Zadání 5. série 27. ročníku
Termín odeslání: 16. dubna 2012
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Už od začátku bylo jasné, že tento úkol je ten nejdůležitější, jaký zatím vrchní strážce vězení Tchan dostal. Hlídat normální zloděje či vrahy mohl kdokoliv, ale tady šlo o vlastizrádce. Člověka, který se pokusil zabít císaře. Člověka, který se zkusil provolat císařem. Vlastizrádce, jenž nakonec doplatil na zradu vlastních vojáků, žoldnéřů, jimž někdo nezaplatil včas, a tak nebojovali. Jejich vojsko bylo přemoženo, rozprášeno a vzdorocísař zajat. A nyní měl on, Tchan, syn z rodu kovářů, ohlídat, že již neunikne. Chtěl si být jistý, že vězeň nebude mít šanci uprchnout a nikdo z dalších zrádců, kteří s ním byli zavřeni v kobkách, nebude mít šanci mu pomoci. Chtěl si být jistý. A tak přemýšlel, jak to udělat.
Úloha č. 1
Každých deset minut měla skupinka hlídačů projít kolem všech cel. Po všech chodbách a po každé pouze jednou. Plánek, jak podzemí vypadá, je na obrázku. Ke kobkám se dalo sestoupit po několika točitých schodištích, která jsou na obrázku zakreslena jako kolečka. Vrchního strážce okamžitě napadlo, že čím více různých tras budou moci volit strážní při kontrole, tím těžší bude pro vězně odhadnout, kdy a odkud přijdou. Jenže kolik cest tak může být?
„Hodně věcí se změnilo,“ přemýšlel císař v duchu. Opřený vyhlížel do ranní mlhy tam, kde obvykle býval obzor. Byl zvyklý dívat se do budoucnosti, plánovat, vést. Ale najednou se čím dál častěji zastavoval a chtěl raději přemýšlet nad minulostí. Co se pokazilo a proč to navždy zmizelo jak písek mezi prsty. Viděl, jak to utíká, uniká a nedokázal to zastavit. Smrt jeho dcer. Zrada jeho syna a jeho chůvy. Náhlá nemoc jeho ženy. Ztracený a možná již mrtvý syn, o kterém již několik měsíců nebyly žádné zprávy. A jeho vlastní bratr, který byl podle všeho chycen a včera uvržen do žaláře. Věděl, co musí udělat, ale čím dál více si nebyl jistý, zda věčnost říše se dá ještě vůbec zachránit. Čím dál více si nebyl jistý její cenou. Zda má smysl obětovat i jen jediný další život za záchranu odkazu předků. Tisícileté říše, jejíž on je císař. Císař Země, Slunce a Měsíce. Napadla ho jen jediná možnost, jak jim dát šanci přežít, pokud budou chtít a budou chytří. Šanci alespoň dvěma z nich.
Úloha č. 2
Chůvu, Genfreye i Menáloa postaví proti sobě, aby si mohli navzájem hledět do očí, a strážný jim nakreslí každému dvě tečky na čelo. Tečky mohou být červené nebo modré. Všichni tři dohromady nebudou mít více než čtyři tečky od jedné barvy. Poté bude postupně každý z nich moci jednou hádat, jakou barevnou kombinaci má na čele právě on. Bude to to jediné, co bude moct říct, až tečky budou namalovány. Kdo uhodne, přežije. Mohou vymyslet strategii, že z toho, co řekne první z nich, druzí dva ihned poznají, co mají na čelech oni? Mohou tedy mít jistotu, že alespoň dva z nich se určitě zachrání?
Iameh s dědečkem byli již téměř na konci své podivné cesty. Čekalo je poslední velké město, Thurui, a pak již pojedou pryč. Pryč od lidí, kterým Iameh začal až příliš důvěřovat a dědeček viděl obrovské nebezpečí, které hrozí. Vezme ho k němu domů, k vlastním dětem a k ženě. Bude doufat, že prince vezme jeho rodina za vlastního a princ vezme jeho rodinu za vlastní. Vždyť to byl většinou jen malý kluk, co měl rád hlavolamy. A jeho císařský svět ho ničil.
Od prvního okamžiku, když uviděl jeho drahé šaty a uviděl, jak ho stráže hledají, mu bylo jasné, že ten malý kluk sem vlastně ani nepatří, ale pokud mu nepomůže, nebude už vůbec patřit do světa živých lidí. V jeho očích bylo jedinou možností prince schovat. Vůbec netušil, že ho nyní hledá už někdo jiný než o několik měsíců dříve. Vůbec netušil, že pokud princ nebude nalezen, hrozí zánik říše. Netušil o politice vůbec nic.
Blížila se zima a v Thurui se začaly otvírat sýpky s obilím. Každý teď spěchal koupit si alespoň něco, aby letošní zimu přežil. Iameh i s dědečkem se tak zařadili do nekonečně dlouhé řady čekajících. Každému čekajícímu museli správci odvážit přesné množství, každý musel zaplatit a vše muselo být pečlivě zaznamenáno.
Úloha č. 3
Ještě ke všemu, když chtěli správci někomu naplnit pytle, dělali to pomocí dvou trychtýřů. Jedním se sypaly 4 kbely obilí za minutu, druhým 10 kbelů za minutu. Když je chtěli vyměnit, trvalo jim to minutu a do jednoho pytle se dal dát vždy pouze jeden trychtýř naráz. A skoro každý chtěl naplnit dva pytle, jeden o objemu 100 kbelů, druhý o objemu 145 kbelů. Jak nejrychleji byste takové dva pytle pomocí trychtýřů naplnili?
Začínající zima prolézala všechny a kdo mohl, raději se schoulil do sebe, aby mu jeho teplo neuteklo. Jeden z písařů, který už dlouho nemusel nic zapisovat, tvrdě usnul. Druhý si dýchal na ruce a uvažoval nad tím, proč právě on má být tím, kdo zapisuje. Stejně tak strážní, kteří měli hlídat klid při rozdělování, už jen znuděně postávali a pomalu usínali. Ve snaze jakkoliv odvrátit spánek si jejich velitel začal dávat také různé otázky. Počítal lidi v zástupu, přiřazoval jim různá čísla a přemýšlel o číslech místo lidech.
Úloha č. 4
Měl rád prvočísla. Zvlášť ta, co končila číslicí 7. Chtěl najít co nejdelší řadu prvočísel takových, že by končila právě číslicí 7 a každá dvě po sobě jdoucí by se lišila o 10. Jenže stále nacházel pouze řady se dvěma takovými prvočísly, nikdy víc. Víte proč?
Jenže přes všechnu snahu velitel usnul, potichu se sesunul na své stoličce a začal chrápat. A tak se přepočítávalo dál, řada se pomalu nehýbala a slunce se začalo přibližovat k obzoru. Iameh už to po půl dni čekání nemohl vydržet, a tak se snažil zabavit se alespoň nějak. Chtěl si hrát s míčem, ale žádný neměl, a tak si vymyslel, že si ušije míč.
Úloha č. 5
Jenže jak ušít míč? Měl malé ústřižky z kůže ve tvaru pravidelných šestiúhelníků a pravidelných trojúhelníků, které měly stejnou délku strany. Jak je má k sobě sešít, aby získal uzavřený míč? (Nakreslete síť nebo pošlete model.)
Po ušití míče si s ním Iameh i zahrál. Jenže čekalo se tak dlouho, že už ani míč nemohl stačit. A tak se Iameh dal do bloumání po tržišti. Potkal tak tři malé kluky, co si do země klacíkem něco čmárali. Dlouho nechápal, co to dělají, ale pak mu to došlo.
Úloha č. 6
Chtěli sestrojit lichoběžník ABCD se základnami AB, CD. A znali o něm pouze délky stran b=|BC|=5 cm, c=|CD|=6 cm, d=|AD|=10 cm a rozdíl úhlů \beta-\alpha=45\deg. Sestrojte tento lichoběžník; nezapomeňte popsat a zdůvodnit postup konstrukce.
Iameh si lichoběžník sestrojil v hlavě. Nebylo to jednoduché. Ale co teď? Kluci na to mezitím také přišli a domalovali princovu představu na zem. A on při pohledu na ni vymyslel pro sebe novou úlohu.
Úloha č. 7
Nakreslil si nový lichoběžník se základnami AB a CD. Do středu strany AB umístil bod K, do středu strany CD umístil bod L. Jako M označil průsečík úhlopříček a jako N průsečík prodloužených ramen. A rozhodl se, že si vypočítá $|KM|/|LM| \cdot |LN|/|KN|$. Kolik to je?
Najednou se ale na tržišti začalo něco dít. Stráže se opět probouzely. Koně začali nervózně ržát. Lidé, čekající celý den, ztráceli trpělivost a začali se strkat. Něco se dělo, ale zatím vlastně nikdo netušil co. V panice, že obilí dochází, začali se lidé ještě víc strkat a předbíhat. Kdo se cítil malým a nenápadným, snažil se proklouznout a ukořistit si poslední zbytky. Začali se prát a strkat. Začal povyk. Neklid který vyrušil i Iameha. Iameh však pouze otočil hlavu a pak se opět vrátil ke své vlastní hádance, strkanice mu přeci klidně může utéct.
