Zadání 3. série 27. ročníku
Termín odeslání: 13. 2. 2012
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Rámus. Příšerný rámus. Skřípání. Břinkot. Měl pocit, že za chvíli mu ten hluk zatlačí uši do hlavy. Dunění všude v něm. Žaludek se mu svíral pod tlakem jeho vnitřností. Cítil se svázaný. Kdy ho svázali? Kdo ho svázal? Proč se nemůže hnout? Tma. Tma všude okolo. Jen před ním trocha světla. A v něm malé kamínky pro štěstí. Takové, které se dávají při narození malým dětem. Vypadaly jako ty jeho, ty, které dostal on sám. Ale teď jsou jiné. Obrovské. Větší než on sám. Třeba mu pomůžou. Bude po nich moci vylézt za tím světlem. Světlo ho zachrání. Nebudou ho moci umačkat. Ale rychle. Rychle!
Úloha č. 1
Musí dát kamínky na sebe, ale jak? No určitě tak, aby ty největší byly dole. Nikdy nesmí dát větší na menší. Kamínků je osm. Jsou vybroušené do tvaru krychliček a mají různou velikost. Netušil, proč mají různou velikost, ale věděl přesně, jaká je u každé z nich.
Nejmenší měla délku hrany 1, další dvě krychličky délku hrany 2, pak následovala až krychlička s délkou hrany 5, ta další s délkou hrany 6, další 7 a dvě poslední s hranou délky 20. Kolika způsoby z nich tak může poskládat věž o výšce 37, jak by potřeboval? Nebo bude lepší mít pro každou nohu stejně vysokou věž o výšce 23? Kolika způsoby to může udělat? A může z této jedné sady kamínků pro štěstí poskládat několik stejně vysokých věží tak, aby vůbec nic nezbylo?
Když něco zbude, tma se k němu dostane. Budou to pro ni schody k princovi. Bude to další tma...
... plachta, do které se princ během noci zamotal, se teď zuřivě zmítala. Převrhla přitom i několik prázdných proutěných košů, které dosud jen poklidně postávaly na voze. Na voze, který se během noci potichu rozjel a projížděl pomalu uličkami města směrem k hlavní bráně. Zástup vozů před ním i za ním téměř neubýval. Někdo se rozhodl prohledávat každý vůz, prohlídnout každého, kdo chce projít. Zkontrolovat a zajistit vše, co by tu být nemělo. A proto se pomalým krokem loudal každý kůň od každého vozu. Ale náš vůz už pomalu stál v hlavní bráně.
„Vaše cestovní desky! Odkud jedete? Kam jedete? Kdo jedete? Co převážíte? Jak dlouho jste tu byli? Všichni vystoupit“ Hrubý hlas, zvyklý dnes každému opakovat tyto rozkazy, to zopakoval, aniž by se zajímal, komu všemu to vlastně říká.
A tak jediný naslouchající cestující sestoupil z vozu a podal hlídce cestovní desky.
Úloha č. 2
Cestovní desky byly opravdu pouze desky a jediné, co obsahovaly, byl předtištěný červený obdélník. Cestami již trochu rozpitý, ale stále se dalo rozpoznat, že je složený z čtverců, tak jako ten na obrázku. Nejde ho už změřit, ale přesto jde určit poměr stran. Jaký je? 
Jeden ze strážných začal kontrolovat údaje a vyplňovat další do zcela přeplněných kolonek. A další vůz pomalu obcházel a kontroloval prázdné koše.
„Co je to v té dece?“
„To je pes. V noci se mi toulal okolo vozu, jak asi cítil kaštany a ořechy. Tak jsem si ho chytil. Buď se uklidní, anebo se alespoň konečně pořádně najím.“
„Toulajících se psů je teď tak strašně moc. Tak snad dobrou chuť,“ zasmál se obcházející strážný.
Oba zkontrolovali vše, co měli, a pustili další vůz. Další, o kterém vlastně nevěděli vše, co měli. Ale kdo by dokázal zkontrolovat vše pečlivě a důkladně, když musel kontrolovat vše pečlivě a důkladně už od včerejšího večera.
Vůz se pomalu rozjel a princ, který se již vzbudil, teď pozorně poslouchal, co se bude dít. Někdo ho chce sníst? Kdo to je? Má se hýbat? Nebo dělat, že ještě spí? Jenže moc dlouhé ticho ho po noci plné zmítání prozradilo.
„No, už můžeš vstávat,“ ozval se znovu hlas, co ho chtěl sníst.
Iameh pomalu shrnul plachtu a viděl, že už svítí slunce. Před chvílí byl východ. Uviděl oblohu tak, jako ji ještě nikdy neviděl. Někde byla fialová, jinde modrá, pak přecházela do oranžova a žluta, až nakonec byla v jednom místě úplně bílá. A do toho všeho byly různě rozptýlené kousky modrého chmýří. Najednou si všiml, že se na jeho udivený obličej někdo dívá. Zpod velkého slaměného klobouku ho pozorovaly staré oči. Prohlížely si ho a možná se i divily.
„Nejsem pes a sníst se nenechám“ snažil se princ znít odvážně.
Ale oči se na něj dál klidně dívaly. Princ rozzuřen tím klidem se okamžitě dal do vstávání, vyskočil, ale zamotán do deky nakonec udělal kotrmelec vzad, až vypadl z pomalu jedoucího vozu. A ten se zastavil.
„Pojď radši sem, ať už odtamtud nespadneš.“
„A nebudete mě jíst?“
„Nebudu, slibuji. Ani kousek z tebe neukousnu.“
Princ nevěděl, co jinak dělat. Neměl ani boty a tušil, že s jeho oblečením se mu bude špatně schovávat. Stále měl vestičku vyšívanou zlatem a temně rudou nití, modré kalhoty se zlatem vyšívanými nohavicemi a pásek se slonovinou a stříbrem. Vždyť i jen jeho oblečení by mohlo být cennější než to, co viděl u žebráků. Jak vlastně dokázal proklouznout tolika místy, aniž by se mu něco stalo? Nechápal štěstí včerejší noci a nechápal ani, kam se dostal a jak. Stál kdesi mezi několika poli a lesy na prašné cestě a staré oči na něj stále hleděly.
„Když se mi doteď nic nestalo, tak se mi třeba nic nestane ani teď, a navíc mi slíbil, že mě nesní,“ pomyslel si princ pro sebe, přisedl si dopředu a vůz se opět pomalu rozjel.
Jeli spolu dlouho a Iameh se stále více divil tomu, kde vlastně je. Jakoby byl v podivném snu, nebo že by ho naopak někdo z podivného snu probudil? A staré oči se na něj celou cestu jen dívaly. Až v podvečer dojeli ke starému brodu. Iameh vůbec netušil, co se bude dít. Voda nevypadala divoce, a přesto u ní byl podivný kamenný pomník a na něm malá hořící svíčka.
„To aby si člověk pamatoval, že vody v řece je vždycky víc, než kolik jí vidíš,“ podívaly se na něj staré oči. „Nu seskoč. Nenecháme to všechno tahat starou Kess. Vem si ty největší dva koše a přenes je na druhou stranu. A pozor, u druhého břehu to klouže.“
Princ viděl vodu na hladině, jak se pomalou houpá, a skoro nemohl uvěřit, jak studená a rychlá byla voda u dna. Bál se, že do ní uklouzne a nevyplave. Až na druhém břehu si oddychl.
„To je jen jedna z řek, kterou budeme brodit. Ani u té druhé řeky ještě nedokázali postavit most.“
Jeho starý průvodce si sedl těžce do trávy a hladil hlavu staré Kess, která si poklidně spásala trávu z nového břehu.
Úloha č. 3
„To se má tak, jsou dvě řeky, obě stejně široké, tečou stále stejně daleko od sebe. A oddělují od sebe dvě města, Ancharnu a Bakchus. Lidé z každého z nich by rádi co nejkratší cestou do toho druhého. A rádi by to bez zbytečné vody v kapsách. A tak chtějí stavět mosty. Most musí být kolmo na řeku. Cestě je to jedno. Ale páni radní z obou měst lamentují, že nevědí, kam dát mosty, aby cesta byla co nejkratší celá. Tak kam je dát?“
„Vždyť je to jednoduché,“ zarazil se princ.
„No vidíš,“ usmály se na něj oči a vzhlédly vzhůru. Na obloze se pohupoval malý papírový drak. Princ už viděl různé, ale tenhle byl na rozdíl od ostatních příliš jednoduchý.
Úloha č. 4
Byl to deltoid a z každého jeho vrcholu vedl provázek. Všechny provázky pak byly svázané v jednom místě. A jak byly ty provázky všechny napnuté, tak místo, kde byly svázané, bylo přesně pod průsečíkem úhlopříček deltoidu. Když deltoid označíme ABCD, pak |AB|=|BC|=1/2|AD|= 1/2|CD|=2 a úhel BAD je pravý. Provázky z vrcholů A a C měří dohromady 6. Tak kolik bylo potřeba provázku, když zanedbáme uzlíky?
„To znamená, že se slaví svatba,“ mrknul na něj starý průvodce, když viděl, jak princ přemýšlí o drakovi.
Proč je drak ve vzduchu, prince ani nenapadlo. Spíš ho teď napadaly různé jiné otázky. Kdo je vlastně jeho průvodce? Už si ho stihnul prohlédnout. Byl to starý muž, takový spíš dědeček. Takových lidí ale princ ve svém životě mnoho neviděl. V paláci museli být všichni mladí a veselí, jen starší rádcové mohli zůstávat. Ale jejich oči nebyly takové veselé. Byly chladné a neustále počítající.
Pomalu dojeli k hlavnímu hostinci, odkud už se pomalu klátivě loudaly škytající postavy. Svatba byla pomalu u konce. Jen venku postával ještě trochu střízlivý slavnostně oblečený pán a škytavě vysvětloval:
Úloha č. 5
„To víte, my se rozhodli, že zkusíme, kdo z nás vypije kalíšek vína nejrychleji. Bylo nás tam 33 a každý si připil s každým. Vždy dva si připili. No a každý to alespoň jednou vypil rychleji než ten druhý. A myslíte, že vždy musí být tři, kde jeden by přepil druhého, druhý třetího a třetí prvního? Proč?“
S touto filozofickou otázkou se obrátil na koště, které ho náruživě poslouchalo a zvědavostí ani nedutalo. A opřen o něj, jako o nejvěrnějšího druha, usnul.
Dědeček se pousmál nad závažností otázky a rozhodl se sehnat něco princovi k jídlu.
Iameh si zatím sedl na kraj vozu a začal si hrát s korálky z pásku. Postupně si je z něj vyloupal a začal je zkoumat.
Úloha č. 6
Měl jeden červený kamínek vybroušený do destičky 2 \times 2, jednu slonovinovou destičku 2 \times 1 a hromadu dřevěných destiček tvaru $3 \times 1. A řekl si, že poskládá čtverec. Chtěl v něm destičku 2 \times 2 i destičku 2 \times 1, ale u destiček 3 \times 1$ mu to bylo jedno, těch mohlo být, kolik bylo potřeba. Povede se mu to? Jak?
Zkoušel to jen chvíli. Pak dostal teplé mléko a starý chleba a byl rád. Den nejedl, a tak mu to připadalo jako to nejlepší, co kdy měl. A šťasten tím okamžikem, dal si ještě jedno malé předsevzetí, než usnul, že chce vidět každé ráno východ slunce.
Úloha č. 7
No nakonec se mu to tak úplně nepovedlo. Za první měsíc, který měl 30 dní, se mu to povedlo jen 21krát. Kolik nejvíce dnů za sebou se mu to určitě povedlo, když nevíme, které dny zaspal?
