Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.

Úloha č. 1

„Mám pět čísel. Všechna jsou celá. Znám součty každé dvojice, což podle velikosti jest 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Jaká jsou má kouzelná čísla?“

Řešení: Hledaná kouzelná čísla si seřadíme od nejmenšího po největší A \lt B \lt C \lt D \lt E. Dále si všimneme, že každé kouzelné číslo musí být jiné, protože nám vyšlo deset různých součtů. Zároveň víme, že A+B=0, D+E=12, dále víme, že A+C=1 a C+E=11.

1. řešení: podle Jendy Šorma

Platí, že když sečteme všech deset součtů, získáme čtyřnásobek součtu A+B+C+D+E (každé kouzelné číslo je v zadaných součtech právě čtyřikrát):

Dopočítáme zbylá kouzelná čísla:

Nyní sečteme každé číslo s každým, čímž ověříme, že nám vyjdou opravdu zadané součty. Všimněte si, že v tomto řešení jsme nijak nevyužili toho, že A,...,E jsou celá čísla. Toto řešení je tedy jediné i mezi necelými čísly.

2. řešení: podle Danka Pišťáka

Uvědomíme si, že když bude E \geq 8, bude D \leq 4, aby vyšel jeden ze součtů 12. Součty 8, 9, 10, 11, 12 nelze všechny získat jen pomocí E (je jich pět a E se vyskytuje maximálně ve čtyřech), ale protože D \leq 4, bude C+D=8, právě když C=D=4, ale my už víme, že jsou všechna kouzelná čísla různá, tedy $E\leq 7. Pokud bude E=6, musí být i D=6, aby vyšel součet 12$, což opět nelze. No, a pro E=5 a méně již nedostaneme součet 12. Proto E=7. Tedy:

Nyní víme, že A=-B a B\leq 3, B není rovno 0, protože by opět vyšly stejné součty. Hodnoty B=1 i B=2 můžeme vyloučit, protože by nám vznikly součty 1+5=6 nebo 2+4=6, které v zadání nebyly. Proto jsou kouzelná čísla -3, 3, 4, 5, 7.

3. řešení: podle spousty ostatních

Všimneme si, že A=-B a budeme postupně dosazovat za A záporná čísla (A=0 nelze, protože pak by muselo být i B=0). Zároveň víme, že je mezi kouzelnými čísly právě jedno záporné číslo (žádný součet není záporný).

• A=-1, potom B=1 a C=1-A=1-(-1)=2, ale B+C=1+2=3, což v součtech není;
• A=-2, potom B=2 a C=1-A=1-(-2)=3, ale B+C=2+3=5, což také v součtech není;
• A=-3, potom B=3, C=1-(-3)=4, E=11-C=11-4=7, D=12-E=12-7=5, čímž dostáváme opět -3, 3, 4, 5, 7;
• A\leq -4, pak nejmenší možná A,B,C,D,E jsou (musí být různá) A=-4, B=4, C=5, D=6, E=7, ale D+E>12, což se se snižujícím A bude zvyšovat.

Proto je jediné řešení -3, 3, 4, 5, 7.

Komentář: Mnoho řešitelů dělalo tu chybu, že nějakým způsobem našli jedno řešení a tím skončili. Správně ale musí odůvodnit, proč více řešení nemůže být. Těm, kteří měli aspoň náznak vysvětlení, že existuje pouze jedno řešení, nebo to z jejich postupu plynulo, jsem dával 5 bodů. Těm, kdo to řešili 3. způsobem, ale ve stavu A=-3 skončili, jsem zpravidla strhával bod. Ti, kdo napsali jen výsledek a ověřili, že platí, odešli se třemi body. Některým řešením chyběla „zkouška“. I když pomocí omezujících podmínek dostaneme jediné řešení, chce to ukázat, že nám vyjdou všechny zadané součty. A ještě detail: číslice = cifra = 0,,1,,... ,,9. Někteří zaměňovali pojem číslo a číslice a tvrdili, že je -3 číslice.

Úloha č. 2

Pomocník vyskládal na stůl mince. Už jen spočítat je chvíli trvalo. Bylo jich přesně 235 a přesně 92 jich leželo rubem nahoru.

„Smíš buď odebrat 4 mince, z nichž právě 2 jsou rubem nahoru (krok a), anebo jednu minci otočenou lícem nahoru otočit, aby byla rubem nahoru (krok b). Chci aby na konci leželo na stole 147 mincí a přesně 51 z nich bylo otočeno rubem nahoru. Nejdřív pověz kolika různými způsoby to můžeš udělat? Až pak si je smíš vzít.“ (Považujme posloupnosti a, a, b a a, b, a za různé.)

Řešení: Nejprve si uvědomíme, že při kroku b se nezmění počet mincí na stole, takže jediné, čím tento počet snižujeme, a to vždy o 4, je krok a. Snadno tedy zjistíme, že musíme provést právě $(235-147) : 4 = 22 kroků a. Těmito 22 kroky a odebereme právě 44$ mincí ležících rubem nahoru, tudíž teď budeme mít na stole 48 mincí rubem nahoru. Je tedy jasné, že ještě musíme provést 3 kroky b a budeme mít hotovo.

Dále si rozmyslíme, že nám nic nebrání provádět kroky a a b v libovolném pořadí. (Např. pokud bychom měli 50 mincí a z toho tři rubem nahoru a chtěli bychom dostat 38 mincí a z toho pět rubem nahoru, nemůžeme nejdřív provést všechny tři potřebné kroky a a pak teprve kroky b. Počítání možných postupů by V takovém případě bylo o něco složitější.) Díky tomu nám stačí rozmyslet si, kolik existuje způsobů, jak seřadit 22 písmen a a 3 písmena b do řady za sebe. Nejprve si písmena b rozlišíme jako b_{1}, b_{2} a b_{3} a budeme se zabývat pouze tím, kolik máme možností, jak rozmístit tato tři písmena na 3 z 25 pozic v posloupnosti (protože pak už jasně všechny ostatní pozice budou zabrány písmeny a). Písmeno b_{1} můžeme dát na libovolnou z 25 pozic, při každém takovém umístění máme 24 možností, kam umístit b_{2}, a pro každou z těchto dvojic nám zbyde 23 míst, kam dát b_{3}. Máme tedy celkem 25\cdot24\cdot23 = 13,800 způsobů, kterými písmeny b_{1}, b_{2} a b_{3} obsadíme 3 z 25 pozic. Musíme si však ještě uvědomit, že ve skutečnosti jsou kroky b všechny stejné, a proto posloupnost b_{1}, b_{2}, b_{3}, a, a, ... je stejná jako třeba $b_{2}, b_{1}, b_{3}, a, a, ...$ Každou možnost jsme tudíž započítali tolikrát, kolika způsoby je možné seřadit b_{1}, b_{2} a b_{3} za sebe. Těch je zcela očividně 3\cdot2\cdot1 = 6. Princ má tedy celkem 25\cdot24\cdot23:6 = 2300 možných posloupností kroků a a b, kterými může mince ze stolu odebrat.

Úloha č. 3

Na třech velkých stolech teď ležely mapy, které jediné ho zajímaly. Každé dva stoly spojovala jen úzká cestička mezi nepořádkem na zemi. Na čtvrtém stole měl kalamář s inkoustem. Vždy si naplnil psací pero n kapkami inkoustu (n přirozené) a postupně obešel všechny tři mapy. Do každé toho chtěl vepsat stejně, stejný počet kapek inkoustu na každou z nich. Ale při roztržitosti a nešikovnosti mu vždy při chůzi polovina inkoustu z pera vykapala. Kolik kapek inkoustu musí na začátku nabrat, aby mohl vepsat do každé mapy stejné množství kapek a přitom mu v peru nezbyl žádný inkoust?

Řešení: Označíme k počet kapek, které dá do jedné mapy. Při řešení příkladu budeme postupovat odzadu. Do třetí mapy dal k kapek a žádná mu nezbyla, to tedy znamená, že při příchodu ke třetímu stolu musel mít k kapek. Při cestě ztratí polovinu kapek, které má, proto před cestou od druhého ke třetímu stolu musel mít 2k kapek. Do druhé mapy také vepsal k kapek, při příchodu k druhému stolu tedy musel mít 3k kapek. Při cestě od prvního stolu ke druhému opět ztratil polovinu kapek, takže před touto cestou musel mít 6k kapek. Do první mapy opět vepsal k kapek, při příchodu k prvnímu stolu tedy musel mít 7k kapek. A konečně po cestě od kalamáře k prvnímu stolu ztratil polovinu kapek, z kalamáře tedy musel nabrat 14k kapek.

Aby mohl vepsat do každé mapy stejně a na konci mu žádný inkoust nezbyl, musel nabrat čtrnáctkrát více kapek, než chtěl vepsat do jedné mapy.

Komentář: Někteří z vás si neuvědomili, že ztratí polovinu kapek vždy při přechodu mezi dvěma stoly, takže při každé cestě ztratí jiný počet kapek, a počítali s tím, že při každém přechodu mezi dvěma stoly ztratí polovinu kapek z celkového množství, které si nabral nebo polovinu kapek z množství, které vepisoval do mapy.

Dalším častým pochybením bylo, pokud jste předpokládali, že do mapy může vepsat pouze jednu kapku. V zadání je uvedeno, že dal do všech map stejně, o tom, kolik to bylo se tam však nic nepíše, tedy musíme příklad vyřešit obecně pro jakékoli množství. Zabývat se rozmístěním stolů v pokoji a pořadím, ve kterém je obcházel je pro vyřešení této úlohy naprosto zbytečné.

Úloha č. 4

Na každé mapě tak vznikl malý trojúhelník ABC. Součet délek dvou jeho stran a+b byl 10 cm, jeho třetí strana c měla délku 6 cm a jeho úhel ABC měl velikost 60\deg. Dokážete takový trojúhelník také nakreslit?

Řešení: Postup sestrojování byl následný: Zakreslím si známou úsečku AB a úhel, na druhé, zatím neznámé rameno si vyznačím bod X, který je od vrcholu úhlu vzdálený 10 cm. Spojím tento bod s bodem A a dostanu trojúhelník.

Nyní se zaměříme na tento trojúhelník. Umím do něj zakreslit další trojúhelník, který je rovnoramenný, jeho základnou je úsečka AX a jedno jeho rameno leží na BX. Vím, že v rovnoramenném trojúhelníku jsou výška k základně a těžnice totožné, najdu tedy střed strany AX a v jeho místě vedu kolmici k AX. Získám hlavní vrchol -- bod Y, který leží na BX a pro nějž platí: |XY| = |AY| a |XY| + |YB| = 10 cm. Po dosazení tedy |AY|+|BY|=10 cm, tedy bod Y odpovídá mnou hledanému bodu C. Postup konstrukce je obdobný popisu výše.

Komentář: Spousta řešitelů měla tendenci spočítat délku jednotlivých stran. Byť to bylo s občasnými nepřesnostmi správně, tato úloha byla na geometrické zpracování, ne na počítání. Za tyto úvahy jsem dávala maximálně dva body. Dále přišlo hodně řešení, ve kterých byl postup, narýsovaný obrázek, ale chyběl popis, proč to platí. Plný počet bodů byl právě za toto vysvětlení. Díky Vaškovi Steinhauserovi, jehož upravené řešení se stalo vzorovým řešením.

Úloha č. 5

Jen co uviděli dědečka s Iamehem, naráz se rozprchli do všech stran schovat se. Měli přesně 20s na to se schovat. Když běželi po cestě, mohli prchat rychlostí 5 m/s, a když běželi lesem, tak jen rychlostí 3 m/s. Kam všude se mohli dostat? Jak vypadá tato oblast?

Řešení: Nejprve se musím omluvit za organizátory, že v zadání úlohy nebylo dost zdůrazněno, že cesta vedla prostě lesem, a dá se předpokládat, že rovně. Ještě je otázkou, zda mohli na cestě běžet na obě strany -- někteří z vás uvažovali, že ne, protože tam na cestě stojí Iameh s dědečkem. Ve vzorovém řešení budeme uvažovat, že mohli běžet opravdu všemi směry. Vzniklá oblast je symetrická, je jasné, že na samotném řešení nic nezmění, zda uvážíme obě části, či nikoli. Také uvážíme, že mohli jakkoli zatáčet, běhat tam a zpátky a tak podobně. V řešení budeme proto uvažovat jen ty body, kam se mohli dostat nejdál, čímž dostaneme hranici oblasti, a potom víme, že se mohli dostat i na jakýkoli její vnitřní bod. Když toto víme, můžeme se pustit do řešení.

Jako první pozorování dostaneme čtyři body na okraji oblasti, kam se mohli dostat: dva na koncích cesty, jejichž vzdálenost zjistíme po dosazení do známého vzorečku s = v \cdot t, tedy $s = 5 m/s \cdot 20 s = 100 m$, protože ze zadání víme, že po cestě běželi rychlostí 5 m/s a měli na to čas 20 s. Další dva body budou ty, které vznikly tak, že vběhli z cesty přímo do lesa a běželi rovně. Opět ze zadání víme, že v lese běželi rychlostí 3 m/s a měli na to čas 20 s, tedy máme s = 3 m/s \cdot 20 s = 60 m.

Teď je potřeba si uvědomit, že mohli vyběhnout do lesa ne jen kolmo na cestu, ale i jiným směrem. Oblast se nám tím pádem rozšířila na cestu a kruh se středem v bodě, kde stáli na začátku, o poloměru 60 m.

Obr. 1

Dalším krokem v našich úvahách je, že mohli běžet kus po cestě a odpojit se z ní do lesa až po chvíli. Oblast pro nějaký bod, kde se odpojili, bude vypadat jako kruh se středem v tomto bodě o daném poloměru, jako je vidět na obr. 1. Jenže se mohli z cesty odpojit v jakémkoli bodě, proto těch kružnic potřebujeme opravdu hodně (dokonce nekonečně mnoho), což je znázorněno na obr.2).

Obr. 2

Pokud jste si několik kružnic zkusili narýsovat, mohli jste si všimnout, že jich je tam tolik, že jejich jakýmsi obalem, tedy hranicí oblasti, kterou chceme určit, je něco, co vypadá jako přímka. Pokud to opravdu je přímka, tak je určitě tečnou největší kružnice (se středem v bodě, odkud vybíhali), ale abychom věděli, že to skutečně je přímka a v útvaru nejsou žádné „vybouleniny“, musíme nějak odůvodnit, že tato přímka je tečnou všech kružnic, které takhle můžeme dostat. To odůvodníme následovně.

Uvážíme trojúhelník DSB. Jelikož DB je tečnou největší kružnice, víme, že úhel DBS je pravý. Také víme, že strany DS a SB jsou v poměru 100 : 60, tedy 5 : 3. Teď uvažme trojúhelník DAC, který vznikl tak, že muži vyběhli z cesty v bodě A vzdáleném x od startu. Chceme ukázat, že strana DC, která je tečnou kružnice se středem v bodě A, leží na téže přímce, jako tečna velké kružnice. To bude pravda, pokud trojúhelníky DSB a DAC budou podobné. Víme, že trojúhelník DCA je také pravoúhlý. Můžeme si také vyjádřit délky jeho stran: |AD| = (100 - x) m.

Délku strany AC spočítáme následovně. Muži uběhli po cestě (100-x) metrů, což jim trvalo $t= s \over v = (100 - x) m \over 5 m/s. Zbývá jim tedy ještě 20 s - 100 - x\over5 s$, které poběží lesem, za kteroužto dobu uběhnou rychlostí 3 m/s vzdálenost (100 - x)\cdot 3 \over 5 m, což je hledaná délka strany AC. Nyní spočítáme poměr délek stran $|DA| : |AC| = (100 - x) : (100

• x)\cdot 3 \over 5 m = 5 : 3. Protože strany \triangle DSB$ a \triangle DAC jsou ve stejném poměru a oba tyto trojúhelníky jsou pravoúhlé, jsou tyto trojúhelníky skutečně podobné. To znamená, že obalem všech kružnic je vážně přímka, která je tečnou všech kružnic.

Výsledná oblast tedy bude vypadat jako tlustou čarou kreslená hranice na obrázku 2 (i s vnitřní částí).

Komentář: Bohužel spousta z vás řešila tak trochu jinou úlohu, docela lehčí, což jsem bodovala třemi body. Plný počet bodů tentokrát nezískal nikdo, protože i z těch z vás, kteří jste napsali, že obalem kružnic je přímka, to nikdo neodůvodnil. V řešeních se vyskytly nějaké ty elipsy, spousta mezikruží způsobených špatnou interpretací zadání a nějaké poměrně zajímavé útvary, které ovšem nebyly správným řešením. Některé obrázky oblasti byly opravdu pěkně nakreslené, někde chyběly docela, což ale nevadí, pokud byla oblast dostatečně dobře popsána.

Úloha č. 6

Vlastně to byl jen malý osmistěn a na něm různě rozmístěná čísla, všechna přirozená. Věděl, že číslo na každé stěně je součinem čísel z vrcholů u dané stěny. A součet čísel ze všech stěn je 2,012. Ale když by dělal součet čísel z vrcholů, jaké všechny výsledky by tak mohl získat?

Řešení: Pro začátek by snad bylo správné si říci, co to ten osmistěn je. Je to prostorový útvar, takzvané platónské těleso, o šesti vrcholech a osmi trojúhelníkových stěnách. Šest vrcholů (tedy čísla při nich) si označme písmeny a sice tak, aby dvojice protilehlých vrcholů nesla označení a a f, b a d, c a e. Pak si můžeme pěkně vyjádřit jedinou konkrétní informaci, kterou o číslech na osmistěnu máme:

To je velmi nepřehledná rovnice, pokud si však trochu pohrajeme s vytýkáním...

Nyní se tedy přímo vnucuje myšlenka rozložit číslo 2,012 na součin prvočísel, abychom viděli, čemu se tak asi mohou závorky rovnat:

Zajásáme, neboť vidíme, že pro každou závorku nám vychází právě jeden prvočíselný činitel a není tedy nad čím pochybovat. Opatrnosti však nikdy nezbývá, a tak je třeba ještě promyslet variantu, že by se jedna ze závorek rovnala 1, výsledný součin by pak přece zůstal stejný. Je ale jasné, že taková alternativa nehrozí, protože čísla vepsaná na osmistěn, jak praví zadání, jsou přirozená a jejich součet tedy nemůže činit 1. Jednotlivým závorkám se tedy rovnají právě čísla 2, 2 a 503 a žádná jiná. A která kterým? To je prosím dokonale lhostejné, protože my jsme tázáni pouze na jejich celkovou sumu. Správné řešení tedy je, že součet všech čísel při vrcholech osmistěnu je 507 a že je to jediné možné řešení.

Komentář: Našli se čtyři řešitelé, kteří vyfikli řešení přesně tak, jak bylo popsáno výše, včetně vyloučení jedničky jako součtu v závorce. Takoví dostali právem plných pět bodů. Ti, kteří se také dobrali ke správnému výsledku, ale na některou drobnost zapomněli, dostali body čtyři. Třemi body byli poděleni řešitelé, kteří se sice vydali správným směrem, ale unikl jim nějaký podstatný aspekt řešení, nebo jej alespoň nebyli schopni jaksepatří popsat a vysvětlit. Několik řešitelů z velké míry rezignovalo na obhajobu svého postupu a prostě prohlásilo, že dosadili to či ono číslo a vyšlo jim jiné číslo. Ti obdrželi dva body. Nápady, které hned na počátku zbloudily z cesty vedoucí k cíli, byly odměněny jedním bodem za snahu a píli.

Úloha č. 7

Představoval si, jak ten svůj malý pravidelný osmistěn, o hraně délky 6 cm, uzavře do koule, která jej bude opisovat. Tu ale pak uzavře do krychle, ve které bude daná koule vepsaná. Jak velký objem bude mít jeho nová krychle?

Řešení: Abychom zjistili délku hrany krychle, potřebujeme znát průměr koule jí vepsané. Tato koule má v sobě vepsaný pravidelný osmistěn, jehož obě tělesové úhlopříčky mají stejnou velikost, která je rovna průměru koule. Vybereme si jednu z těchto úhlopříček (nazveme si ji u, jako na obrázku) a spočteme její velikost. Tato úhlopříčka je zároveň úhlopříčkou čtverce se stranou 6 cm, tudíž ji není těžké vypočítat pomocí Pythagorovy věty: a^{2}+a^{2}=u^{2}, tedy u=a \cdot \sqrt{2}, tedy u=6\sqrt{2} cm. Nyní známe jak průměr koule, tak délku hrany krychle a můžeme spočítat objem krychle:

Objem krychle je po zaokrouhlení 610,94 cm^{3}.

Komentář: Úloha byla poměrně snadná, velká většina z vás si s ní hravě poradila. Někteří si bohužel osmistěn nakreslili jako hranol s podstavou ve tvaru šestiúhelníku, taková řešení jsem nemohla ohodnotit více než jedním bodem, neboť jste neřešili zadanou úlohu, ale úlohu úplně jinou. Bod jsem strhávala, pokud jste používali nějaké vzorečky či vztahy, u kterých jste nezdůvodnili, jak jste k nim dospěli (např. stačilo napsat: „Toto jsem našel v tabulkách,“ nebo „toto vyplývá z Pythagorovy věty“). I u takto jednoduché úlohy je potřeba podat náležitý komentář řešení.

Opravovali: 1. Jan Bílek, 2. Romana Břindová, 3. Tereza Mašková, 4. Helena Pučelíková, 5. Alena Bušáková, 6. Pavel Houdek, 7. Lucie Mohelníková.