cukru je 1.
Řešení: Pyramida má tvar jehlanu; rozdělíme si ji na dvanáct pater o výšce 1 (rozměr kostky cukru). Pro každé patro spočítáme počet kostek, které se do něj vejdou. Poměr výšky a délky spodní podstavy pyramidy je 8 \over 12 = 2 \over 3. Z toho vyplývá, že rozměr každého patra je o 2 \over 3 cm menší než patro pod ním. Desetinná čísla budeme zaokrouhlovat dolů, abychom dostali výsledné celočíselné počty kostek.
1. patro : (8-2 \over 3) \cdot (8-2 \over 3) = 22 \over 3 \cdot 22 \over 3 \doteq 7 \times 7 (do prvního patra nemůžeme naskládat hned 8 \times 8 kostiček, protože horní rozměr prvního patra není 8 cm )
2. patro : (22 \over 3 - 2 \over 3) \cdot (22 \over 3 - 2 \over 3) = 20 \over 3 \cdot 20 \over 3 \doteq 6 \times 6
3. patro : (20 \over 3 - 2 \over 3) \cdot (20 \over 3 - 2 \over 3) = 18 \over 3 \cdot 18 \over 3 = 6 \times 6
4. patro : (18 \over 3 - 2 \over 3) \cdot (18 \over 3 - 2 \over 3) = 16 \over 3 \cdot 16 \over 3 \doteq 5 \times 5
5. patro : (16 \over 3 - 2 \over 3) \cdot (16 \over 3 - 2 \over 3) = 14 \over 3 \cdot 14 \over 3 \doteq 4 \times 4
6. patro : (14 \over 3 - 2 \over 3) \cdot (14 \over 3 - 2 \over 3) = 12 \over 3 \cdot 12 \over 3 = 4 \times 4
7. patro : (12 \over 3 - 2 \over 3) \cdot (12 \over 3 - 2 \over 3) = 10 \over 3 \cdot 10 \over 3 \doteq 3 \times 3
8. patro : (10 \over 3 - 2 \over 3) \cdot (10 \over 3 - 2 \over 3) = 8 \over 3 \cdot 8 \over 3 \doteq 2 \times 2
9. patro : (8 \over 3 - 2 \over 3) \cdot (8 \over 3 - 2 \over 3) = 6 \over 3 \cdot 6 \over 3 = 2 \times 2
10. patro : (6 \over 3 - 2 \over 3) \cdot (6 \over 3 - 2 \over 3) = 4 \over 3 \cdot 4 \over 3 \doteq 1 \times 1
11. patro : (4 \over 3 - 2 \over 3) \cdot (4 \over 3 - 2 \over 3) =2 \over 3 \cdot 2 \over 3 \doteq 0 \times 0
12. patro : (2 \over 3 - 2 \over 3) \cdot (2 \over 3 - 2 \over 3) = 0 \times 0
Počet kostek v každém patře sečteme:
49+36+36+25+16+16+9+4+4+1+0+0=196.
Do cukřenky se vejde 196 kostek cukru, což je více než zadaných 190.
Komentář: Při opravování jsem narazil na několik řešení, která obsahovala pouze rýsování. To ovšem není úplně přesné, protože pravítkem nikdy nezměříte přesný rozměr patra.
Úloha č. 7
Z barevných pravoúhlých čtyřúhelníků s celočíselnou délkou stran, z nichž žádné dva neměly stejné rozměry, byl vyskládán obdélník 2\times42. Kolik nejvíce různých čtyřúhelníků mohlo být na tvorbu této mozaiky použito? Proč to nemohlo být více?
Řešení: Mozaika byla vyskládána z pravoúhlých čtyřúhelníků, což jsou čtverce (speciální obdélníky) a obdélníky. Jelikož je mozaika tvaru 2\times 42, musí být jedna strana použitého obdélníku (čtverce) 1 nebo 2. Obsah celé mozaiky je 2\cdot 42 =84 a rovná se součtu obsahů všech čtyřúhelníků. Protože chceme použít co nejvíce čtyřúhelníků, použijeme ty s nejmenším obsahem. Srovnáme si prvních několik čtyřúhelníků podle obsahu a budeme počítat, jaký mají dohromady obsah.
| Obsah | rozměr | průběžný součet obsahů | počet | |||||||
| $$ | 1 | $$ | $$ | 1 \times 1 | $$ | $$ | 1 | $$ | $$ | 1 |
| $$ | 2 | $$ | $$ | 1 \times 2 | $$ | $$ | 3 | $$ | $$ | 2 |
| $$ | 3 | $$ | $$ | 1 \times 3 | $$ | $$ | 6 | $$ | $$ | 3 |
| $$ | 4 | $$ | $$ | 1 \times 4 | $$ | $$ | 10 | $$ | $$ | 4 |
| $$ | 4 | $$ | $$ | 2 \times 2 | $$ | $$ | 14 | $$ | $$ | 5 |
| $$ | 5 | $$ | $$ | 1 \times 5 | $$ | $$ | 19 | $$ | $$ | 6 |
| $$ | 6 | $$ | $$ | 1 \times 6 | $$ | $$ | 25 | $$ | $$ | 7 |
| $$ | 6 | $$ | $$ | 2 \times 3 | $$ | $$ | 31 | $$ | $$ | 8 |
| $$ | 7 | $$ | $$ | 1 \times 7 | $$ | $$ | 38 | $$ | $$ | 9 |
| $$ | 8 | $$ | $$ | 1 \times 8 | $$ | $$ | 46 | $$ | $$ | 10 |
| $$ | 8 | $$ | $$ | 2 \times 4 | $$ | $$ | 54 | $$ | $$ | 11 |
| $$ | 9 | $$ | $$ | 1 \times 9 | $$ | $$ | 63 | $$ | $$ | 12 |
| $$ | 10 | $$ | $$ | 1 \times 10 | $$ | $$ | 73 | $$ | $$ | 13 |
| $$ | 10 | $$ | $$ | 2 \times 5 | $$ | $$ | 83 | $$ | $$ | 14 |
| $$ | 11 | $$ | $$ | 1 \times 11 | $$ | $$ | 94 | $$ | $$ | 15 |
Vidíme, že obsah prvních čtrnácti čtyřúhelníků je 83, to však na úplnou mozaiku doplnit nelze (čtverec 1\times 1 jsme už použili). Obsah prvních patnácti je 94, stačí tedy ubrat libovolný čtyřúhelník s obsahem 10 a dostaneme obsah 84.
Můžeme z těchto obdélníků poskládat požadovanou mozaiku? Nejprve zkusíme vynechat obdélník 1\times 10. Na jednu stranu mozaiky si poskládáme všechny kostičky se stranou 2, tedy 2\times 1, 2\times 2, 2\times 3, 2\times 4, 2\times 5, a vznikne obdélník 2\times 15. Zbývá tak ostatní čtyřúhelníky poskládat do obdélníku 2\times 27, tedy do dvou „úzkých“ obdélníků 1\times 27. Jednoduše vybereme kostičky, které dají součet 27, např. 1\times 11, 1\times 9, 1\times 7, zbylé kostičky dávají také součet 27 (8+6+5+4+3+1=27).
Vynecháme-li obdélník 2\times 5, budeme postupovat stejně, ale z obdélníků se stranou 2 vznikne obdélník 2 \times 10. „Úzkými“ obdélníkytedy zaplňujeme dva obdélníky 1\times 32. Do prvního dáme např. 1\times 11, 1\times 10, 1\times 8, 1\times 3 a obsahy zbylých dávají 9+7+6+5+4+1=32.
Mozaika se tedy dá poskládat v obou případech ze 14 čtyřúhelníků. Víc jich být nemůže, protože jsme použili nejmenší čtyřúhelníky.
Komentář: Pokud bereme jako pravoúhlý čtyřúhelník i pravoúhlý lichoběžník, vyjde úloha úplně stejně. Neexistuje totiž pravoúhlý lichoběžník s celočíselnými délkami stran s výškou menší rovno 2.
Většina řešitelů tuto úlohu hravě vyřešila, ale někteří nezdůvodnili, proč je to největší možný počet čtyřúhelníků. Dalších pár řešitelů zdůvodnilo, proč jich není víc, ale zapomnělo si ověřit, jestli jde mozaika poskládat.
Opravovali: 1. Karolína Rezková, 2. Hana Bílková, 3. Helena Pučelíková, 4. Václav Otruba, 5. Klára Krejčíčková, 6. Stanislav Veverka, 7. Lenka Petržilková
