Zadání 6. série 27. ročníku
Termín odeslání: 14. května 2012
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Dnešní odpoledne pro strážné opravdu nebylo dobré. Kromě bezútěšně dlouhé řady čekajících na obilí panovala dnes mezi všemi strážnými spavá nálada, a tak se to na tržišti začalo hemžit podvodnými prodavači, různými lapky, zlodějíčky a šejdíři. Být nejmladším strážným v jednotce v tak zapadlém městečku, jako bylo Thurui, to byl trest. Halam si toho byl dobře vědom, ale zatím svůj trest snášel dobře. Doufal, že brzy nastoupí do jednotky někdo ještě mladší a on bude moci být také pospávajícím strážným. Nyní ale nemohl. Musel asi jako jediný procházet tržištěm a kontrolovat všechny trhovce. Co prodávají, za kolik, jak poctivě. Kdekdo už ho poznal na dálku, a tak si z něj dělali legraci. Ale nedalo se nic dělat, byl to rozkaz, a tak musel pokračovat v obhlídce dál. Zatkl pár nepozorných kapsářů a u jednoho trhovce si už byl téměř jistý, že šidí. Nebo nešidí? Halam vlastně ani nechápal, co prodavač dělá.
Úloha č. 1
Trhovec směňoval jen čtyři věci -- vajíčka křepelek, sušené maso, výhonky bambusu a houby. Když za trhovcem přišli lidé, aby od nich koupil sušené maso a poté vajíčka křepelek, dal jim sušené maso. Když mu nejdřív dali cokoliv ze čtyř surovin a poté sušené maso, dostali sušené maso. Když mu nejdříve dali vajíčka křepelek a pak houby, dostali vajíčka křepelek. Ale když mu naopak dali nejdřív houby a pak vajíčka křepelek, dostali houby. Dali-li mu nejdřív výhonky bambusu a pak jakoukoliv další surovinu, dostali opět onu vloženou surovinu. Ale navíc u trhovce platilo, že když k výsledku z první a druhé suroviny přidali třetí, bylo to totéž, jakoby výsledek druhé a třetí dali po první surovině. Co ale mohli lidé dostat, když dali trhovci dvakrát za sebou houby? A co když mu dali sušené maso a pak houby?
Najednou začal prazvláštní šum. Sílil a brzy prolezl celé tržiště. Halam se rozhlédl a viděl, odkud se jako vlna nepokoj šíří. Přímo uprostřed místa, kam se koukal, se lidé začali tahat a strkat. Prát se o obilí, ze strachu, že už nebude, i když ho ještě byla spousta. Řvali na sebe to nejsprostší, co znali. Až jeden zavalitější muž povalil na zem malého drobného mužíka a začali se rvát a tahat za vousy. Okolo lidé jen stáli, smáli se i zuřili. Občas začali fandit, občas jen nadávali. Někteří mávli rukou, jiní už se chtěli přidat. To nejhorší, co v nich bylo, chtělo ven. Kupci se sýrem porazili stánek a poslední zbytky sýra se válely po zemi. Tak krásně je měl vyrovnané. A teď tady jen stál a smutně se na ně koukal.
Úloha č. 2
Jelikož měly sýry tvar pravidelných krychliček, vyrovnal si je do hranolu 2\times3\times3. A jak stály celý den na sobě, přilepily se některé k sobě. Teď se po zemi válelo několik kusů, které měly tvar jako na obrázku. Kupec jen věděl, že původně se každý tento kus dotýkal každého dalšího. Jak byly kusy uspořádané?
Černé kápě vlající za nimi jim už dávno zešedly prachem z cest, které projezdili za poslední měsíce. Strach z prozrazení. Strach z mučení a smrti je týraly, že už ani spánek nebyl vysvobozením. A teď, v tomto jediném okamžiku to může skončit. Přísahu nedokázali porušit. Jediným vysvobozením pro ně mohla být smrt, a nebo splnění rozkazu. A ten zněl velmi jasně, až příliš jasně: zabít korunního prince Iameha. Samo princovo jméno se stalo nejkrutějším tyranem. Hnalo je přes celou zem, některé pouští a jiné močály. Oni tři ale měli štěstí. Stáli zde a měli štěstí. To neuvěřitelné štěstí, že jeden z Menáloových špehů prince potkal a dal jim přesný popis prince i jeho společníka. A nyní ho viděli. Malý chlapec stojící uprostřed vřavy mezi trhovci, hádal se o poslední dávku obilí. A kousek za ním jeho starší druh, popoháněl ho, aby už mohli zmizet, než si jich někdo všimne. To musí být oni. Poslední myšlenky jim vařily krev ve spáncích, dunění vlastního tepu je ohlušovalo, že ani nevnímali, jak nápadní, či nenápadní budou. Jen hlavně, že to celé skončí. Úkol bude splněn. Postupně se blížili všichni tři k princovi. Svět se zastavoval. Jakoby i ptáci nad nimi vlastně stáli na obloze a jen na ně shlíželi. „Jak to tam od nich asi vypadá?“ napadlo jednoho z jezdců.
Úloha č. 3
Představoval si, jak se všichni tři jezdci stali pouhými body, vrcholy trojúhelníku. A pak v myšlenkách stvořil i podivné pravítko bez rysky. Mohl s ním buď spojit dva body v přímku, nebo vytvořit přímku rovnoběžnou s už existující přímkou, ale pouze ve vzdálenosti 1 od ní. Nemohl s ním odměřit žádnou vzdálenost, ale přesto dokázal najít bod, který byl od všech stran trojúhelníku stejně daleko. Jak to udělal?
„Přesně tam stojí,“ pomyslel si jezdec a začal křečovitě svírat jílec. Prsty mu začaly bělet, ale myšlenky nepovolily stisk ruky. Konec se blíží. Ostří se pomalu začalo objevovat mezi záhyby pláště. „Prapodivné ostří,“ říkal si mnohokrát.
Úloha č. 4
Ostří mělo vskutku zvláštní tvar. Byl to trojúhelník. Celá plocha ostří měla 12 palců čtverečních. Jedna ze stran měla délku 2 palce a těžnice na tuto stranu byla stejně dlouhá jako jedna ze zbylých stran. Jak dlouhé jsou pak vlastně zbylé dvě strany?
Ostří se zalesklo a opět zmizelo. Malé tělo se stalo bezvládným a zhroutilo se k zemi. Vysvobození a úleva.
V trůnním sále bylo podivné ticho a šero. Tiché oči, které dřív pozorovávaly každé šustnutí této místnosti, postupně zmizely, až zde zůstaly jen jediné. Ty královy. Sledovaly teď pozorně a nedůvěřivě každého, kdo před ním stál. Každý už teď mohl být nepřítel a nikomu se nedalo věřit. V zemi začala občanská válka. Císařství proti stoupencům Menáloa. Teď už se nedá věřit nikomu, ani poddaným.
Úloha č. 5
Král chtěl Menáloa porazit v tradičním turnaji v šermu skupin. Každý má k dispozici 30 šermířů. Ty velitelé rozdělí do šesti týmů; v každém týmu musí být alespoň jeden šermíř. Poté si to každá králova skupina rozdá s každou nepřítelovou skupinou. Platí, že početnější tým vždy vítězí, soupeři nikdy nesestaví stejně početnou skupinu, jako jejich protivník. Celý turnaj vyhraje ten, jehož muži vyhrají dvakrát víc soubojů, než soupeřovi.
Nakonec se ale místo turnaje soupeřilo ve špionáži. Královi zvědové zjistili, že nepřítel připravuje dvě skupiny po čtyřech, dvě skupiny po pěti a dvě skupiny po šesti šermířích. Jak sestaví své skupiny král, aby turnaj vyhrál? Jak nepřítel, když se dozví královy úmysly? Může na to král opět zareagovat a turnaj vyhrát? Jaké rozdělení by potom krále opět poráželo? Je možné, že to původní?
Neustálý boj proti zvědům, snaha mít své vlastní, rozpoznat nepřátelské, schovat vlastní... Nedůvěra už začínala svírat krále všude v jeho mysli. Jak poznat špeha? Třeba se to dozví právě teď. Jeden z nejlépe schovaných špehů byl zajat a teď před ním klečel. Bez honosného roucha vypadal obyčejně, ale jeho pověst byla nebezpečná.
„Jakmile se o někom začne říkat, že je to mocný mág a kouzelník, hrozí velké problémy,“ uvědomoval si král.
„Co všechno víš o korunním princi Iamehovi?“
Otázka zazněla, ale sklopená tvář neodpovídala.
„Prý jsi ho potkal při své cestě. Kde to bylo?“
Mág dál klidně klečel před králem.
„Co všechno jsi řekl těm vrahům?“
Zlost v králi narůstala s každou další nezodpovězenou otázkou.
„Řekl jsem jim jen nezbytné, tak jako i zde budu říkat jen to nezbytné,“ narovnal hrdě mág hlavu a podíval se přímo do královských očí.
Král se ho nelekl, neměl proč se bát toho, že kouzelník ovládne jeho duši a že padne chromý v bolestech. Nic horšího, než co teď zažíval, už podle něj ani být nemohlo. Poslední člověk, kterému kdy mohl v životě věřit, možná je a možná není mrtev. Ale ani to se teď nedokázal dozvědět a jeho bezmocnost ho ubíjela.
„A jak moc nezbytné je pro tebe žít?“ zeptal se chladně král kouzelníka.
„Velmi.“
„Tak odpovídej, nebo může být brzy zbytná.“
„Má představa o délce mého života se může značně lišit od té vaší, bez ohledu na to, kolik toho řeknu.“
„A jaká je tvá představa?“
„Řeknu vám o své představě a vy ji zkrátíte.“
„A počítáš svůj život na hodiny, dny, či týdny?“
„Zatím si dovoluji uvažovati o dnech.“
„Kolika?“
Kouzelník se jen s úšklebkem podíval na krále.
Úloha č. 6
„Nechce-li se ti říkat počet dnů, ve které doufáš, řekni mi místo toho jiné číslo. To číslo urči tak, že od desetinásobku svého počtu dnů odečteš devítinásobek libovolného jednociferného čísla. A toto číslo mi řekni.“
„Pak ale stejně budete vědět, v kolik dnů doufám.“
„Opravdu? Proč myslíš?“
Kouzelník se na krále jen pousmál, sklopil na chvíli hlavu k zemi a pak se opět narovnal.
Úloha č. 7
„Vymyslete si čtyři různá přirozená čísla a, b, c, d. A pak z nich vždy vyberte dvojici tak, aby součet této dvojice dělil součet všech čtyř původních čísel. Za každou takovou dvojici vám zodpovím jednu otázku.“
Kolik nejvíce otázek ale nakonec zodpoví kouzelník králi?
Žádná z odpovědí králi nepomohla. Jen ho ujistila v jeho beznaději. Nikdo na světě už není důvěryhodný. Nikdo už není nezkažený. Každý může být zvěd. Každý může chtít ho zabít. A v tomto strachu nyní musí žít. Odteď už navždy. Iameha, jediného člověka, kterému mohl věřit, už nikdy nepotká. V královských očích se zaleskly slzy. A poté už navždy vyprahly.