Zadání 4. série 27. ročníku
Termín odeslání: 12. 3. 2012
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Iameh putoval s dědečkem už několik dní. Vyměnil oblečení prince za úplně obyčejné a začal se ztrácet mezi ostatními dětmi. Sem tam si v nějaké vesnici s někým začal hrát, občas poslouchal někoho vyprávět příběhy a přestával být udivený z věcí okolo sebe. Už je začínal znát. Dědeček pro něj byl ale stále záhadou.
Dny plynuly a oni na své cestě dorazili až do města Krilly. Krilla bylo velké město. Do výšky se tyčily vysoké věže a brány. A tady bylo poznat, že Iameh je stále princem. Neudivovaly ho výšky věží, ani šířka bran, ani tloušťka zdí. Ani lidé, co potkával. Věděl, že všichni sem patří a on mezi ně. Jen jednou věcí se stále odlišoval. Stále měl rád hádanky. A tak to bylo volání přesně pro něj.
„... Kdo porazí slovutného kouzelníka Minga? Mistra nad mistry z hádankářů? Kdo bude chytřejší a bystřejší? ...“
Iameha to přilákalo až ke stolku, u kterého stál vysoký muž. Oblečený v dlouhém tmavě modrém plášti vyšívaném stříbrem musel pro každého jiného na tržišti vypadat jako opravdový černokněžník, ale Iameha to nijak nezaujalo. Nosíval šaty dražší a zdobnější, a tak si jich vůbec nevšímal a hned chtěl slyšet hádanku. A tak mu mistr Ming rovnou řekl svou hádanku:
Úloha č. 1
„Mám pět čísel. Všechna jsou celá. Znám součty každé dvojice, což podle velikosti jest 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Jaká jsou má kouzelná čísla?“
Iameh se zamyslel, zavřel oči a okamžitě odpověděl. Mistr Ming jen přimhouřil oči. Nečekal odpověď. Již mnoho dní pouze pokládal otázky a nikdo mu neuměl odpovědět. Tušil, že se potkává s neobyčejným chlapcem, a tak pokynul svému služebníkovi.
„Dostaneš odměnu, ale předtím ještě jedna hádanka.“
Každý jiný by se zlobil, ale prince to potěšilo.
Úloha č. 2
Pomocník vyskládal na stůl mince. Už jen spočítat je chvíli trvalo. Bylo jich přesně 235 a přesně 92 jich leželo rubem nahoru.
„Smíš buď odebrat 4 mince, z nichž právě 2 jsou rubem nahoru (krok a), anebo jednu minci otočenou lícem nahoru otočit, aby byla rubem nahoru (krok b). Chci aby na konci leželo na stole 147 mincí a přesně 51 z nich bylo otočeno rubem nahoru. Nejdřív pověz kolika různými způsoby to můžeš udělat? Až pak si je smíš vzít.“ (Považujme posloupnosti a, a, b a a, b, a za různé.)
Iameh se tentokrát dlouze díval na mince. Bylo jich tolik. Ale na rozdíl od tolika jiných lidí ho nezajímalo, že jsou to mince. Odpověděl správně, a ani netušil, co všechno si tím přinese. Mistr Ming se na něj díval stále více podezřívavě. O tom, kde je princ, dosud věděli pouze dva lidé. Ale nyní to tušil jeden další. Jeden, který o tom nebude mlčet.
Král stál nad všemi mapami, které se jen daly najít. Staré i úplně nové, všechny teď ležely po stolech i po zemi v jeho pracovně. Nervózně nad nimi chodil a prohlížel je. Najednou ho něco napadlo. Namočil psací pero a rozhodl se něco si v mapách vyznačit.
Úloha č. 3
Na třech velkých stolech teď ležely mapy, které jediné ho zajímaly. Každé dva stoly spojovala jen úzká cestička mezi nepořádkem na zemi. Na čtvrtém stole měl kalamář s inkoustem. Vždy si naplnil psací pero n kapkami inkoustu (n přirozené) a postupně obešel všechny tři mapy. Do každé toho chtěl vepsat stejně, stejný počet kapek inkoustu na každou z nich. Ale při roztržitosti a nešikovnosti mu vždy při chůzi polovina inkoustu z pera vykapala. Kolik kapek inkoustu musí na začátku nabrat, aby mohl vepsat do každé mapy stejné množství kapek a přitom mu v peru nezbyl žádný inkoust?
Už věděl přesně, co se stalo. I kdy to začalo. Zrádci byli chytáni každý den a na čtyřicet z nich již bylo popraveno. V jeho vlastním domě ale byli zajati dva, kteří stihli napáchat víc škody, než by dokázal kterýkoliv ze zbylých čtyřiceti.
Nikdy nečekal, že chůva, která vychovávala jeho samotného, by mu mohla tak moc ublížit. Dosud nevěděl, co se stalo té noci s jeho synem, korunním princem, Iamehem. Stihl utéct? Nebo snad padl do zajetí? Nejistota, které ho vystavila jeho vlastní chůva, ta jediná, které kdy dokázal plně důvěřovat, ho nyní drtila. A zrada vlastního syna Genfreye ho srazila na kolena. Jeho vlastní dítě chtělo vyvraždit svou vlastní krev. Všechny tři jeho malé dcerky byly mrtvé. A on sám měl být další obětí. Jen díky náhodě vyvázl a jen díky náhodě byl on stále králem. Živým králem. Živým králem, který teď ale nedokázal klidně žít. Netušil, kde je jeho bratr, ale věděl naprosto přesně, co se musí stát. Již nesmí být dva králové v jednom království. Ale Menáloas stále unikal. A stejně tak nedokázal zjistit, kde je Iameh. Ale jeho kreslení do map mu nakonec pomohlo.
Úloha č. 4
Na každé mapě tak vznikl malý trojúhelník ABC. Součet délek dvou jeho stran a+b byl 10 cm, jeho třetí strana c měla délku 6 cm a jeho úhel ABC měl velikost 60\deg. Dokážete takový trojúhelník také nakreslit?
„A přesně v této oblasti je Menáloas,“ pomyslel si král.
Iameh nedokázal vydržet. Se svou výhrou se hned musel pochlubit dědečkovi.
„A to ti ty peníze dali jen tak?“
„Proč by neměli, vždyť jsem je vyhrál.“
„Ale to je velké množství peněz.“
„Ale já je vyhrál.“
„A co s nimi budeš dělat?“
„Koupil jsem si od něj rovnou hlavolam,“ a vytáhl z kapsy malý osmistěn.
„A nebylo mu to divné?“
„Proč by mu to mělo být divné? Vždyť je sám prodával.“ Princ neslyšel a nechtěl slyšet, že něco v jeho vítězství je špatně. Vždyť bylo přeci úplně skvělé, že vyhrál. Nebo ne?
Ranchanské lesy, kterými projížděli byly pověstné neklidem. Ale teď bylo ticho. Takové to nepříjemné, vše prolézající. Až najednou před sebou uviděli na cestě několik mužů. O něčem se dohadovali, ale jen velmi potichu. Spíš na sebe vlastně syčeli.
Úloha č. 5
Jen co uviděli dědečka s Iamehem, naráz se rozprchli do všech stran schovat se. Měli přesně 20s na to se schovat. Když běželi po cestě, mohli prchat rychlostí 5 m/s, a když běželi lesem, tak jen rychlostí 3 m/s. Kam všude se mohli dostat? Jak vypadá tato oblast?
Iameh se vystrašeně díval na dědečka a ten zrychlil Kess, jak jen mohl. Dědeček ale věděl, že nic nemůže pomoct. A vrátit se nepomůže. Než by se otočili, mohlo by se stát až příliš mnoho věcí. Takhle to jen zasvištělo... Brzy vyjeli na menší mýtinu, ale ani to nedonutilo dědečka zpomalit. Věděl, že některým věcem už nelze uniknout. Až k večeru dojeli k malému potůčku. Až tam se zastavili a Kess si mohla prvně odpočinout. A Iameh se konečně dostal ke svému hlavolamu. Jenže nebyl tak těžký.
Úloha č. 6
Vlastně to byl jen malý pravidelný osmistěn a na něm různě rozmístěná čísla, všechna přirozená. Věděl, že číslo na každé stěně je součinem čísel z vrcholů u dané stěny. A součet čísel ze všech stěn je 2 012. Ale když by dělal součet čísel z vrcholů, jaké všechny výsledky by tak mohl získat?
Chvíli se zamýšlel a pak si vymyslel nový hlavolam.
Úloha č. 7
Představoval si, jak ten svůj malý pravidelný osmistěn, o hraně délky 6 cm, uzavře do koule, která jej bude opisovat. Tu ale pak uzavře do krychle, ve které bude daná koule vepsaná. Jak velký objem bude mít jeho nová krychle?
Přemýšlel a přemýšlel a vytvářel spousty nových hlavolamů, až pomalu zavřel oči a byl v zemi malých hlavolamů a hádanek. A byl tam šťastný.
