Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.

Úloha č. 1

Pak si princ všiml, že jeho kouzelník má tři misky plné kouzelných ingrediencí. V jedné byly malé bílé fazolky, v druhé drobné modré květy a v třetí temně rudý prášek. K tomu, aby se objevil barevný dým, musel dát kouzelník do hmoždíře vždy alespoň dvě z přísad. Přísady přidával vždy po hrstech, ale nikdy nedal víc než pět hrstí od jedné přísady. Kolik různých směsí tak mohl kouzelník vyrobit?

Řešení: Nejprve spočítáme, kolik různých dýmů je možné vyrobit, když budeme kombinovat pouze bílé fazolky a modré květy. Musíme použít alespoň jednu hrst od každé suroviny, maximálně však hrstí pět. Máme tedy pět možností, kolik můžeme dát hrstí bílých fazolek i modrých květů. Dohromady je to 5 \cdot 5 = 25 možností. Pro ostatní dvojice ingrediencí je to stejně, tedy 25 kombinací při použití pouze bílých fazolek a rudého prášku i při použití modrých květů a rudého prášku. Dohromady máme 25 \cdot 3 = 75 možností.

Nyní se podíváme na situaci, kdy používáme všechny tři ingredience. Pro každou z nich máme opět pět možností, kolik hrstí můžeme použít, celkem 5 \cdot 5 \cdot 5 =125 možností.

Kouzelník mohl vyrobit 75 + 125 = 200 různých směsí.

Komentář: Spousta z vás řešila příklad vypisováním všech možností, za což jsem strhávala bod v případě, že jste se dopočítali ke správnému výsledku, při špatném výsledku pak více. Vypisování všech možností není správný postup. Jednak je velmi jednoduché na některou možnost zapomenout, ale hlavně by se nedalo použít, pokud by zadaná čísla byla mnohem větší.

Úloha č. 2

Byla na něm úsečka AB. V její polovině byl bod C a někde jinde na ní byl bod D. Nad AC byl čtverec, ve kterém chyběl čtverec o straně CD. A nad DB byl obdélník s druhou stranou o velikosti |AD|. Princ věděl, že plocha obou útvarů je stejná. A to ať se zvolila úsečka AB jakkoliv dlouhá a ať se bod D vložil kamkoliv na ni. Víte proč?

Řešení: Označme délky úseček AC a BC symbolem a a délku úsečky DC jako x. Pro počítání velikosti „čtvercové části“ úlohy je zcela jedno, kde je umístěn bod D, důležitá je jen jeho vzdálenost od bodu C. Velikost čtvercové části bude tedy vždy (a^{2}-x^{2}). V obdélníkové části to bude vypadat následovně: Pokud bude bod D ležet na úsečce AC, bude obsah obdélníku vypadat takto: (a-x) \cdot (a+x), pokud bude bod D ležet na úsečce BC, bude obsah (a+x) \cdot (a-x). Protože pro násobení platí vlastnost komutativnosti, je opět jedno, na které úsečce bude bod D ležet. Porovnáním obou výrazů zjistíme rovnost: (a^{2}-x^{2}) = (a+x) \cdot (a-x).

Zbývá ukázat, jak je tomu v koncových polohách bodu D:

  • A=D, potom tedy x=a. Čtverce nad AC a nad DC se budou velikostně překrývat, tedy jejich rozdílem nezůstane nic. Stejně tak jedna strana obdélníku bude nulová, nevznikne tedy žádný obdélník, ale rovnost stále platí.
  • B=D, potom opět x=a.
  • C=D, potom x=0. Čtverec nad AC nebude o nic zmenšený a obdélník se nám přemění na čtverec (zvláštní formu obdélníku).

Všechny tyto úvahy lze též dokázat dosazením do výrazu (a^{2}-x^{2}) = (a+x) \cdot (a-x).

Komentář: Mnoho řešitelů vyzkoušelo dosadit si určité vzdálenosti a pak rýsovali. Tohle není úloha geometrická, jde o důkaz. Stejně tak nelze vyzkoušet tři vybrané hodnoty pro vzdálenosti v úloze a pak tvrdit, že pro všechny další platí totéž. Těmto řešitelům jsem dávala 1 bod za snahu. Přišlo i spoustu pěkných řešení, bohužel v některých chyběla diskuze krajních variant bodu D. Velmi originální řešení přišlo od Kateřiny Pletkové, která dokazovala skládáním obrazců.

Úloha č. 3

Rozložil před sebe mapu, podobnou té na obrázku. A zamyslel se. Každý z jezdců musel dojet k jinému místu. První musel dojet k hlídce, která byla na Ti-Chouově mapě označena číslem 1, druhý naopak musel dojet k hlídce číslo 2, třetí k 3 a čtvrtý k 4. Přitom ale cesty žádných dvou nesměly procházet stejným políčkem. A navíc se na části území nemohli pohybovat, protože tam byly zdi. Kudy mají jet?

Řešení: Každý jezdec musí dojet ke své hlídce tak, aby se jejich cesty nekřížily. Když bude tato podmínka splněna, má úloha pouze jedno řešení.

  • Jezdec č. 1 se musí vydat o 4 políčka směrem vzhůru, poté odbočí vlevo, aby se nesrazil s překážkou, objede jezdce č. 4 a dorazí přímo ke své hlídce.
  • Jezdec č. 3 má cestu podobnou. Sjede o 4 políčka na šachovnici dolů, vyhne se překážce, objede jezdce č. 4 a poté tak aby nezkřížil cestu jezdci č. 4, skončí přímo u své hlídky.
  • Jezdec č. 2 si musí počínat s větší rozvahou. Nejprve vyjede 5 políček nahoru po šachovnici, aby se vyhnul klikaté cestě jezdce č. 4. Poté zahne ostře vpravo a putuje rovně dalších 4 políčka, až nakonec nalezne svoji hlídku po své pravici.
  • Jezdec č. 4 má cestu nejdelší a nejstrastiplnější. Musí se vyhnout všem ostatním jezdcům. Nejprve vyrazí po 4 polích směrem vlevo, sjede dolů o 2 políčka, svižně zahne vpravo. Po dalších 5 polích sklouzne 3 pole dolů, odbočí vlevo, objede hlídku jezdce č. 3 a zatáčkou vpravo se dostane až ke své hlídce.

Komentář: Ve vzorovém řešení jsou směry pohybu jezdců brány z pohledu pozorovatele tzn. MĚ:-) Z velkého počtu správných řešení je vidět, že logické úlohy vám všem sedí, ale ne všechna řešení, která přišla, jsou správná. Hlavním důvodem je špatně přečtené zadání nebo nesprávně překreslený obrázek. Pozor na to!!!

Úloha č. 4

... nechal nastoupit celou jednotku 184 mužů. Rozhodl se vybrat z nich pouze 92 vojáků tak, aby součet pořadí každých dvou nikdy nedal číslo 185. Najednou ho napadlo, zda musí být vždy, při jakémkoliv výběru, alespoň dvě čísla pořadí vybraných voják nějaké druhé mocniny přirozeného čísla? Umíte zdůvodnit proč?

Řešení: Ti-Chou si vybíral vojáky tak, aby součet pořadí žádných dvou nedal 185. Mohl proto vybrat maximálně jednoho z každé z dvojic: (1, 184), $(2, 183), (3, 182), ..., (92, 93)$. Zřejmě je každé číslo v právě jedné dvojici, máme tak vojáky rozdělené do dvojic. Dohromady je dvojic 92, tedy chce-li Ti-Chou vybrat 92 vojáků, musí z každé dvojice vybrat právě jednoho.

Nyní se podívejme, s kým jsou ve dvojici vojáci s pořadovým číslem, jež je druhou mocninou nějakého přirozeného čísla: (1, 184), (4, 181), (9, 176), (16,169), (25, 160), (36, 149), $(49, 136), (64, 121)$. Dál už počítat netřeba, neboť jsme našli dvě dvojice vojáků, kde pořadí obou ve dvojici je druhá mocnina přirozeného čísla (jsou to dvojice (16, 169) a (64, 121)). Z každé z těchto dvojic si musí Ti-Chou jednoho vojáka vybrat, dostáváme tak nutně dva vybrané vojáky s pořadovým číslem, které je druhou mocninou přirozeného čísla. Při jakémkoliv výběru musí být vždy alespoň dvě čísla pořadí vybraných vojáků nějaké druhé mocniny přirozeného čísla.

Komentář: Úloha patřila spíše k těžším, přesto se našlo několik moc hezkých řešení. Nejčastější chybou bylo, že jste něco dostatečně nezdůvodnili. Např. jste řekli, že z žádné dvojice nesmí Ti-Chou vybrat oba vojáky, ale už jste zapomněli napsat, proč z každé dvojice jednoho vzít musí. Takováto skoro správná řešení byla ohodnocena čtyřmi body.

Úloha č. 5

Věděl, že Menáloas vyrazil z místa vzdáleného 20 mil v tu stejnou chvíli. Ti-Chou s vojáky měl rychlost 6 mil za hodinu. Když ušli 10 mil, dorazil předvoj od Menáloa s rozkazem okamžitě se s Ti-Chouem vrátit do císařského města. Vrátili se tedy, ale Ti-Chou jen co dorazil, poslal svého zástupce místo sebe uvítat budoucího císaře. Ten jel stejnou rychlostí jako Ti-Chou a s Menáloem se potkal o dvě hodiny později, než kdyby Ti-Chou pokračoval v cestě. Jak rychle šel Menáloas a jak dlouho jim trvalo, než se potkali?

Řešení: Budeme uvažovat dva případy. První, že se Ti-Chou nevracel a šel stále svou rychlostí, dokud nepotkal Menáloase. Druhý případ, kdy se vrátil a pak vyslal zástupce, tak jak je popsáno v zadání.

Podíváme se, kolik za stejný čas ušel Ti-Chou (příp. jeho zástupce) v jednotlivých případech:

  • Ti-Chou ušel 10 mil, pak ještě x mil, než potkal Menáloase a nakonec připočítáme počet mil, které by ušel za 2 hodiny, tedy 12 mil.
  • Ti-Chou ušel 10 mil, pak zase 10 mil (zpáteční cesta) a nakonec ještě jeho zástupce ušel y mil.

Odtud dostaneme vztah mezi x a y:

\eqalignno{ 10 + x + 12 &= 10 + 10 + y, \cr x + 2 &= y. \cr}

Teď zjistíme, kolik ušel Menáloas v jednotlivých případech:

  • Ti-Chou šel pořád proti němu a ušel 10 mil a pak ještě x mil, zbytek z 20 mil, tedy 20 - 10 - x = 10 - x ušel Menáloas.
  • Ti-Chou šel sice tam 10 mil, ale pak se zase 10 mil vrátil, takže naproti Menálovi šel jen jeho zástupce y mil. Menáloas tedy ušel 20 - y mil.

Druhý údaj 20 - y si vyjádříme pomocí x:

20 - y = 20 - (x + 2) = 18 - x

Získané dva údaje porovnáme. Ve druhém případě šel Menáloas o 2 hodiny déle a ušel o 8 mil více. Menáloas tedy jde rychlostí 4 míle za hodinu.

Když už známe rychlosti, kterými se pohybovali Ti-Chou i Menáloas, můžeme určit, jak dlouho jim trvalo, než se potkali.

V prvním případě by se setkali za 2 hodiny (Ti-Chou ujde 12 mil a Menáloas 8 mil) a v druhém případě o 2 hodiny později, setkají se po 4 hodinách.

Menáloas šel rychlostí 4 míle za hodinu. Potkali se za 4 hodiny.

Komentář: Velká část řešitelů si špatně přečetla zadání a tím pádem měli příklad špatně. Ti z vás, kteří výsledek pouze odhadli, dostali max. 2 body. Také jsem strhávala body, pokud jste měli špatně výpočet, přestože jste se nakonec dastali číselně ke správnému výsledku.

Úloha č. 6

Měl tvar jehlanu s trojúhelníkovou základnou a oni si ho chtěli rozdělit na čtyři části. Ale nechtěli je všechny stejně velké, a tak se rozhodli rozřezat ho na dva menší, ale stejně velké jehlany podobné tomu původnímu a na dva stejné trojboké kosé hranoly. Dokážete chleba rozdělit také?

Řešení: K této úloze snad ani není třeba mnoho psát, klíčový je pohled na obrázek (body E, F, G, H, I a J jsou po řadě středy úseček AB, BC, CA, AD, BD a CD). Stejně jako řešení se spíše musí vidět, vyzkoušet, není snadné dospět k němu analytickou metodou. Přesto připojím k obrázku několik poznámek.

Předně co se týče názvosloví. U plošných útvarů, jako je například trojúhelník, mluvíme o stranách, přejdeme-li však k tělesům prostorovým, necháme strany stranami a používáme slova stěna a hrana. Podstatnější problém potom představoval kosý hranol, což zdaleka není to stejné jako komolý jehlan. Hranol, ať už kosý, nebo kolmý, si zachovává obě podstavy shodné. V našem případě shodné trojúhelníky. Mnozí z vás však za kosý hranol označili útvar jaksi se „zužující“, tedy „jehlan s useknutou špicí“, matematicky: komolý jehlan. Správný kosý hranol se „nezužuje“, jen je „vychýlený“, tedy stěny jeho pláště tvoří rovnoběžníky, nikoli však obdélníky.

Jak vidno, stěžejní úlohu v řešení hrají střední příčky trojúhelníku, které jak jest všeobecně známo, mají poloviční délku nežli protilehlá strana. Takto si můžeme snadno spočítat délky jednotlivých úseček, jež tvoří podstavy kosých hranolů. Aby byly tyto hranoly stejné, jak to vyžaduje zadání, musí být i tyto podstavy shodnými trojúhelníky. Toho nelze dosáhnout jinak, než že všechny hrany velkého původního jehlanu budou stejné. Kus chleba ze zadání úlohy je tedy pravidelný čtyřstěn, což bylo třeba v řešení vypíchnout, jinak celé stálo jaksi na vodě.

Komentář: Asi polovina řešitelů na správné rozřezání jehlanu skutečně natrefila a správně jej popsala. Pokud jste však nepodotkli, že to vše dle zadání platí pouze pro pravidelný čtyřstěn, dostali jste o bod méně. Ti řešitelé, kteří zaměnili kosý hranol za komolý jehlan, ale přesto nějakým rozumným způsobem jehlan rozřezali a svůj postup patřičně zdokumentovali, dostali dva body za odvedenou práci.

Úloha č. 7

Jeho oko bylo 3 cm od škvíry, která byla široká 2 cm. Když nad sebou uviděl hořící šíp letící rychlostí 10 m/s, viděl ho jen 5 s. Jak vysoko mohl šíp letět?

Řešení: Na obrázku vidíme zobrazenou situaci. Bod A je princovo oko. Body B, C jsou okraje škvíry. A body D, E jsou krajní body části letu šípu, kterou princ viděl.

Vznikly nám dva trojúhelníky -- ABC, ADE. Oba trojúhelníky jsou podobné podle věty uu, protože mají stejný úhel u vrcholu A a vzhledem k tomu, že přímky BC a DE jsou rovnoběžné, tak platí |\angle ABC|=|\angle ADE|. Tedy trojúhelníky jsou opravdu podobné.

Nyní spočteme velikost strany DE, neboli dráhu šípu, kterou princ viděl. Použijeme známý vzoreček s=v \cdot t. Dostáváme |DE|=10 m/s \cdot 5s= 50= 5,000 cm.

Z podobnosti víme, že poměry všech délek se zachovávají, proto i poměry výšek. Vzdálenost, která nás zajímá, je výška trojúhelníku ADE, tu označíme jako v. Můžeme sestavit rovnici: v/3=5,000/2, tedy v = 7,500 cm= 75 m.

Šíp letěl ve výšce 75 m od princova oka.

Komentář: Téměř všechna řešení byla správná, ale ne všichni dostali plný počet bodů, protože neměli vše dostatečně vysvětlené. Pokud chcete použít podobnost, musíte vysvětlit, proč jsou obrazce podobné.

Opravovali: 1. Tereza Mašková, 2. Helena Pučelíková, 3. Eva Libánská, 4. Hana Bílková, 5. Alžběta Nečadová, 6. Pavel Houdek, 7. Klára Krejčíčková.