Řešení 3. série 27. ročníku

Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.

Úloha č. 1

Krychličky, které mají hranu menší než 20, nazveme „malé krychličky“, ty o hraně 20 „velké krychličky“. Celková výška věže ze všech malých krychliček je 23. Z toho je jasné, že na postavení věže o výšce 37 budeme potřebovat právě jednu krychličku o hraně délky 20 a malé krychličky, které budou mít součet hran 17. Budeme tedy potřebovat téměř všechny malé krychličky až na ty, které dají součet hran 6. Existují evidentně jen dvě možnosti, jak tyto vybrat -- buď krychličky o hraně 1 a 5, nebo jedna o hraně 6. Máme tedy dvě možnosti, jak postavit věž výšky 37.

Na postavení dvou věží o výšce 23 potřebujeme kostky, jejichž součet hran je 46. A protože součet výšek všech kostek dohromady je 63, je jasné, že nepoužijeme kostky o součtu hran 17, takže musíme nutně stavět z obou kostek o hraně 20. Tím se snadno dostaneme k tomu, že by obě věže o výšce 23 měly vypadat tak, že dole bude krychlička o hraně 20 a na ní věž o výšce 3. Jenže jediné kostky, které jsou vysoké nejvýše 3, je kostka o hraně 1 a dvě kostky o hraně 2. A jelikož jejich součet je 5, je zřejmé, že z nich nelze vytvořit dvě věže o výšce 3, pročež nelze postavit ani dvě věže o výšce 23.

Pokud bychom chtěli postavit několik stejně vysokých věží, aniž by nám poté nějaká krychlička zbyla, musely by nutně všechny věže mít výšku alespoň jako nejvyšší krychlička, tedy 20. Vzhledem k tomu, že součet výšek všech kostek je 63, můžeme postavit jedině tři věže o výšce 21. To ale není možné, protože dvě z nich by musely být složené z kostky o hraně 20 a kostky o hraně 1, ale kostku o hraně 1 máme pouze jednu.

Princ má tedy dvě možnosti, jak postavit věž výšky 37, ale nemůže postavit dvě věže výšky 23. Nemůže postavit ani několik stejně vysokých věží, aniž by mu zbyly nějaké krychličky.

Komentář: Úloha nebyla nijak těžká. Čísla se dala snadno počítat z hlavy, takže se někomu mohlo zdát, že je třeba výsledek naprosto zřejmý. Ovšem vždy, když tvrdíte, že jsou možná řešení dvě, nestačí pouze uvést jaká, ale je potřeba ještě taky zdůvodnit, proč už není žádné jiné. (Co když se nám prostě jenom stalo, že jsme nějakou možnost přehlédli a řešení je ve skutečnosti více?) Nejčastějšími nedostatky v došlých řešeních tak byly právě chybějící komentáře toho, proč

a 3. část úkolu nelze a proč jsou řešení 1. části právě dvě.

Úloha č. 2

Úlohu vyřešíme tak, že postupně budeme určovat velikosti jednotlivých čtverců. Začneme nejmenšími čtverci v pravém dolním rohu a všechny ostatní čtverce budeme odvozovat právě od nich.

a: těmto čtvercům přiřadíme velikost a;
b: vidíme, že platí b = 2a;
c: dva čtverečky b a jeden čtverec a tvoří stranu čtverce c, tedy c = 2b + a= 5a;
d: dva čtverce b tvoří stranu d, vidíme, že d = 2b = 4a. Právě jsme zjistili, že výška velkého obdélníku je d + 3b + a = 11a;
e: e = c - b = 3a;
f: všimneme si, že čtverečky pod e mají velikost stejnou jako a, tedy (protože výška obdélníku je 11a) f = 11a - e - a -c = 11a - 9a = 2a;
g: g + e = 4f, proto g = 4f - e = 4\cdot(2a) - 3a = 5a;
h: h = f + g = 5a + 2a = 7a.

Nyní už můžeme spočítat šířku velkého obdélníku jako $d + 4f + h= 4a + 8a + 7a = 19a, a tedy poměr výška : šířka = 11a : 19a = 11:19$.

Komentář: Velká většina z vás správně došla k závěru, že poměr stran původního obdélníku je 11 : 19, ovšem často jen napsala výsledek či ještě každému čtverci přiřadila jeho velikost, často bez napsání jediného slova. Taková řešení jsem hodnotil nejčastěji čtyřmi body, neboť není v Pikomatu tolik důležitý výsledek jako postup... Řešení využívající různé protahování čar a určování poměru „od oka“ si nikdy více jak dva body neodnesla.

Úloha č. 3

Obr. 3

K vyřešení úlohy nepotřebujeme znát umístění měst a řek. Může to vypadat třeba jako na obr. 3.

Víme, že nejkratší cesta mezi dvěma body vede po spojnici těchto bodů. Tohoto využijeme i v naší úloze. Mosty mají být na řeku kolmé a musíme přes ně přejít, tedy o tuto vzdálenost cestu nemůžeme zkrátit. Můžeme tedy šířku řek na chvíli zanedbat. Neboli smrskneme řeku do jednoho břehu. Tedy musíme ale taky o tuto vzdálenost posunout města. Tedy dostanu body A_{1} a B_{1}. Pokud tyto body spojím, dostanu nejkratší cestu mezi nimi. Spojnice protne každou řeku v jednom bodě, odtud povede most. Nyní řeku opět rozšíříme, a tedy posuneme města zpět a s nimi i cesty, jako na obrázku. Výsledná nejkratší cesta je lomená čára AOMNPB.

Komentář: I přesto, že úloha byla zjednodušená, bylo vás velmi málo, co jste ji měli dobře. Doporučuji se na správné řešení pozorně podívat, tyto „triky“ se používají často.

Úloha č. 4

Označme průsečík úhlopříček V, x=|AV|=|CV|, y=|BV|, z=|DV|. Víme že úhly DAB a DCB jsou pravé a úhlopříčky jsou na sebe kolmé. Pro zjednodušení si označme ještě místo uzlíku jako U.

Z trojúhelníku DAB jsme schopni spočítat délku DB: 4^{2}+2^{2}=|DB|^{2}, tedy |DB|=2 \sqrt{5}.

Dále jsme schopni vypočítat délku x, protože je to vlastně výška v trojúhelníku DAB. Obsah tohoto trojúhelníku můžeme vyjádřit jednak jako 1 \over 2\cdot|AD|\cdot|AB|, jednak jako 1 \over 2\cdot x\cdot|DB|: x\cdot 2 \sqrt{5} / 2 =4 \cdot 2/2, z toho x= 4 \sqrt{5}/ 5.

Z pravoúhlého trojúhelníku BVA můžeme vypočítat y pomocí Pythagorovy věty: 2^{2}-\left( 4 \sqrt{5}/5 \right) ^{2}=y^{2}, z toho tedy y= 2 \sqrt{5}/5.

Známe-li délku DB a y, můžeme dopočítat z: |DB|-y=z, tedy $2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5}/5 =z=8 \sqrt{5}/5$.

Délka provázku, který vede od A do C přes uzlík, je 6. Útvar je souměrný, takže |AU|=|CU|=3. Uzlík leží přímo pod průsečíkem úhlopříček, tedy VU je kolmá na všechny doteď počítané rovinné útvary. Z trojúhelníku AVU jsme schopni s pomocí Pythagorovy věty spočítat délku VU: 3^{2}-x^{2}=|VU|^{2}, tedy |VU|^{2}=9- 16/5, z toho |VU|=\sqrt{145}/5.

Z trojúhelníků BVU a DVU můžeme dopočítat zbylé délky stran BU a DU: |BU|^{2}=|VU|^{2} + y^{2}, |BU|^{2}=145/25 + 20/25, a z toho |BU|= \sqrt{165}/5. Dále |DU|^{2}=|VU|^{2} + z^{2}, |DU|^{2}= 145/25 + 320/25 , a z toho |DU|=\sqrt{465}/5.

Celková délka provázku je tedy (už vyčísleno) |AU|+|BU|+|CU|+|DU|\doteq3+2,57+3+4,31=12,88.

Komentář: Dva body jsem udělovala za správné délky úhlopříček, další dva body za délky jednotlivých provázků a poslední bod podle toho, jak moc jste vydrželi počítat s odmocninami, aniž byste je vyčíslovali.

Úloha č. 5

Na začátku bychom si měli uvědomit, co znamená „přepít“ někoho jiného: Vyhrát nad touto osobou závod. Každý člověk pije pokaždé jinou rychlostí. Takže je teoreticky možné, že první přepije druhého, ten přepije třetího a třetí zase přepije prvního.

Nyní bychom si měli zdůvodnit, proč tato situace nastane alespoň jednou, když si bude 33 lidí mezi sebou připíjet. Vybereme si člověka (označme si ho Č), který přepil nejméně lidí, takový člověk určitě existuje. Pokud by existovalo více lidí, kteří splňují tuto podmínku, tak si náhodně jednoho z nich vybereme.

Našeho člověka Č přepilo x lidí a on přepil y lidí (Jelikož součet x a y se nemění, dostaneme invariant : x+y=32). Vybereme si jednoho, který byl přepit člověkem Č, a označíme si ho P. Takový člověk existuje, neboť člověk Č vyhrál alespoň jeden souboj v přepíjení (podmínka ze zadání).

Podíváme se na vyhrané a prohrané souboje člověka P: Pokud P nepřepil ani jednoho z x lidí (které přepil Č), tak jeho muselo přepít x+1 (x lidí, které přepil Č, a samotný Č) a on přepil y-1 lidí (invariant: x+1+y-1=32). Tudíž P by přepil méně lidí než Č, což nelze, neboť jsme řekli, že vybereme Č jako člověka, který přepil nejméně lidí. Z této úvahy vyplývá, že P musel přepít alespoň jednoho z x, kterého si označíme D. Nyní víme, že Č přepil P, P přepil D a D přepil Č, takže jsme našli požadovanou trojici, která se vzájemně přepila, a zároveň jsme dokázali, že mezi 33 lidmi vždy existuje alespoň jedna taková trojice.

Komentář: Téměř polovina z vás ihned prohlásila, že taková trojice nemůže existovat, protože nastane cyklus. Předpokládali jste, že člověk pije pokaždé stejně rychle, což jak jsem popsala v prvním odstavci, nemusí být pravda. Taková řešení ode mě dostávala jeden bod, protože nebyla správná. Další podstatná část z vás si vybrala jeden případ přepíjení, kdy tato trojice existuje, a neřešila, že se lidé mohou přepít jiným způsobem. Těmto řešitelům jsem udělovala 1--3 body podle správnosti argumentů, kterými to zdůvodňovali. A bohužel menšina řešitelů měla úlohu správně. Mezi řešeními byly dva typy postupů: ten, který odpovídá vzorovému řešení (zde bych chtěla pochválit Václava Steinhausera za mimořádně pěkné řešení), a postup, kdy řešitel omezuje, jak kdo může toho druhého přepít, a dostane se k tomu, že nalezne takovou trojici, která se vždy musí vyskytnout. Všichni, kdo více či méně složitě popsali jeden z těchto dvou postupů, dostali plný počet bodů.

Úloha č. 6

Princ chtěl mít ve čtverci červenou destičku 2\times2 a slonovinovou destič\minusku 2\times1. Nejjednodušší je dát je těsně k sobě (tak, aby přiléhaly hranou délky 2). Tím dostane obdélník 2\times3, aby složil čtverec, stačí použít jednu kostičku 3\times1, kterou přiloží k delší straně obdélníku. Takto mohl princ složit čtverec 3\times3, tak jako na obrázku.

Komentář: Skoro všechna došlá řešení byla správná. Chtěla bych pochválit hlavně ty řešitele, kteří se nespokojili s jedním čtvercem a popsali, jak jdou sestavit všechny.

Úloha č. 7

Abychom zjistili, kolik nejvíce dní za sebou se mu určitě podařilo nezaspat, musíme vymyslet tu nejhorší možnost. Princ viděl východ slunce pouze 21 dní z 30, to tedy znamená, že devětkrát zaspal. Potřebujeme proto rozdělit 21 dní, kdy zaspal, na deset pokud možno stejných částí (částí je o jedna víc než dní, kdy zaspal, neboť na začátku i na konci měsíce budou dny, kdy nezaspal): 21/10 = 2, zbytek 1.

Celý měsíc se tak střídají vždy dva dny, kdy princ nezaspal, a jeden den, kdy zaspal, což dá dohromady 29 dní. Třicátý den je den, kdy východ slunce viděl, musíme ho přiřadit k některé dvojici dnů, kdy také nezaspal. Určitě tedy princ viděl východ slunce třikrát po sobě.

Opravovali: 1. Miroslav Koblížek, 2. Lukáš Zavřel, 3. Klára Krejčíčková, 4. Helena Pučelíková, 5. Lucie Mohelníková, 6. Lenka Petržilková, 7. Tereza Mašková.