Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.

Úloha č. 1

Z kvádrů o rozměrech 3\times1\times1 se postaví věž, která má celkem devět čtvercových pater (každé ze tří kvádrů), přičemž podélné osy kvádrů ze sousedních pater jsou navzájem kolmé. Hra samotná pak spočívá v tom, že hráči střídavě z věže po jednom odebírají kvádry a dávají je stranou. Ten, po jehož tahu věž spadne, prohrává. Jako správný gentleman jsem nechával sestřičku začínat. Má někdo z nás vítěznou strategii? Kdo a jakou?

Řešení:

• Jak to bylo zadané: Začíná sestřička, k dispozici máme 27 kvádrů, což je lichý počet, a tedy na pana doktora už nevychází tah. Sestřička navíc vždy může odebrat jednu z vrchní kostek, aniž by narušila stabilitu toho, co je pod tím a tím pádem na pana doktora nezůstane tah. Protože nemůže dále hrát, sestřičce pogratuluje k výhře.

• Jak to mělo být zadané: Z vrchního patra se odebírat kostky nesmí. V tomto případě bude mít vyhrávající strategii pan doktor, a to takovou, že si spáruje jednotlivá patra tak, že první patro bude spárované s osmým, druhé se sedmým, třetí se šestým a nakonec čtvrté s pátým. Ať už sestřička udělá jakýkoli tah, pan doktor tento tah napodobí na tom samém místě, ale ve spárovaném patře. Tím pádem vždy bude moci hrát, a protože v každém tahu odebíráme kostku, sestřičce se stane bohužel to, že její další tah by vedl nejen k pádu věže, ale i k její prohře.

Komentář: Díky neúplnému zadání úloha nebyla těžká, spousta z vás na první řešení přišla. Druhé řešení už ovšem dělalo větší problém. Obvykle jste nepočítali s možností, že se dají odebírat i kvádříky uprostřed. Vytáhnutím prostředního kvádříku přece věž nespadne. Za toto jste ode mě obdrželi 2 body. 1 bod jsem strhávala za to, že jste uvedli správné řešení, ale z vaší odpovědi nebylo jasné, kdo má tedy vítěznou strategii. A další bod byl strháván za to, že jste sice přišli na to, že by měl doktor kopírovat tahy sestřičky, ale už jste nezapočítali to, že to musí vždy udělat v patře, které je spárované s patrem, ze kterého sestřička táhla, což je dost podstatné. Obecně ke všem matematickým úlohám bych vám všem doporučila, čtěte si důkladně zadání a odpovídejte na otázky, pak vás to zbytečně stojí body, což je škoda vzhledem k tomu, kolik snahy jste prokázali

Úloha č. 2

Tamní domorodci si svůj mozek představovali jako kvádr 7\times3\times3. Věřili, že když někdo z nich sní zkažené maso, dostane se do něj brouk Persegi, který v jeho mozku vyhlodá chodbičky čtvercového průřezu. Víte, jakou plochu by měl domorodcův mozek po útoku brouka Persegi?

Řešení: Červ v mozku vyvrtal celkem sedm chodbiček, tři ze strany, tři shora a jednu zepředu. Chodbičky mají průřez 1 \times 1. Spočítám povrch mozku bez plochy vnitřních chodeb. Původní povrch mozku je součtem obsahů všech jeho šesti stěn. Přední a zadní stěna má rozměry 3 \times 3, zbylé čtyři 3 \times 7. Obsah je tedy dohromady 2\cdot 3\cdot 3 + 4\cdot 3\cdot 7 =102. Od tohoto čísla musím ještě odečíst začátky a konce chodeb, tedy 2 \cdot 7 = 14. Povrch mozku vně chodeb je tedy 102 - 14 = 88.

K tomuto číslu musíme ještě připočítat povrch chodeb. Chodba má 4 stěny, tedy úsek chodby délky 1 má povrch 4.

Z každého vstupu do mozku vede určitě jedna centimetrová chodbička. Navíc dlouhá chodba zepředu dozadu protíná mozek ve dvou dalších místech.

Povrch stěn mozku je 88 + 14 \cdot 4 + 2 \cdot 4 = 152.

Komentář: Úloha nebyla zadaná nejednoznačně; od vás se čeká, že problém vyřešíte, proto je i na vás, abyste jej správně analyzovali. Chodbička je tunel, všechny tunely byly z obrázku jasně patrné. Při řešení geometrické úlohy vám všem doporučuji si kreslit obrázky, jak daná věc vlastně vypadá. Zjednoduší vám to úlohu a pomůže vám to si rozmyslet, kde co je. Mnoho z vás zapomínalo na nějaké plochy uvnitř mozku. Také jste si pletli obsah s objemem. Za spočítání povrchu mozku bez obsahu chodbiček jsem dával tři body.

Úloha č. 3

Smíchal jsem v kádince 1 pintu stoprocentního přípravku s 2/3 pinty třicetiprocentního přípravku, který jsem měl ve skříňce od předchozího dne. Poté jsem trochu tohoto roztoku odlil pro kontrolu do zkumavky, ale zjistil jsem, že je stále příliš koncentrovaný. Proto jsem roztok v kádince dolil destilovanou vodou na původní množství. Tím jsem dosáhl koncentrace 61,2 procenta, která byla úplně ideální. Jaké množství roztoku jsem odlil ke kontrole do zkumavky?

Řešení: Léčivý přípravek je tvořen nějakou látkou, která může být zředěna vodou. Doktor Wilkins nejprve v kádince smíchal 1 pintu stoprocentního přípravku (to znamená 1 pinta látky a žádná voda) se 2/3 pinty třicetiprocentního přípravku (to jest 2/3 \cdot 30/100=1/5 pinty látky a zbytek 2/3-1/5=7/15 pinty vody). Tak získal směs o objemu 1+2/3=5/3 pinty, která obsahovala 1+1/5=6/5 pinty látky a 7/15 pinty vody. Koncentrace směsi v kádince odpovídá

Poté doktor z této kádinky přelil do zkumavky nějaké množství x pint a místo něj do kádinky zase přilil stejné množství destilované vody (tedy x pint vody a žádná látka), čímž získal novou směs o stejném objemu 5/3 pinty a koncentraci 61,2 ,\% (to znamená 5/3 \cdot 61,2/100=51/50 pinty látky a zbytek vody). Tudíž do zkumavky musel odlít přesně 6/5-51/50=9/50 pinty látky. Ovšem původní směs v kádince měla koncentraci 72 ,\%. Doktor proto spolu s látkou musel odlít i 100 ,\%-72 ,\%=28 ,\% vody. Celkem tedy odlil 9/50 \cdot 100/72=1/4 pinty přípravku.

Komentář: Úloha šla řešit více způsoby, například dosazením do vzorce

kde c značí koncentraci nové směsi, c_{1}, c_{2} koncentrace původních složek směsi a V_{1}, V_{2} objemy odpovídajících původních složek směsi.

Většina z vás si s úlohou poradila hravě. Některým se nelíbily pinty a místo nich se snažili použít mililitry. V důsledku vycházela různá desetinná čísla, se kterými se nedalo počítat tak přesně. Při správném postupu jsem tyto drobné nepřesnosti přehlížela.

Úloha č. 4

Lahvičky, ve kterých jsem dostával fyziologický roztok, mi z lékárny dodávali po sadách, v nichž bylo velké množství lahviček vzestupně očíslovaných. Do lahvičky č. 1 a č. 2 se vešel stejný objem roztoku, do každé následující se vešlo přesně tolik roztoku, jako do předchozích dvou dohromady. Na polici mi teď stála stará sada lahviček, z nichž byly plné č. 1, 4 a 5, a nová sada, kde byly plné č. 1, 2, 4 a 5. Roztoky ze všech lahviček bych teď chtěl popřelévat tak, abych mohl všechny staré vyhodit a abych měl nových naplněných co nejméně. Zároveň však nechci mít žádnou lahvičku plnou jen zčásti. Do kterých lahviček mám roztoky slít? A do kolika lahviček č. 1 by se vešel všechen fyziologický roztok, který mám na polici?

Řešení: Jako první jsme si pro přehlednost mohli napsat, kolik se do jaké lahvičky vejde, pokud si zvolíme jednotkový objem.

Nemůžeme si nevšimnout, že objemy lahviček tvoří Fibonacciho posloupnost. Tato posloupnost je nekonečná posloupnost přirozených čísel, kdy je každé další číslo součtem dvou předchozích. Fibonacci tuto posloupnost znázornil na populaci králíků, kdy na počátku je jeden pár, a ten má vždy opět 2 potomky různého pohlaví. Zároveň jsou králíci nesmrtelní, tedy jejich počty, neboli počty párů, se nesnižují. Podmínkou tohoto modelu je, že králíci dospívají až po jedné časové jednotce (př.: měsíc). Potom tedy vychází ona posloupnost, což je postupný počet párů králíků v jednotlivých časových jednotkách (př.: měsících).

Máme-li ze staré sady lahvičky č. 1, 4 a 5, potom můžeme podle tabulky spočítat objem roztoku ve starých lahvičkách. Ten je tedy 9=1+3+5.

Obdobně si můžeme spočítat objem roztoku v nových lahvičkách, tedy v č. 1, 2, 4 a 5. Nyní nám vyjde objem 10=1+1+3+5.

Tedy celkový objem roztoku je 19, a tímto jsme odpověděli na druhou otázku a to, že roztok se vejde do 19 lahviček č. 1. Pro zjištění, do jakých lahviček máme roztok slít, se stačí podívat opět do naší tabulky. Musíme si uvědomit, že pokud chceme použít co nejméně lahviček, musíme využít lahvičky s co největším objemem. Lahvičku č. 8 a výše můžeme rovnou vyloučit, protože jejich objem je vetší než celkový objem našeho roztoku a my chceme, aby všechny lahvičky byly plné, nikoli jen z části plné. Další se tedy nabízí lahvička č. 7 s objemem 13. Zůstane nám 19-13=6 jednotek objemu. Tím pádem je jasné, že lahvičku č. 6 použít nemůžeme, musíme pokračovat dále v sestupování. Lahvička č. 5 je pro nás vhodná a nám zůstane pouze 1 jednotka objemu, kterou ještě nemáme umístěnou do lahviček. Jelikož 1 objemovou jednotku má lahvička č. 1 a č. 2, máme tu nyní dvě řešení.

Postupným umísťováním roztoku do lahviček od nejvyššího objemu k nejnižšímu jsme zajistili, že použijeme nejméně lahviček.

Pro ujištění se, že není žádná jiná lepší kombinace, můžeme zkusit obdobným způsobem umisťovat roztok do lahviček počínaje lahvičkou č. 6. Potom nám ale vyjde, že roztok musíme umístit do čtyř lahviček, pokud používáme pouze jednu sadu.

Také můžeme uvážit, jak bychom roztok rozdělili pouze do dvou lahviček. Tuto možnost ale jednoduše vyloučíme výše uvedeným postupem -- sestupným zaplňováním lahviček, kdy po zaplnění lahvičky č. 7 nemáme žádnou lahvičku o objemu 6. Dále se nabízely ještě další kombinace, jak použít pouze 3 lahvičky, a to například kombinace lahviček č. 7 a dvakrát č. 4 nebo dvakrát č. 6 a č. 4, ale tyto varianty nesplňují podmínku v zadání -- použít pouze novou sadu.

Shrnutí: Doktor tedy má slít roztok do lahviček č. 7, č. 5 a č. 1 nebo do lahviček č. 7, č. 5 a č. 2 nové sady. Všechen roztok se vejde do 19 lahviček č. 1.

Komentář: Většina řešení byla správná jak úvahou, tak obsahovala správný výsledek, a to kombinaci lahviček č. 7, č. 5 a č. 1. Ale většina také už neobsahovala druhé řešení, a to kombinace lahviček č. 7, č. 5 a č. 2. I když mi bylo jasné, že víte, že lahvičky č. 1 a č. 2 mají stejný objem a jsou tak zaměnitelné, pokud jste jasně nenapsali obě řešení, strhávala jsem bod. Je totiž důležité si u řešení jakýchkoliv úloh uvědomit, že řešení nemusí být pouze jedno. Chválím tedy řešitele, kteří na toto nezapomněli a měli obě řešení.

Úloha č. 5

Náměstí nyní pokrývaly čtverce poskládané z obdélníkových dlaždic. Největší čtve\minusrce, kterými by bylo možné dlaždici přesně pokrýt, by měly stranu 6 palců. Čtverce, které byly z dlaždic vyskládané, byly naopak nejmenší možné, které se z nich daly poskládat, a měly stranu 36 palců. Víte, kolik čtverečních palců je plocha jedné dlaždice?

Řešení: Uvědomíme si, co nám úloha vlastně říká. Fakt, že největší čtverce, jimiž lze pokrýt dlaždici o rozměrech a \times b, mají stranu dlouhou 6 palců, znamená, že obě strany jsou dělitelné 6, ale ne větším číslem, tedy že NSD(a,b) = 6 (což znamená, že největší společný dělitel čísel a a b je 6). Podobně to, že lze z dlaždic vyskládat čtverec o straně 36 palců znamená, že je 36 dělitelné oběma rozměry dlaždice, proto je jejich nejmenším společným násobkem, a tedy nsn(a, b) = 36. Nyní bychom se mohli pustit do hledání takových čísel a a b, která splňují tyto podmínky, čímž bychom zjistili rozměry dlaždice a následně mohli spočítat její plochu.

V tomto případě to opravdu není problém, neboť možností není mnoho. Pokud bychom však měli tuto úlohu počítat s většími čísly, přineslo by nám to nemalé komplikace. Uvědomíme si proto, jak vypadají největší společný dělitel a nejmenší společný násobek dvou čísel. Nechť a = d \cdot x a b = d \cdot y, přičemž čísla x a y jsou nesoudělná (tj. žádné prvočíslo se nevyskytuje v rozkladech na prvočinitele obou čísel, takže NSD(x, y) = 1). V tomto případě platí NSD(a, b) = d a nsn(a, b) = d \cdot x \cdot y. Při pohledu na tento zápis si uvědomíme důležité tvrzení:

Z toho proto jasně vidíme, že k výpočtu plochy dlaždice vůbec nepotřebujeme znát její přesné rozměry, ale stačí nám pouze vynásobit nsn a NSD, čímž nám vyjde 36 \cdot 6 = 216 palců^{2}. Pro ty, kdo by snad přeci jen chtěli znát možné rozměry dlaždic, dodávám, že možnosti jsou dvě, a to sice 6 \times 36 a 12 \times 18.

Komentář: Hned na úvod bych chtěl pochválit Kateřinu Novou, která jako jediná přišla s tím, že k výpočtu plochy dlaždice nepotřebuje zjišťovat její přesné rozměry. Naopak mě nepotěšilo velké množství řešitelů, kteří automaticky z tvrzení, že největší možný čtverec, kterým lze přesně pokrýt dlaždici, má stranu délky 6, vyvodili, že menší strana musí být délky 6, protože jinak by šla dlaždice pokrýt většími čtverci. To ale rozhodně není pravda, protože důležité bylo v zadání slovo přesně, tedy tak, že bude pokrytá celá dlaždice, aniž by čtverce přečnívaly či se překrývaly. I přes tuto chybnou úvahu však tito řešitelé nalezli alespoň dlaždici rozměrů 6 \times 36 a došli tím pádem ke správné ploše dlaždice. Za tyto chybné úvahy jsem proto strhl pouze bod. V několika málo řešeních se vyskytl problém, že někdo zapomněl na jednu z podmínek, čímž obvykle došel k menším rozměrům dlaždice. V takových případech si vysloužil obvykle dva až tři body. Celkově úloha dopadla dobře a sešlo se velké množství správných či téměř správných řešení.

Úloha č. 6

Na Chadwick Marketu se mezitím čile obchodovalo. Bylo to hlavní místo v celém Londýně, kde mezi sebou farmáři a chovatelé obchodovali s husami, slepicemi a králíky. A aby podvodníci neměli šanci, byly pevně stanovené ceny těchto tří zvířat. Ceny byly v kladných celých librách a žádné zvíře nestálo víc než 30 liber. Od jednoho známého jsem se doslechl, že kdybych koupil 5 slepic a 3 králíky a prodal 5 hus, neprodělal bych na tom. Pokud koupím 1 husu a 1 slepici a prodám 4 králíky, vydělám minimálně 1 libru. Kdybych ale koupil 2 husy, 9 králíků a prodal 8 slepic, prodělám maximálně 3 libry. Jaký nejmenší počet zvířat a kolik kterých bych si s sebou musel přinést, abych obchodováním na Chadwick Marketu získal alespoň 10 liber?

Řešení: Úloha se dala pochopit více způsoby. Zde ukážeme ty dva nejčastější. Cenu husy označíme h, cenu králíka k a cenu slepice s.

• Na trhu lze obchodovat pouze pomocí tří akcí uvedených v zadání.

Asi hned vás napadne řešení, že přineseme 40 králíků a ty prodáme, čímž získáme alespoň 10 liber. My ale máme hledat co nejméně zvířat, takže se podíváme, zda by nešlo přijít s méně než čtyřiceti zvířaty. Využijeme toho, že při prodávání králíků získáváme i jiná zvířata, která lze opět přeměnit na králíky, což jsou jediná zvířata, za která s jistotou získáme peníze.

Pokusíme se tedy husy, které získáváme za prodej králíků, vyměnit zpět za slepice a králíky. Tato výměna je neprodělečná, tedy jí nic neztratíme. Jelikož prodej králíků je jediný obchod, který vynáší, víme, že ho budeme muset uskutečnit minimálně desetkrát.

Místo 40 králíků stačí vzít jen 34 králíků a 1 husu. Po prodání 32 králíků nám zbyde 8 slepic, 9 hus, 2 králíci a vydělali jsme minimálně 8 liber. Po prodání 5 hus máme 13 slepic, 4 husy, 5 králíků a výdělek pořád 8. Teď prodáme 4 králíky -- 14 slepic, 5 hus, 1 králík a vydělali jsme minimálně 9 liber. Teď prodáme 5 hus a zbyde nám 19 slepic, 0 hus, 4 králíci a vydělali jsme minimálně 9 liber. Závěrem prodáme poslední 4 králíky, čímž dostaneme 20 slepic, 1 husu, 0 králíků a vydělali jsme s jistotou hledaných 10 liber. A jelikož slepice lze měnit jen prodělávající operací (proděláme 3 libry a získáme pouhých 9 králíků, z nichž prodělané 3 libry zpět nezískáme) a 1 husa nám vždy zbude z posledního prodeje králíků, odhad už vylepšit nepůjde.

Na trh si tedy přivedeme 34 králíků a 1 husu.

• Na trhu lze nakupovat, prodávat a měnit jakkoliv, uvedené způsoby výměn pouze navádějí na opravdové ceny zvířat.

Řešitelé, kteří s úlohou počítali takto, si úlohu převedli na soustavu tří nerovnic o třech neznámých. Většina si úlohu ulehčila tím, že počítala s rovnostmi. Zde si ukážeme, jak úlohu vyřešit bez tohoto zjednodušení. Ze zadání dostáváme následující nerovnice:

Sečteme všechny tři nerovnice a vydělíme je dvěma:

A z (2) a (4) plyne, že 4k = h+s+1, což je to, co mnozí předpokládali, aniž by vysvětlili, jak k tomu přišli. Vyjádříme si h.

a dosadíme do (1)

Nyní sečteme dvojnásobek (1) s pětinásobkem (3)

Z toho znovu plyne, že 17k-10s=5.

Aby 17k-10s mohlo být 5, musí 17k končit na pětku, protože člen 10s bude vždy končit na 0, když je to násobek deseti. Cena králíka tedy musí končit na cifru 5, proto postačí vyzkoušet možnosti k=5,15,25.

• k=5

Toto řešení je v pořádku, protože všechny ceny jsou celá kladná čísla nepřesahující 30.

• k=15

Toto řešení nevyhovuje, protože je cena husy větší než 30 liber.

• k=25

Toto řešení nevyhovuje, protože je cena slepice větší než 30 liber.

Vyšlo nám jediné řešení: Králík stojí 5 liber, slepice 8 a husa 11. Stačí tedy přivést jednu husu, prodat ji a získali jsme 11 liber, což je více než 10, které máme získat. Stačí nám tedy jediné zvíře.

Komentář: Obchodování na burze jste si představovali dost různě. Nicméně pokud to, jak jste si úlohu formulovali, dávalo alespoň trochu smysl, řešení jsem uznával. O body jste přišli, pokud jste ve svém způsobu řešení brali na trh zbytečně moc zvířat, když stačilo méně, nebo jste některé kroky neodůvodnili dostatečně. Pochvala patří Vítku Kaliszovi, který se popral s nerovnostmi a inspiroval vzorové řešení pro variantu 2. Varianta 1. byla zpracována podle Pepy Kvapilíka, který dosáhl nejlepšího řešení.

Úloha č. 7

Znak má tvar deltoidu, v němž úhlopříčka AC půlí úhlopříčku BD. Dále o něm vím, že |AD|=3,5 palce, vzdálenost strany BC od vrcholu D je 4 palce, úhel BAD je ostrý a $|\angle BCD| + |\angle ADC|=165\deg$. Uměli byste takový znak také zkonstruovat?

Řešení: Načrtněme si deltoid a označíme si ho jako na obrázku 1.

Aby se nám deltoid lépe konstruoval, spočítáme si úhel \delta_1. U trojúhelníku KCD platí \gamma+\delta2+90\deg=180\deg (součet velikostí vnitřních úhlů je u každého trojúhelníku 180\deg), tedy \delta2=90\deg-\gamma. Ze zadání víme, že \gamma + \delta=165\deg, to jest \delta=165\deg-\gamma. Tyto dvě rovnice dosadíme do \delta1+\delta2=\delta a dostaneme \delta1+90\deg-\gamma=165\deg-\gamma. Z poslední rovnice vyjádříme \delta1:

Nyní můžeme popsat konstrukci:

• AD; |AD| = 3,5 p
• \angle ADX; |\angle ADX|=75\deg
• K; K\in \primka DX, |KD|=4 p
• p; p \perp \primka DK, K\in p
• k; k(A;3,5 p)
• B; B\in k\cap p
• BD
• S; S \in BD, |SD|=|SB|
• \poloprimka AS
• C; C\in AS \cap p
• deltoid ABCD

Komentář: Většina řešitelů si s tímto příkladem hravě poradila. Několik řešitelů si pořádně nepřečetlo zadání a řešilo trochu jiný příklad. Nejčastější chybou bylo označování délky úsečky místo úsečky, proto vězte, že AB je úsečka a |AB| je její délka.

Opravovali: 1. Zuzana Terešková, 2. Filip Lux, 3. Karolína Rezková, 4. Petra Zahajská, 5. Miroslav Koblížek, 6. Jan Bílek, 7. Lenka Petržilková