Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.

Úloha č. 1

Každých deset minut měla skupinka hlídačů projít kolem všech cel. Po všech chodbách a po každé pouze jednou. Plánek, jak podzemí vypadá, je na obrázku. Ke kobkám se dalo sestoupit po několika točitých schodištích, která jsou na obrázku zakreslena jako kolečka. Vrchního strážce okamžitě napadlo, že čím více různých tras budou moci volit strážní při kontrole, tím těžší bude pro vězně odhadnout, kdy a odkud přijdou. Jenže kolik cest tak může být?

Řešení: Nejprve si položme otázku, kde mohou hlídači svou obhlídku začít. Z bodů, kde nebudou ani začínat ani končit, musí nutně vést sudý počet cest. Při každé návštěvě bodu totiž vždy nějakou cestou přijdou a jinou cestou odejdou, na každý průchod proto spotřebují dvě cesty.

Na plánku jsou ale dva body (B a D), z nichž vede lichý počet cest. V jednom z nich je potřeba začít a v druhém skončit.

Dále si uvědomme, že cesty z B do D nejsou nic jiného než cesty z D do B, pouze po všech chodbách jdeme opačným směrem. Nebo, chcete-li, lze cesty z B do D vyrobit z cest z D do B osovou souměrností podle osy o, jako na obr. V obou případech je ale každé cestě jedním směrem jednoznačně přiřazena cesta druhým směrem a naopak, je jich proto stejný počet.

Zbývá spočítat cesty z D do B a výsledek vynásobit dvěma.

Každá cesta odpovídající zadání musí někdy vést přímou cestou z E do B a někdy taky cestou z E do B přes body F a C. Počet obchůzek, které z těchto dvou cest použijí nejprve tu přímou, je stejný jako těch, které vedou nejprve oklikou (jedny z druhých vyrobíme pouze přehozením daných úseků). Z tohoto důvodu spočítáme pouze obchůzky mířící nejprve přímo a výsledek vynásobíme dvěma.

Tentýž argument lze použít na cesty z D do E. Úseky z D do E přímo a oklikou přes G a H lze zaměnit.

Takže chceme spočítat trasy, které začínají v D a z cest mezi E a B i mezi D a E si nejprve vyberou tu kratší, a výsledek pak vynásobit osmi (dvakrát za počítání jen cest z D, dvakrát za úsek mezi E a B a dvakrát za úsek mezi D a E). No a takové trasy jsou přesně čtyři. Z D mohou vyrazit nahoru k A a pak jsou ještě dvě možnosti jak pokračovat z bodu E, nebo se z D vydají doprava k E a tam se pak rozhodnou, jestli půjdou do B nebo zpět do D.

Dohromady je možných 4 \cdot 8 = 32 různých cest.

Komentář: Řešení se sešlo hodně, ale jen velmi málo správných. Většina z Vás prostě zkoušela a zkoušela a často něco vyzkoušet zapomněla. Zkuste se vždy nad úlohou nejprve zamyslet, jestli je opravdu potřeba probrat všechny možnosti nebo se tomu dá nějakým pěkným trikem vyhnout.

Našla se řešení, která řešila trochu jinou úlohu. Tato řešení předpokládala, že hlídači mohou v průběhu obchůzky vyjít po nějakém schodišti ven a po jiném zase sejít dovnitř. Zadání se tak opravdu dalo pochopit, proto za to nebyla žádná bodová srážka. Příště musíme napsat rovnou, že hlídači jsou hrozní lenoši a do schodů se nijak nehrnou :).

Úloha č. 2

Chůvu, Genfreye i Menáloa postaví proti sobě, aby si mohli navzájem hledět do očí, a strážný jim nakreslí každému dvě tečky na čelo. Tečky mohou být červené nebo modré. Všichni tři dohromady nebudou mít více než čtyři tečky od jedné barvy. Poté bude postupně každý z nich moci jednou hádat, jakou barevnou kombinaci má na čele právě on. Bude to to jediné, co bude moct říct, až tečky budou namalovány. Kdo uhodne, přežije. Mohou vymyslet strategii, že z toho, co řekne první z nich, druzí dva ihned poznají, co mají na čelech oni? Mohou tedy mít jistotu, že alespoň dva z nich se určitě zachrání?

Řešení: Pokusíme se vymyslet strategii, kde druhý a třetí uhodnou, co mají, jen podle toho, jak jim první napoví. První tedy nebude fakticky hádat, ale pomáhat spoluhráčům.

\nadpisek 1. verze

První se podívá na druhého a třetího a spočítá, kolik mají dohromady teček které barvy. Poté odpoví dle následující klíče. Vlevo je popis situace, co první vidí, a vpravo, co řekne.

Sice první řekne kombinace „ČČ“ a „MM“ ve dvou různých případech, ale přesto dokážou zbylí dva jednoznačně určit, kolik mají kterých teček dohromady. Tedy pokud první řekl „ČČ“, znamená to pro druhého, že pokud má třetí na hlavě MM, je součet modrých 4, pokud ne, je součet 1. Obdobně když první řekne „MM“, je modrých 0, pokud nevidí druhý na třetím žádnou modrou, jinak jsou modré dohromady 3. Druhý i třetí už jsou schopni určit z nápovědy prvního, kolik mají dohromady modrých teček. Teď jim jen stačí odečíst počet modrých, které vidí na tom druhém, od toho, co jim řekl první hráč, a doplnit červenými, aby měli přesně dvě tečky. Druhý a třetí se zachrání.

\nadpisek 2. verze

Každé kombinaci přiřadíme nějaké číslo mezi 0 a 2, například:

Nyní stačí, aby první sečetl, co vidí, a řekl zbytek tohoto součtu po dělení třemi (může totiž říct jen 3 možnosti). Druhému se teď stačí podívat, co má třetí na čele, a odečíst od součtu, který řekl první, tuto kombinaci, čímž dostane tu svoji.

Příklad: Druhý i třetí mají ČČ. První tedy řekne 2+2=4 \rightarrow 1 . Druhý vidí ČČ na třetím (tedy 2) a odečte proto 2 od součtu. Tím dostane 1-2=-1 \rightarrow 2. Pokud mu vyjde záporné číslo, stačí, když přičte trojku, čímž se dostane znovu do rozmezí mezi 0 a 2. Ví tedy, že má na čele ČČ. Stejný myšlenkový postup udělá i třetí hadač, čímž oba uhádnou.

Komentář: Tato řešení jsou obě možná trochu triková, ale je dobré podobné postupy znát. Často se objevují třeba v populárních logických hádankách s klobouky. Navíc si všimněme, že nevyužívají všechny informace ze zadání. Nijak se zde neprojevuje omezení, že jsou maximálně čtyři tečky jedné barvy. Téměř všichni z vás nějak využívali toho, že první může říct „ČM“ nebo „MČ“, tedy čtyři informace místo tří. Nebo že mohou operativně zvolit, kdo začne až podle situace. Toto řešení ale funguje univerzálně, ať nám nepřítel nechá začínat kohokoliv. V zadání bylo dost volnosti, takže pokud jste úlohu vyřešili v souladu s možnou interpretací zadání, řešení jsem uznával. Co už není úplně dobré, i když to vlastně v zadání nebylo explicitně řečeno, je využívání různých způsobů, jak říct odhad. Toto je logická hádanka a v těch se nevyužívá toho, že řekneme „MM“ a koukáme přitom do země, mrkneme levým okem nebo to řekneme hlubokým hlasem. I když chápu, že pokud byste se ocitli v situaci jako naši hrdinové, vymysleli byste si podobný podvůdek. ;-)

Úloha č. 3

Ještě ke všemu, když chtěli správci někomu naplnit pytle, dělali to pomocí dvou trychtýřů. Jedním se sypaly 4 kbely obilí za minutu, druhým 10 kbelů za minutu. Když je chtěli vyměnit, trvalo jim to minutu, a do jednoho pytle se dal dát vždy pouze jeden trychtýř naráz. A skoro každý chtěl naplnit dva pytle, jeden o objemu 100 kbelů, druhý o objemu 145 kbelů. Jak nejrychleji byste takové dva pytle pomocí trychtýřů naplnili?

Řešení: Nejdříve si uvědomíme, že nemá smysl prohazovat trychtýře mezi pytli více než jednou. Jen nás to zdrží (za každé prohození o 1 minutu) a výsledek je stejný, jako kdybychom nejdříve sypali do prvního pytle prvním trychtýřem a pak druhým. Teď jen zbývá zjistit, kdy trychtýře prohodit. Označíme x čas před výměnou trychtýřů a y po výměně. Dostáváme:

tedy

dosadíme x do první rovnice:

dosadíme y do první rovnice:

Vidíme, že rychleji sypání do pytlů provést nešlo, protože byly oba trychtýře v provozu po celou dobu sypání a bez výměny to nejde, když není poměr průtoků trychtýři a velikostí pytlů stejný.

Oba pytle lze tedy naplnit za 18,5 minuty, když sypeme 12,5 minuty menším trychtýřem do menšího pytle a větším do většího a 5 minut větším trychtýřem do menšího pytle a menším do většího pytle.

Komentář: Hodně z vás nenašlo nejlepší řešení. Nebo jste zapomněli, že výměna trychtýřů trvá nějakou dobu.

Úloha č. 4

Měl rád prvočísla. Zvlášť ta, co končila číslicí 7. Chtěl najít co nejdelší řadu prvočísel takových, že by končila právě číslicí 7 a každá dvě po sobě jdoucí by se lišila o 10. Jenže stále nacházel pouze řady se dvěma takovými prvočísly, nikdy víc. Víte proč?

Řešení: Pro představu si napíšeme prvních pár členů řady čísel, která končí číslicí 7 a zvětšují se o 10, jsou to: 7, 17, 27, 37, 47, 57, ... Z toho můžeme pojmout podezření, že každý třetí člen řady nebude prvočíslo, protože jde o násobek tří, což by postačilo jako řešení úlohy, neboť pak máme za sebou vždy jen nejvýše dvě prvočísla.

Musíme ale dokázat, že to platí pro všechna čísla. Nejjednodušší způsob je uvědomit si, že počínaje číslem 27 jakožto nejmenším neprvočíslem jde každé další třetí číslo zapsat ve tvaru 27+30k = 3 (9+10k), kde k je nějaké přirozené číslo. Z toho vidíme, že každé třetí číslo je vskutku dělitelné třemi a úloha je vyřešena.

Jiné řešení je pomocí pravidla pro dělitelnost třemi, které říká, že číslo je dělitelné třemi, pokud je jeho ciferný součet dělitelný třemi. Zde je ovšem potřeba ošetřit přechod přes stovku, tisícovku atd., neboť pak neplatí, že se u dalšího členu řady ciferný součet zvýší o jedna, nicméně nezmění se zbytek čísla po dělení třemi.

Komentář: Většina došlých řešení byla správná, byť cesta k výsledku byla různě dlouhá. Spousta z vás však pouze usoudila z části vypsané řady, že čísla jsou dělitelná třemi, ale nevysvětlila, že a proč to platí pro libovolně velká čísla, ne jen ta vypsaná. I to jsem však hodnotila mírně, třemi body.

Úloha č. 5

Jenže jak ušít míč? Měl malé ústřižky z kůže ve tvaru pravidelných šestiúhelníků a pravidelných trojúhelníků, které měly stejnou délku strany. Jak je má k sobě sešít, aby získal uzavřený míč? (Nakreslete síť nebo pošlete model.)

Řešení: Klasický fotbalový míč je složen z pětiúhelníků a šestiúhelníků. Šestiúhelníky máme, pětiúhelníky vytvoříme. Vezmeme pět trojúhelníků a spojíme je tak, abychom dostali plášť pětibokého jehlanu -- pět hran směřuje do jednoho vrcholu a každou hranu tvoří dvě strany různých trojúhelníků. Nyní máme jehlan, jehož podstavou je pětiúhelník a tímto jehlanem nahradíme všechny pětiúhelníky v modelu. Doplníme šestiúhelníky a máme míč.

Jiným řešením je vytvořit míč z trojúhelníků. Pokud budu slepovat trojúhelníky stejně jako v případě tvorby pětibokého jehlanu, dopracuji se až ke dvacetistěnu, který se také dobře kutálí. Zbývá vyřešit, jak na tento míč použít trojúhelníky i šestiúhelníky. Pokud na šestiúhelník připojím tři trojúhelníky vždy „ob stranu“, dostanu větší trojúhelník. Ten pak můžu použít pro tvorbu dvacetistěnu.

Komentář: Přišlo pár řešení s fotbalovým míčem, ale spousta z vás si neuvědomila, že trojúhelníky, které používáme, jsou rovnostranné, takže z nich vlastně nelze vytvořit plošný pětiúhelník. Tam jsem body strhávala za nedostatečné vysvětlení.

U řešení s dvacetistěnem zase málokdo uvedl, jak tam použít trojúhelníky i šestiúhelníky. Další řešení popisovala míč ze čtyř šestiúhelníků a čtyř trojúhelníků. Několik jsem jich zkusila složit, ale žádný z nich se mi nekutálel, proto jsem za tahle řešení dávala maximálně čtyři body.

Úloha č. 6

Chtěli sestrojit lichoběžník ABCD se základnami AB, CD. A znali o něm pouze délky stran b=|BC|=5 cm, c=|CD|=6 cm, d=|AD|=10 cm a rozdíl úhlů \beta-\alpha=45\deg. Sestrojte tento lichoběžník; nezapomeňte popsat a zdůvodnit postup konstrukce.

Řešení: Úloha měla několik způsobů řešení. Ukážu jeden z nich.

Známe úhel \beta -\alpha=45\deg, neboli \beta=\alpha+45\deg. Situace je zakraslena na obr. Lichoběžník ABCX je rovnoramenný, protože úhly u vrcholů A a B jsou shodné a jejich velikosti jsou rovny velikosti úhlu \beta, jak je vidět z obrázku. U trojúhelníku ADX známe dvě strany (|AD| a |AX|= |BC|) a úhel při vrcholu A, který má 45\deg. Tedy umíme tento trojúhelník narýsovat (podle věty sus ). U této úvahy jsme použili osovou souměrnost podle osy strany AB.

Nyní už není těžké lichoběžník sestrojit:

• trojúhelník ADX podle věty sus
• k; k(D, |CD|=6 cm)
• C; C \in k \cap \poloprimka_gr(XD)
• p; p\parallel CD, A \in p
• l; l(C,|CB|=5 cm)
• B; B \in p \cap l
• lichoběžník ABCD

Úloha má pouze jedno řešení.

Komentář: Někteří měli jiné řešení, které je trochu kostrbatější, ale také správ\minusné. Málo kdo, měl odůvodněno, proč to takhle může udělat. Těm, kteří měli aspoň pěkný náčrtek, ze kterého to bylo vidět, jsem nestrhávala body.

Úloha č. 7

Nakreslil si nový lichoběžník se základnami AB a CD. Do středu strany AB umístil bod K, do středu strany CD umístil bod L. Jako M označil průsečík úhlopříček a jako N průsečík prodloužených ramen. A rozhodl se, že si vypočítá $|KM|/|LM| \cdot |LN|/|KN|$. Kolik to je?

Řešení: Načrtneme si lichoběžník a body podle zadání. Nejprve se podíváme na poměr |KM|/|LM|, úsečka KM je těžnicí \triangle AMB a úsečka LM těžnicí \triangle DMC (viz obr.). Úhly BAM a MCD jsou střídavé, tedy mají stejnou velikost, a AMB a CMD je dvojice vrcholových úhlů (jsou shodné), tudíž podle věty uu jsou trojúhelníky AMB a CMD podobné.

V každé dvojici podobných trojúhelníků platí, že poměr všech příslušných délek je stejný, pak je i

Podobně zjistíme poměr |LN|/|KN| z trojúhelníků ANB, DNC (viz obr.). Úhly BAN a CDN jsou souhlasné tedy shodné a úhly ANB a DNC jsou shodné, proto podle věty uu jsou trojúhelníky ANB a DNC podobné. Pak platí

Nyní můžeme vypočítat

Komentář: Bohužel dost řešitelů si narýsovalo nějaký lichoběžník a pak měřilo délky zadaných úseček za což dostali jeden bod. Na druhou stranu stejný počet řešitelů dokázalo úlohu vyřešit obecně a přesně odůvodnit.

Opravovali: 1. Hana Bílková, 2. Jan Bílek, 3. Eva Libánská, 4. Alena Bušáková, 5. Helena Pučelíková, 6. Klára Krejčíčková, 7. Lenka Petržilková.