Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.

Úloha č. 1

Zadání úlohy se dá interpretovat následujícím výrazem:

,

kde 10>A>0, 10> B \ge 0, 10> C \ge 0, 10> D > 0. Povšimneme si, že A a D nemohou být 0, neboť by číslo ABCD (resp. DCBA) bylo trojciferné. Tudíž A musí být alespoň 1. Pokud by bylo A větší než 1, pak by součet ABCD + 8,082 byl pěticiferné číslo, které má více cifer než původní číslo ABCD.

Po dosazení A=1 dostáváme 1BCD + 8,082 = DCB1 a je zřejmé, že D=9 (D+2=11). Dosadíme D=9: 1BC9 + 8,082 = 9CB1. Rozepíšeme součet do následující rovnice a upravíme:

Nyní víme, v jakém vztahu jsou číslice B a C.

Chceme, aby výsledné číslo bylo co nejmenší, tudíž musíme za B zvolit nejmenší možnou číslici (a tou je 0) a snadno dopočítáme, jak bude vypadat C (C=1).

Výsledné číslo je 1,019 (jednoduchým výpočtem můžeme ověřit, že pokud k němu připočteme 8,082, dostaneme číslo 9,101).

Komentář: Přišlo docela dost řešení, která obsahovala správný výsledek. Ale ne všechna jsem mohla ohodnotit plným počtem bodů, neboť často obsahovala pouze číslo 1,019 a žádný postup, jak jste se k tomuto číslu dopracovali. Často je postup a jeho komentář důležitější než samotný správný výsledek. Pokud napíšete, jak jste úlohu řešili, a uděláte drobnou početní chybu, není to takový problém jako kdybyste poslali jenom špatný výsledek.

Hodně z vás si neuvědomilo, že za B můžeme zvolit 0, často jste za B dosazovali 1. Dostali jste číslo, které splňuje podmínku o součtu ABCD + 8,082 = DCBA, ale vaše číslo nebylo minimální.

Několik řešitelů dospělo k tomu, že výsledné číslo je 0,018 (obrácené pořadí cifer: 8,100). Taková řešení jsem neuznávala, neboť číslo 0,018 neexistuje. Mezi přirozenými čísly existuje pouze číslo 18 (po obrácení pořadí cifer: 81).

Úloha č. 2

Chceme získat z šestiúhelníku 12 shodných čtyřúhelníků. K rozdělení nám pomůže číselný rozklad:

Použijeme-li rozklad 12=3 \cdot 4, rozdělíme šestiúhelník nejprve na tři shodné díly, a to tak, že spojíme každý druhý vrchol se středem šestiúhelníku (obr. 1). Vzniknou nám tak tři čtyřúhelníky, které již není těžké rozdělit na čtyři shodné části (obr. 2, 3).

Jiné možné dělení je založeno na rozkladu 12=6 \cdot 2. Útvar nejprve rozdělíme na šest shodných dílů, a to tak, že spojíme každý vrchol se středem šestiúhelníku. Získáme tak šest trojúhelníků. Každý trojúhelník lze rozdělit středními příčkami na čtyři menší trojúhelníky, vznikne nám tak trojúhelníková síť (obr. 4). Spojujeme trojúhelníky po dvojicích tak, že žádné dva trojúhelníky nezůstanou volné (obr. 5).

Zkouška: počet trojúhelníků v trojúhelníkové síti: 6 \cdot 4 = 24, počet čtyřúhelníků: 24 / 2 = 12.

Komentář: Z důvodu vysokého počtu možností jsem uvedla jen nejčastější řešení. Velká část řešitelů si špatně přečetla zadání a neposkytla řešení se shodnými čtyřúhelníky; čtyřúhelníkem se myslí celý obrazec, ne jeho části. Správným řešením nebyla ani varianta, kde se čtyřúhelníky překrývaly.

Úloha č. 3

Útvar se skládá ze tří pětiúhelníků. Vrcholy největšího označím A, středního B a nejmenšího C. Má pět os souměrnosti, ty procházejí jeho středem a vrcholy všech pětiúhelníků. Na každé ose leží bod A, B i C (viz obr. 6).

obr. 6

První důležitou myšlenkou je, že nemusím hledat rovnoramenné trojúhelníky po celém jeho obvodu, ale stačí se zaměřit jen na jednu jeho osu. Najít rovnoramenné trojúhelníky souměrné podle ní a pak budou určitě existovat obdobné trojúhelníky podle dalších os.

Vyberu si tedy jednu osu souměrnosti. Tři body, které na ní leží, jsou možné hlavní vrcholy rovnoramenných trojúhelníků (vrchol naproti základně, ten, kterým prochází osa souměrnosti rovnoramenného trojúhelníku). Jsou to zároveň vrcholy každého z pětiúhelníků. Tím jsem si rozdělil úlohu do tří částí.

• Hlavní vrchol je bod A (obr. 7) -- vrchol největšího pětiúhelníku. Hledám úsečky kolmé na osu symetrie. Tyto úsečky tvoří základnu rovnoramenných trojúhelníků. Z obrázku jich je šest.

obr. 7

• Hlavní vrchol je bod B (obr. 8) -- vrchol středního pětiúhelníku. Kolmých úseček je opět šest, ale jedna leží s B na přímce, takže netvoří trojúhelník.

obr. 8

• Hlavním vrcholem je bod C (obr. 9) -- vrchol malého pětiúhelníku. Stejná situace jako v bodě dva, úseček je šest, ale jedna není základnou trojúhelníku.

obr. 9

Na jedné ose tedy máme 16 rovnoramenných trojúhelníků. Na všech osách a tedy i v celém obrazci existuje 16 \cdot 5 = 80 rovnoramenných trojúhelníků.

Komentář: Mnoho řešitelů postupovalo tak, že v obrázku jednoduše hledali možné trojúhelníky. Tento postup je možný, ale je potřeba hledat systematicky, abyste na žádný trojúhelník nezapomněli, a co nejvíce si hledání zjednodušovat. Nejnepřehlednější obrázky byly takové, do kterých jste se snažili zakreslit úplně všechno.

Možností rozdělení bylo hned několik, většina, která si udělala systém, je roztřídila obdobně, jako ve vzorovém řešení. Vyzdvihl bych řešení Markéty Pavlovské, která jako jediná rozdělila trojúhelníky podle toho, kde leží jejich základna a bylo to pěkné řešení.

Na závěr patří apel, abyste příště všichni posílali celá řešení se všemi důležitými kroky. Pouze výsledek nemůžeme obodovat plným počtem, i kdyby byl správný.

Úloha č. 4

Nejprve rekapitulace zadání. Víme, že ze tří rádců, označíme je podle počátečního písmene jejich jména A, B a C, je jeden pravdomluvný, jeden lhář a jeden normální (tedy někdy lže a někdy mluví pravdu).

Tři rádci prohlásí vždy jedno tvrzení o sobě a jedno o jistém D a na základě těchto tvrzení máme určit, kdo z nich je který, abychom mohli určit povahu D.

Pro přehlednost si výroky tří rádců můžeme zapsat do tabulky (např. druhý řádek následující tabulky říká, že B prohlásil „B není lhář“ a „D je normální“):

Než se pustíme do řešení, ještě bych ráda upozornila na jednu chybnou úvahu, kterou jste často dělali. Normální člověk totiž může klidně zalhat (či mluvit pravdu) v obou částech svého tvrzení. Podstatou té „normálnosti“ není to, že pravdomluvnost a lhaní střídá (resp. že když o sobě mluvil pravdu, tak o D lhal), ale to, že nevíme, co kdy udělá.

Teď existuje několik přístupů k řešení. Prvním je vypsat si všechny možnosti, kdo je kdo. Jelikož rádci jsou jen tři, je takových možných rozdělení povah 6, z nichž postupně 5 vyloučíme, protože si něco bude odporovat, matematicky řečeno dostaneme spor. Například kdyby A byl lhář a zároveň prohlásil, že není pravdomluvný, pak by byl lhář, ale zároveň by mluvil pravdu (o tom, že není pravdomluvný, protože to lháři nejsou), takže dostaneme lháře, který říká pravdu, což je nesmysl (spor). Takto postupně dospějeme k tomu, že jedinou možnou variantou je A normální, B lhář a C poctivec, a tedy D je poctivec.

Poněkud elegantnější řešení je rovnou se zamyslet. Například následovně. Každý z rádců o sobě prohlásí, že něco není. Co může prohlásit takový lhář? Nemůže říct ani to, že není poctivý (to by totiž mluvil pravdu, což lháři nedělají), ani to, že není normální (ze stejného důvodu). Proto ten, kdo je lhář, musí prohlásit, že lhářem není. Což říká B, a tedy B je lhář. Teď zbývá rozdělit poctivce a normálního mezi A a C. Rádce A říká, že není poctivec, což by o sobě poctivec říci nemohl, neboť by lhal (což pravdomluvní nedělají). Proto A je normální a C je poctivec, a tedy i D je poctivec, jak tvrdí pravdomluvný C.

V obou případech je ještě dobré na závěr vyzkoušet, že naše řešení sedí (a tedy například o D lhář vážně lhal). Mohlo by se totiž stát i to, že úloha řešení nemá nebo má řešení více.

Komentář: Většina došlých řešení byla k mému potěšení správná. Velmi se mi líbilo i originální řešení Kláry Holešovské, která na to šla „odzadu“. Rozdělila si řešení na 3 případy podle toho, jaké povahy je D, a potom pro každou z nich zkusila, jestli tři povahy jdou rozdělit mezi tři rádce tak, aby jejich popis Dandarovy povahy odpovídal skutečnosti (a povaze každého z rádců). Schválně si to zkuste.

Body jsem strhávala hlavně za chybějící postup, protože je to nejdůležitější část celého řešení. Kdo tedy postup měl, byť s chybou, mohl dostat stejně bodů jako ten, kdo bez náznaku postupu napsal, kdo je jaké povahy, byť to napsal správně. Nejméně bodů jsem (kromě chybných řešení bez jakéhokoli komentáře) udělovala za nematematická řešení. Například to, že někdo dá ve větě důraz na to, že něco tak není, ještě neznamená, že dotyčný lže. Domnívat se to sice můžeme, ale to nám v matematice naštěstí nestačí.

Úloha č. 5

Nejprve bychom rádi zjistili, kolika jednotkovými krychličkami prochází tělesová úhlopříčka. Uvědomíme si proto jeden zásadní fakt. Roviny, kterými je kvádr rozřezán na jednotkové krychličky, dělí tělesovou úhlopříčku na stejně dlouhé úseky (to lze zdůvodnit např. podobností pravoúhlých trojúhelníků). To znamená to, že roviny, které rozdělují hrany délky 6 na šestiny, dělí i tělesovou úhlopříčku na šestiny. Stejně tak ostatní roviny ji dělí na třetiny a na čtvrtiny. A pokaždé, když úhlopříčka protne některou z těchto rovin (tj. že přejdeme např. z první čtvrtiny do druhé), přejde z jedné krychličky do druhé (neboť jednotkové krychličky jsou ohraničeny právě těmito rovinami). Stačí nám proto, abychom si narýsovali nějakou úsečku a rozdělili ji na třetiny, poté na čtvrtiny a poté na šestiny a spočítali, na kolik dílků jsme ji rozdělili. Pro kvádr 3 \times 4 \times 6 zjistíme, že je to 8 dílků. Je to zároveň asi nejjednodušší způsob, jak spočítat pro libovolný kvádr, kolik jeho jednotkových krychliček tělesová úhlopříčka protíná.

obr. 10

Nyní bychom ještě měli spočítat, kolik je v kvádru krychliček, kterými prochází libovolná z jeho čtyř tělesových úhlopříček. Je asi jasné, že nám nebude stačit pouhé vynásobení čtyřmi, neboť je dost možné, že někde uprostřed kvádru prochází více úhlopříček stejnou krychličkou, takže bychom tuto počítali víckrát. Nejnázornější bude obrázek. Nakreslíme pohled na stranu 4 \times 6 (obr. 10). Do něj se nám dvě tělesové úhlopříčky promítnou jako úhlopříčka této strany. Víme, že každá tato úhlopříčka je rozdělena na třetiny, neboť kvádr má nad sebou tři patra o rozměrech 4 \times 6, kterými úhlopříčka prochází. Rozdělení na třetiny si proto naznačíme a vidíme, že obě úhlopříčky se nám ve dvou prostředních krychlích potkají ve stejném patře (na koncích je jedna v prvním, druhá ve třetím patře a naopak). Stejně tak se zbylé dvě úhlopříčky potkají ve zbylých dvou krychlích. Je proto jasné, že jsou v kvádru čtyři krychle, jimiž procházejí dvě úhlopříčky. Ty jsme tedy při pouhém vynásobení započítali dvakrát, a proto je musíme odečíst. Celkově je tedy krychliček, kterými prochází tělesová úhlopříčka, 4\cdot8-4=28. První žena tedy dostane 28 krychliček, druhá 44.

Komentář: Úloha nebyla těžká na výpočty, ale především vyžadovala schopnost představit si, jak situace v prostoru vypadá a zakreslit si ji správně na papír. Při kreslení náčrtku je velmi důležité si uvědomit, že pracujeme s prostorovým útvarem, tudíž to, že se nám nějaké čáry na obrázku protínají, ještě zdaleka nemusí znamenat, že se protnou i skutečně (mohou to být totiž i mimoběžky). Problematické bylo trochu i zadání úlohy, neboť umožňovalo dvojí pochopení -- většina řešitelů se spokojila s tím, že spočítala, kolik krychliček protne jedna konkrétní tělesová úhlopříčka, ale už neřešili, kolik je tedy v kvádru krychliček, kterými prochází (nějaká libovolná) tělesová úhlopříčka. Vzhledem k nejasnosti zadání jsem za to ale body nestrhával, takže bych chtěl alespoň pochválit ty řešitele, kteří přímo provedli diskusi obou možných výkladů zadání.

Úloha č. 6

Zadání znázorníme na obr. 11, délky stran trojúhelníku označíme a, b, c.

obr. 11

• Určení výšky: A' je pata výšky na stranu BC. To znamená, že úsečka AA' vede z bodu A a je kolmá na stranu BC. Za předpokladu, že |A'A_{1}| =|A_{1}C|/2, je bod A' v 1 \over 4 strany BC.

• Úhel BAC: Úhel \alpha je úhlem pravým, protože strana BC je přeponou trojúhelníku ABC.
• Úhel ACB: Trojúhelník AA_{1}C je rovnostranný, protože:
• Bod A leží na Thaletově kružnici, která má střed v bodě A_{1} a poloměr |A_{1}C|.
• Trojúhelníky AA_{1}A' a ACA' jsou shodné podle věty sus: strana: AA' je pro oba trojúhelníky společná; úhel: |\angle AA'A_{1}| = |\angle CA'A| = 90 \deg; strana: |A_{1}A'| = |A'C|, což vychází ze zadaného vztahu |A'A_{1}| =|A_{1}C|/2.
• V rovnostranném trojúhelníku mají všechny úhly 60\deg, tedy \gamma = 60\deg.

• Úhel CBA: Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180\deg, \beta = 180\deg - 90\deg - 60\deg = 30\deg.

Odpověď: Pravoúhlý trojúhelník ABC má úhly: \alpha = 90\deg, \beta = 30\deg , \gamma = 60\deg.

Komentář: Velice mě potěšilo, že většina vašich řešení byla správná. Mám pouze jednu výhradu k vašim řešením. Pokud v příštích sériích budete zjišťovat velikost (úsečky, úhlu...), vždy velikost spočítejte! Rýsování a následné měření je nepřesné.

Úloha č. 7

Zapíšeme zadání a jednotlivé děti označíme počátečními písmeny jejich jmen:

Z tabulky můžeme sestavit jednotlivé rovnice:

Dále postupně vyjádříme všechny proměnné pomocí m (počtu mincí, které má Maicha). Nejprve podle rovnice (1) za o dosadíme 2m do rovnice (2):

Do (3) dosadíme za i právě spočtenou hodnotu:

Nyní můžeme do rovnice (4) dosadit za o, i a g:

Dále za zadání víme, že Genfrey vzal Maichě polovinu jejích mincí a pak jich měl 50. Tento počet Genfreyových mincí označíme g_{1} a Maichiných m_{1}. Rovnicemi pak zapíšeme:

Do rovnice (9) dosadíme za g z rovnice (6) a dostaneme:

Vyjádříme m z poslední rovnice:

Nyní stačí toto m dosadit do rovnic (1), (5)--(8):

Potom, co Genfrey vzal mince Maiche, měly děti takovéto počty dračích mincí: Maicha 2, Olla 8, Iameh 12, Genfrey 50 a Ruhe 72.

Komentář: Většina řešitelů přišla na správný výsledek. Bohužel často pouze zkoušením různých hodnot, za což ovšem nemohli získat plný počet bodů.

Opravovali: 1. Lucie Mohelníková, 2. Romana Břindová, 3. Filip Lux, 4. Alena Bušáková, 5. Miroslav Koblížek, 6. Eva Libánská, 7. Lenka Petržilková.